Imagina un viaje en carretera. En dos horas, recorres ciento veinte kilómetros — una velocidad promedio de sesenta. Aquí hay una promesa sorprendente: en algún instante…
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5.1
The Mean Value Theorem
Syllabus
Comprensión duradera (FUN-1): Los teoremas de existencia nos permiten extraer conclusiones sobre el comportamiento de una función en un intervalo sin precisar su ubicación exacta.
Objetivo de aprendizaje FUN-1.B: Justificar conclusiones sobre funciones aplicando el Teorema del Valor Medio en un intervalo.
FUN-1.B.1 Si una función $f$ es continua en el intervalo $[a, b]$ y diferenciable en el intervalo $(a, b)$, entonces el Teorema del Valor Medio garantiza la existencia de un punto dentro de ese intervalo abierto donde la tasa de cambio instantánea es igual a la tasa de cambio promedio en dicho intervalo.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
The Mean Value Theorem
El Teorema del Valor Medio (TVM) vincula la tasa de cambio promedio con una instantánea:
Si $f$ es continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$, entonces existe al menos un punto $c$ en $(a,b)$ donde
$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$
En palabras: en algún lugar dentro del intervalo, la tasa instantánea es igual a la tasa promedio. Geométricamente, alguna línea tangente es paralela a la línea que une los extremos.
El Teorema del Valor Medio: alguna tangente es paralela a la secante sobre el intervalo
Habilidad de examen. Al igual que el TVI, el TVM es un teorema de existencia, y las preguntas te piden justificar. Para obtener la puntuación completa necesitas: (1) declarar que $f$ es continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$; (2) calcular la tasa promedio $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$; (3) concluir "por el TVM existe un $c$ en $(a,b)$ con $f'(c)$ igual a ese valor". Ambas hipótesis deben ser nombradas.
Ejemplo resuelto. Verifica el TVM para $f(x)=x^2$ en $[1,3]$. Es un polinomio, por lo que es continuo y diferenciable en todas partes. La tasa promedio es $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=4$. Igualando $f'(c)=2c=4$ obtenemos $c=2$, lo cual efectivamente está en $(1,3)$: el punto garantizado.
Explorar
El Teorema del Valor Medio
y = ax³ + bx² + cx + d
El TVI garantiza un punto donde la tangente es paralela a la secante — la tasa instantánea es igual a la tasa promedio en algún lugar dentro del intervalo.
Comprensión Duradera (FUN-1): Los teoremas de existencia nos permiten sacar conclusiones sobre el comportamiento de una función en un intervalo sin localizar con precisión dicho comportamiento.
Objetivo de Aprendizaje FUN-1.C: Justificar conclusiones sobre funciones aplicando el Teorema del Valor Extremo.
FUN-1.C.1 Si una función $f$ es continua en el intervalo $(a, b)$, entonces el Teorema del Valor Extremo garantiza que $f$ tiene al menos un valor mínimo y al menos un valor máximo en $[a, b]$.
FUN-1.C.2 Un punto en una función donde la primera derivada es igual a cero o no existe es un punto crítico de la función.
FUN-1.C.3 Todos los extremos locales (relativos) ocurren en puntos críticos de una función, aunque no todos los puntos críticos son extremos locales.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
La cima de una montaña reflejada en un lago: los extremos y puntos críticos marcan los valores más altos y más bajos
El Teorema del Valor Extremo (TVE) garantiza que existen extremos: una función continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ alcanza tanto un máximo absoluto como un mínimo absoluto en él.
En un máximo o mínimo la derivada es cero
Un punto crítico es un punto interior donde $f'(x)=0$o$f'(x)$ no existe. Todos los extremos locales (relativos) ocurren en puntos críticos, pero no todos los puntos críticos son extremos. Por lo tanto, los puntos críticos son los candidatos; debe probar cada uno.
5.3
Increasing and Decreasing Intervals
Syllabus
Comprensión duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender algunos comportamientos de la función.
Objetivo de aprendizaje FUN-4.A: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función basándose en el comportamiento de sus derivadas.
FUN-4.A.1 La primera derivada de una función puede proporcionar información sobre la función y su gráfica, incluyendo los intervalos en los que la función es creciente o decreciente.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
La primera derivada indica dónde $f$ sube o baja:
$f'(x) > 0$ on an interval $\Rightarrow$$f$ is increasing there;
$f'(x) < 0$$\Rightarrow$$f$ is decreasing.
En el examen, "encuentra los intervalos donde $f$ es creciente" significa: encuentra los puntos críticos, luego prueba el signo de $f'$ entre ellos, y justifica con el signo de $f'$ (una razón explícita, no solo un intervalo).
Comprensión Duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de la función.
Objetivo de Aprendizaje FUN-4.A: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función basándose en el comportamiento de sus derivadas.
FUN-4.A.2 La primera derivada de una función puede determinar la ubicación de los extremos relativos (locales) de la función.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Para clasificar un punto crítico $x=c$ como máximo local, mínimo local o ninguno, verificar cómo cambia $f'$ de signo allí:
$f'$ changes $+$ hasta $-$ at $c$$\Rightarrow$local maximum;
$f'$ changes $-$ hasta $+$ at $c$$\Rightarrow$local minimum;
$f'$ hace no change sign $\Rightarrow$ neither.
Always state the sign change as your justification.
Ejemplo resuelto. Clasificar los puntos críticos de $f(x)=x^3-3x^2$. Aquí $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$, cero en $x=0$ y $x=2$. Probando signos: $f'>0$ para $x<0$, $f'<0$ en $(0,2)$, y $f'>0$ para $x>2$. Por lo tanto, $f'$ cambia a $+\to-$ en $x=0$ (un máximo local, $f(0)=0$) y $-\to+$ en $x=2$ (un mínimo local, $f(2)=-4$).
Donde $f' > 0$ la gráfica sube y donde $f' < 0$ baja; un máximo local se sitúa donde $f'$ pasa de $+$ a $-$, un mínimo local donde pasa de $-$ a $+$.
Comprensión Duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de dicha función.
Objetivo de Aprendizaje FUN-4.A: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función basándose en el comportamiento de sus derivadas.
FUN-4.A.3 Los extremos absolutos (globales) de una función en un intervalo cerrado solo pueden ocurrir en puntos críticos o en los puntos extremos del intervalo.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
En un intervalo cerrado, los extremos absolutos (globales) ocurren solo en puntos críticos o extremos. La prueba de candidatos:
Listar todos los puntos críticos en $[a,b]$y los dos extremos.
Evaluación $f$ at each candidate.
La salida más grande es el máximo absoluto; la más pequeña es el mínimo absoluto.
Muestra la tabla de valores: la comparación es el argumento.
5.6
Concavity and Points of Inflection
Syllabus
Comprensión Duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender algunos comportamientos de la función.
Objetivo de Aprendizaje FUN-4.A: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función basándose en el comportamiento de sus derivadas.
FUN-4.A.4 La gráfica de una función es cóncava hacia arriba (hacia abajo) en un intervalo abierto si la derivada de la función es creciente (decreciente) en ese intervalo.
FUN-4.A.5 La segunda derivada de una función proporciona información sobre la función y su gráfica, incluidos los intervalos de concavidad hacia arriba o hacia abajo.
FUN-4.A.6 La segunda derivada de una función puede utilizarse para localizar puntos de inflexión en la gráfica de la función original.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
El second derivative describes bending:
$f'' > 0$$\Rightarrow$$f$ es cóncava hacia arriba (curvándose como una taza; $f'$ es creciente);
$f'' < 0$$\Rightarrow$$f$ is concave down ($f'$ is decreasing).
Un punto de inflexión es donde la concavidad cambia, es decir, donde $f''$ cambia de signo (no simplemente donde $f''=0$). Informe su coordenada $x$ y justifique con el cambio de signo de $f''$.
La concavidad proviene del signo de la segunda derivada; cambia en un punto de inflexión
Explorar
Donde cambia la concavidad
y = ax³ + bx² + cx + d
Concavidad es el signo de $f''$: cóncava hacia arriba retiene agua, cóncava hacia abajo la derrama. Un punto de inflexión es donde cambia.
Comprensión Duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender algunos comportamientos de la función.
Objetivo de Aprendizaje FUN-4.A: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función basándose en el comportamiento de sus derivadas.
FUN-4.A.7 La segunda derivada de una función puede determinar si un punto crítico es la ubicación de un máximo o mínimo relativo (local).
FUN-4.A.8 Cuando una función continua tiene solo un punto crítico en un intervalo de su dominio y dicho punto crítico corresponde a un extremo relativo (local) de la función en ese intervalo, entonces ese punto crítico también corresponde al extremo absoluto (global) de la función en el intervalo.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Una alternativa para clasificar un punto crítico $c$ donde $f'(c)=0$:
$f''(c) > 0$$\Rightarrow$ concave up $\Rightarrow$local minimum;
$f''(c) < 0$$\Rightarrow$ concave down $\Rightarrow$local maximum;
$f''(c) = 0$$\Rightarrow$ la prueba es inconclusa; volver a la prueba de la primera derivada.
Caso especial: si una función continua tiene solo un punto crítico en un intervalo y es un extremo local, ese punto también es el absoluto extremo allí.
Comprensión Duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de la función.
Objetivo de Aprendizaje FUN-4.A: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función basándose en el comportamiento de sus derivadas.
FUN-4.A.9 Las características clave de las funciones y sus derivadas pueden identificarse y relacionarse con sus representaciones gráfica, numérica y analítica.
FUN-4.A.10 La información gráfica, numérica y analítica procedente de $f'$ y $f''$ puede usarse para predecir y explicar el comportamiento de $f$.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Las características clave de $f$, $f'$ y $f''$ se reflejan mutuamente. Para dibujar o leer gráficos:
$f$ creciente $\Leftrightarrow$$f'$ sobre el eje; $f$ tiene un máximo local $\Leftrightarrow$$f'$ cruza de $+$ a $-$.
$f$ cóncava hacia arriba $\Leftrightarrow$$f'$ creciente $\Leftrightarrow$$f''$ sobre el eje; $f$ tiene un punto de inflexión $\Leftrightarrow$$f'$ tiene un extremo local $\Leftrightarrow$$f''$ cruza cero.
5.9
Connecting f, f-prime, and f-double-prime
Syllabus
Comprensión perdurable (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de la función.
Objetivo de aprendizaje FUN-4.A: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función en base al comportamiento de sus derivadas.
FUN-4.A.11 Las características clave de las gráficas de $f$, $f'$ y $f''$ están relacionadas entre sí.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Esta es la habilidad de leer una gráfica para describir otra. Una configuración de examen muy común proporciona la gráfica de $f'$ y pregunta sobre $f$: ¿dónde es creciente $f$ (donde $f'>0$), dónde están los extremos de $f$ (donde $f'$ cruza cero, con un cambio de signo), dónde es cóncava hacia arriba $f$ (donde $f'$ es creciente)? Responde las preguntas sobre $f$ usando la altura y la pendiente de la gráfica de $f'$.
Explorar
Pendiente y curvatura desde el gráfico
y = ax³ + bx² + cx + d
Donde $f'>0$ la función asciende; donde $f''>0$ se curva hacia arriba. Desliza la tangente para vincular la forma de $f$ con los signos de sus derivadas.
5.10
Introduction to Optimization
Syllabus
Comprensión perdurable (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de la función.
Objetivo de aprendizaje FUN-4.B: Calcular valores mínimos y máximos en contextos aplicados o en el análisis de funciones.
FUN-4.B.1 La derivada puede usarse para resolver problemas de optimización; es decir, encontrar un valor mínimo o máximo de una función en un intervalo dado.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Optimisation: the best box
La optimización utiliza la derivada para encontrar el valor más grande o más pequeño de una cantidad en un intervalo. Es la maquinaria de candidatos/prueba de derivada aplicada a un objetivo real.
Fenced enclosures: optimization finds the dimensions that maximize area for a fixed fence length
Comprensión perdurable (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de la misma.
Objetivo de aprendizaje FUN-4.C: Interpretar valores mínimos y máximos calculados en contextos aplicados.
FUN-4.C.1 Los valores mínimo y máximo de una función adquieren significados específicos en contextos aplicados.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
A dependable procedure:
Escriba la cantidad a optimizar como función de una variable (utilice una ecuación de restricción para eliminar los términos adicionales).
State the interval of allowed inputs.
Encuentre los puntos críticos ($f'=0$ o no definidos) y pruébelos (prueba de la primera o segunda derivada, o prueba de candidatos si el intervalo es cerrado).
Responde la pregunta formulada, con unidades e interpretación en contexto: el máximo área, el mínimo costo, etc.
Ejemplo resuelto. Un agricultor tiene $100\ \text{m}$ de cerca para un corral rectangular contra una pared, por lo que solo tres lados necesitan valla. Maximiza el área. Sean $x$ los dos extremos y $y$ el lado paralelo a la pared; la restricción es $2x+y=100$, por lo tanto $y=100-2x$. El área es
Since $A''=-4<0$ this is a maximum, giving $y=50$ y $A=25\times50=1250\ \text{m}^2$.
5.12
Behaviors of Implicit Relations
Syllabus
Comprensión Duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de la misma.
Objetivo de Aprendizaje FUN-4.D: Determinar puntos críticos en relaciones implícitas.
FUN-4.D.1 Un punto en una relación implícita donde la primera derivada es igual a cero o no existe, constituye un punto crítico de la función.
Objetivo de Aprendizaje FUN-4.E: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función definida implícitamente basándose en evidencias provistas por sus derivadas.
FUN-4.E.1 Las aplicaciones de las derivadas pueden extenderse a funciones definidas implícitamente.
FUN-4.E.2 Las segundas derivadas que involucran diferenciación implícita pueden ser relaciones entre $x$, $y$ y $\dfrac{dy}{dx}$.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Todo esto se extiende a relaciones definidas implícitamente. Un punto crítico de una relación implícita es donde $\dfrac{dy}{dx}=0$ (tangente horizontal) o es indefinido (tangente vertical). Dado que $\dfrac{dy}{dx}$ suele ser una relación en $x$y$y$, y la segunda derivada implica $x$, $y$ y $\dfrac{dy}{dx}$, sustituye tu expresión de la primera derivada nuevamente al encontrar $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, luego razona sobre la concavidad a partir de su signo.
5.12
Consejos para el examen
$f'>0$ significa creciente, $f'<0$ decreciente; los candidatos para extremos son donde $f'=0$ o es indefinido.
Clasifique un punto crítico con el cambio de signo de la primera derivada o la prueba de la segunda derivada ($f''>0$ mínimo, $f''<0$ máximo).
$f''>0$ es cóncava hacia arriba, $f''<0$ cóncava hacia abajo; un punto de inflexión es donde cambia la concavidad ($f''$ cambia de signo).
Para un extremo absoluto en un intervalo cerrado, también verifique los extremos del intervalo.
Justifica cada conclusión citando el signo de $f'$ o $f''$: el examen exige el razonamiento, no solo la respuesta.
Lecciones interactivas sobre este tema
Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.
