Esta hoja cubre el Tema 2: Matemáticas Puras Avanzadas 进阶纯数学 2. Añade funciones hiperbólicas, autovalores, nuevas técnicas de diferenciación e integración, el teorema de De Moivre y métodos para ecuaciones diferenciales.
Matemáticas Puras Avanzadas 2
A-Level Matemáticas Avanzadas · Tema 2
11:29
Matemáticas Puras Adicionales 2
Mira cualquier cadena colgante, cualquier cable de energía, cualquier cable de suspensión. Siempre se asienta en una curva especial. Podrías suponer una parábola —pero no lo es. Es…
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2.1
Funciones hiperbólicas
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| comprender las definiciones de las funciones hiperbólicas $\sinh x$, $\cosh x$, $\tanh x$, $\text{sech } x$, $\text{cosech } x$, $\text{coth } x$ en términos de la función exponencial | |
| trazar gráficas de las funciones hiperbólicas | |
| demostrar e identificar identidades que involucren funciones hiperbólicas | p. ej. $\cosh^2 x - \sinh^2 x \equiv 1$, $\sinh 2x \equiv 2 \sinh x \cosh x$, y resultados análogos correspondientes a las identidades trigonométricas estándar. |
| comprender e identificar las definiciones de las funciones hiperbólicas inversas y derivar e identificar sus formas logarítmicas |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Las funciones hiperbólicas 双曲函数 se construyen a partir de la función exponencial:
$$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \qquad \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}.$$
Cumplen identidades similares a las trigonométricas, siendo la principal $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$. Los tres recíprocos completan el conjunto: $\operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x}$, $\operatorname{cosech} x = \dfrac{1}{\sinh x}$, y $\coth x = \dfrac{1}{\tanh x} = \dfrac{\cosh x}{\sinh x}$– todos construidos también a partir de $e^x$, y valen la pena reconocerlos en integrales y esquemas de corrección. Las funciones hiperbólicas inversas 反双曲函数 tienen una forma logarítmica 对数形式, por ejemplo $\sinh^{-1} x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$.
Ejemplo resuelto. Demuestre que $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.
$$\cosh^2 x - \sinh^2 x = \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{4} = \frac{(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})}{4} = \frac{4}{4} = 1.$$
Explorar
Funciones hiperbólicas
y = a cosh(x)
cosh es la catenaria (una cadena colgante) — par, con su mínimo en (0, a).
2.2
Matrices
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| plantear un problema que implique la solución de 3 ecuaciones lineales simultáneas en 3 incógnitas como un problema de solución de una ecuación matricial, o viceversa | |
| comprender los casos que pueden surgir respecto a la consistencia o inconsistencia de 3 ecuaciones lineales simultáneas, relacionarlos con la singularidad o no de la matriz correspondiente, resolver sistemas consistentes e interpretarlos geométricamente en términos de rectas y planos | p. ej., tres planos que se cortan en un punto común, o en una línea común, o que no tienen puntos comunes. |
| comprender los términos 'ecuación característica', 'valor propio' y 'vector propio', aplicados a matrices cuadradas | Incluyendo el uso de la definición $\mathbf{Ae} = \lambda \mathbf{e}$ para demostrar propiedades simples, p. ej., que $\lambda^n$ es un valor propio de $\mathbf{A}^n$. |
| encontrar los valores propios y vectores propios de matrices $2 \times 2$ y $3 \times 3$ | Limitado a casos en los que los valores propios sean reales y distintos. |
| expresar una matriz cuadrada en la forma $\mathbf{QDQ}^{-1}$, donde $\mathbf{D}$ es una matriz diagonal de valores propios y $\mathbf{Q}$ es una matriz cuyas columnas son vectores propios, y utilizar esta expresión | p. ej., en el cálculo de potencias de matrices $2 \times 2$ o $3 \times 3$. |
| utilizar el hecho de que una matriz cuadrada satisface su propia ecuación característica. | p. ej., para encontrar potencias sucesivas de una matriz o para hallar una matriz inversa; limitado únicamente a matrices $2 \times 2$ o $3 \times 3$. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Puede escribir tres ecuaciones lineales con tres incógnitas como una única ecuación matricial 矩阵方程 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. Si $A$ no es singular existe una solución; si $A$ es singular las ecuaciones son bien inconsistentes (sin solución) o tienen infinitas soluciones.
Para una matriz cuadrada $A$, la ecuación característica 特征方程 es $\det(A - \lambda I) = 0$. Sus soluciones son los autovalores 特征值 $\lambda$, y para cada uno el vector $\mathbf{v}$ con $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ es un autovector 特征向量. Luego puede escribir $A = QDQ^{-1}$, donde $D$ es una matriz diagonal 对角矩阵 de autovalores y las columnas de $Q$ son los autovectores.
Ejemplo resuelto. Encuentre los autovalores de $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.
La ecuación característica es
$$\det\begin{pmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{pmatrix} = (2 - \lambda)^2 - 1 = 0 \;\Rightarrow\; 2 - \lambda = \pm 1.$$
Por lo tanto $\lambda = 1$ o $\lambda = 3$. (El autovector para $\lambda = 3$ es $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ y para $\lambda = 1$ es $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$.)
Explorar
Transformaciones y el determinante
Cambia la matriz para rotar, estirar o cizallar el cuadrado unitario; el determinante muestra cómo cambia el área.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| Further Pure Mathematics/ˈfɜːðə pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | 进阶纯数学 | jìn jiē chún shù xué |
| hyperbolic functions/ˌhaɪpəˈbɒlɪk ˈfʌŋkʃnz/ | 双曲函数 | shuāng qū hán shù |
| inverse hyperbolic functions/ɪnˈvɜːs ˌhaɪpəˈbɒlɪk ˈfʌŋkʃnz/ | 反双曲函数 | fǎn shuāng qū hán shù |
| logarithmic form/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk fɔːm/ | 对数形式 | duì shù xíng shì |
| matrix equation/ˈmeɪtrɪks ɪˈkweɪʒn/ | 矩阵方程 | jǔ zhèn fāng chéng |
| characteristic equation/ˌkærɪktəˈrɪstɪk ɪˈkweɪʒn/ | 特征方程 | tè zhēng fāng chéng |
| eigenvalues/ˈaɪdʒənvæljuːz/ | 特征值 | tè zhēng zhí |
| eigenvector/ˈaɪdʒənvektə/ | 特征向量 | tè zhēng xiàng liàng |
| diagonal matrix/daɪˈæɡənl ˈmeɪtrɪks/ | 对角矩阵 | duì jiǎo jǔ zhèn |
| Maclaurin's series/məˈklɔːrɪnz ˈsɪəriːz/ | 麦克劳林级数 | mài kè láo lín jí shù |
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | 配方法 | pèi fāng fǎ |
| reduction formula/rɪˈdʌkʃn ˈfɔːmjʊlə/ | 递推公式 | dì tuī gōng shì |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | 弧长 | hú zhǎng |
| surface area of revolution/ˈsɜːfɪs ˈeərɪə ɒv ˌrevəˈluːʃn/ | 旋转曲面面积 | xuán zhuǎn qū miàn miàn jī |
| Riemann sum/ˈriːmən sʌm/ | 黎曼和 | lí màn hé |
2.3
Diferenciación
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • derivar funciones hiperbólicas y derivar $\sin^{-1}x$, $\cos^{-1}x$, $\sinh^{-1}x$, $\cosh^{-1}x$ y $\tanh^{-1}x$ | |
| • obtener una expresión para $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ en casos donde la relación entre $x$ e $y$ está definida de forma implícita o paramétrica | |
| • deducir y utilizar los primeros términos de una serie de Maclaurin para una función. | La deducción de un término general no se incluye, pero pueden requerirse pasos sucesivos de diferenciación 'implícita', p. ej., para $y = \tan x$ tras una reordenación inicial de la diferenciación como $y' = 1 + y^2$. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Ahora puedes derivar las funciones hiperbólicas y las funciones inversas $\sin^{-1}x$, $\tan^{-1}x$, $\sinh^{-1}x$ y así sucesivamente. También puedes encontrar $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ para curvas dadas de forma implícita o paramétrica.
Una serie de Maclaurin 麦克劳林级数 escribe una función como una serie de potencias:
$$f(x) = f(0) + f'(0)\,x + \frac{f''(0)}{2!}\,x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}\,x^3 + \cdots$$
Por ejemplo $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots$
Ejemplo resuelto. Encuentra la serie de Maclaurin de $f(x) = \ln(1+x)$ hasta el término en $x^3$.
$f(0) = 0$; $f'(x) = \dfrac{1}{1+x}$ por lo tanto $f'(0) = 1$; $f''(x) = \dfrac{-1}{(1+x)^2}$ por lo tanto $f''(0) = -1$; $f'''(x) = \dfrac{2}{(1+x)^3}$ por lo tanto $f'''(0) = 2$. Sustituyendo en la serie:
$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$$
Explorar
La pendiente en un punto
pendiente = dy/dx
La derivada es la pendiente de la recta tangente, sin importar lo exótica que sea la función.
2.4
Integración
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • integrar funciones hiperbólicas y reconocer las integrales de funciones de la forma $\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$, $\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}$ y $\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}$, e integrar las funciones asociadas mediante sustituciones trigonométricas o sustituciones hiperbólicas, según proceda | Incluyendo el uso del completado del cuadrado cuando sea necesario, por ejemplo, para integrar $\frac{1}{\sqrt{x^2 + x}}$. |
| • derivar y utilizar fórmulas de reducción para la evaluación de integrales definidas | por ejemplo, $\int_0^{\frac{1}{2}\pi} \sin^n x \text{ d}x$, $\int_0^1 \text{e}^{-x}(1-x)^n \text{ d}x$. En casos más difíciles pueden darse pistas, por ejemplo, $\int_0^{\frac{1}{4}\pi} \sec^n x \text{ d}x$ considerando $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\tan x \sec^n x)$. |
| • comprender cómo el área bajo una curva puede aproximarse mediante áreas de rectángulos, y utilizar rectángulos para estimar o establecer cotas para el área bajo una curva o para derivar desigualdades o límites concernientes a sumas | Las preguntas pueden implicar rectángulos de anchura unidad o rectángulos cuya anchura puede tender a cero, por ejemplo, $1 + \ln n > \sum_{r=1}^n \frac{1}{r} > \ln(n+1)$, $\sum_{r=1}^n \frac{1}{n}\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{-1} \approx \int_0^1 (1+x)^{-1} \text{ d}x$. continuación |
| • utilizar la integración para encontrar – longitudes de arco de curvas con ecuaciones en coordenadas cartesianas, incluido el uso de un parámetro, o en coordenadas polares – áreas superficiales de revolución alrededor de uno de los ejes para curvas con ecuaciones en coordenadas cartesianas, incluido el uso de un parámetro. | Cualquier pregunta que implique integración puede requerir técnicas de Cambridge International A Level Mathematics (9709) aplicadas a casos más difíciles, por ejemplo, integración por partes para $\int e^x \sin x \mathrm{d}x$, o el uso de la sustitución $t = \tan \frac{1}{2}x$. No se requerirán áreas superficiales de revolución para curvas con ecuaciones en coordenadas polares. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Aprende estas integrales estándar:
$$\int \frac{1}{a^2 + x^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C, \qquad \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\,dx = \sin^{-1}\frac{x}{a} + C.$$
Una sustitución trigonométrica, una sustitución hiperbólica o completar el cuadrado 配方法 en el denominador maneja formas relacionadas. Una fórmula de reducción 递推公式 vincula una integral $I_n$ con $I_{n-1}$, para que puedas trabajar paso a paso hacia abajo. La integración también proporciona la longitud de arco 弧长 de una curva y el área de superficie de revolución 旋转曲面面积 cuando una curva gira alrededor de un eje.
Ejemplo resuelto. Halla $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx$.
Aquí $a^2 = 4$, por lo tanto $a = 2$ y
$$\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx = \sin^{-1}\frac{x}{2} + C.$$
Acotar una suma mediante una integral. Dibuja rectángulos de ancho unitario debajo o encima de una curva decreciente como $y=\frac1x$. Cada rectángulo de altura $\frac1r$ queda atrapado entre dos franjas integrales, por lo que al sumar obtenemos
$$\ln(n+1) < \sum_{r=1}^{n}\frac1r < 1 + \ln n.$$
Reducir el ancho del rectángulo a $\frac1n\to 0$ convierte tales sumas en una suma de Riemann 黎曼和 que iguala a la integral en el límite, p. ej. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{r=1}^{n}f\!\left(\frac{r}{n}\right)=\int_0^1 f(x)\,dx$.
Explorar
El área bajo la curva
área = ∫ f(x) dx
Toda integral mide el área bajo la curva — arrastra los límites.
2.5
Números complejos
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • comprender el teorema de De Moivre, para un exponente entero positivo o negativo, en términos del efecto geométrico de la multiplicación y división de números complejos | |
| • demostrar el teorema de De Moivre para un exponente entero positivo | p. ej., por inducción. |
| • usar el teorema de De Moivre para un exponente racional positivo o negativo | p. ej., expresando $\cos 5\theta$ en términos de $\cos \theta$ o $\tan 5\theta$ en términos de $\tan \theta$. |
| – expresar razones trigonométricas de ángulos múltiplos en términos de potencias de las razones trigonométricas del ángulo fundamental | p. ej., expresando $\sin^6 \theta$ en términos de $\cos 2\theta$, $\cos 4\theta$ y $\cos 6\theta$. |
| – expresar potencias de $\sin \theta$ y $\cos \theta$ en términos de ángulos múltiplos | |
| – en la suma de series | p. ej., usando el método '$C + \mathrm{i}S$' para sumar series como $\sum_{r=1}^{n} \binom{n}{r} \sin r\theta$. |
| – al encontrar y utilizar las raíces $n$-ésimas de la unidad. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Un número complejo 复数 en forma polar es $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$. El teorema de De Moivre 棣莫弗定理 establece que para cualquier entero $n$,
$$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta.$$
Se utiliza para expandir $\cos n\theta$ y $\sin n\theta$ en potencias, para sumar series y para encontrar las $n$ raíces de la unidad 单位根 (las soluciones de $z^n = 1$, distribuidas uniformemente alrededor del círculo unitario).
Ejemplo resuelto. Use el teorema de De Moivre para expresar $\cos 3\theta$ en términos de $\cos\theta$.
Tome la parte real de $(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos 3\theta + i\sin 3\theta$:
$$\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta(1 - \cos^2\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta.$$
Explorar
El diagrama de Argand
Arrastra el punto para explorar módulo y argumento: el lenguaje de los números complejos en forma polar (módulo–argumento).
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| complex number/ˈkɒmpleks ˈnʌmbə/ | 复数 | fù shù |
| De Moivre's theorem/də ˈmɔɪvəz ˈθɪərəm/ | 棣莫弗定理 | dì mò fú dìng lǐ |
| roots of unity/ruːts ɒv ˈjuːnɪti/ | 单位根 | dān wèi gēn |
| integrating factor/ˈɪntɪɡreɪtɪŋ ˈfæktə/ | 积分因子 | jī fēn yīn zi |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | 通解 | tōng jiě |
| complementary function/ˌkɒmplɪˈmentəri ˈfʌŋkʃn/ | 余函数 | yú hán shù |
| particular integral/pəˈtɪkjʊlə ˈɪntɪɡrəl/ | 特积分 | tè jī fēn |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | 特解 | tè jiě |
| separable variables/ˈsepərəbl ˈveərɪəblz/ | 可分离变量 | kě fēn lí biàn liàng |
| auxiliary equation/ɔːkˈsɪlɪəri ɪˈkweɪʒn/ | 辅助方程 | fǔ zhù fāng chéng |
2.6
Ecuaciones diferenciales
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • encontrar un factor integrante para una ecuación diferencial lineal de primer orden, y utilizar un factor integrante para hallar la solución general | p.ej. $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - 2y = x^2$, $x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - y = x^4$, $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y\coth x = \cosh x$. |
| • recordar el significado de los términos 'función complementaria' e 'integral particular' en el contexto de las ecuaciones diferenciales lineales, y recordar que la solución general es la suma de la función complementaria y una integral particular | |
| • hallar la función complementaria para una ecuación diferencial lineal de primer o segundo orden con coeficientes constantes | Para ecuaciones de segundo orden, incluyendo los casos en los que la ecuación auxiliar tiene raíces reales distintas, una raíz real repetida o raíces complejas conjugadas. |
| • recordar la forma de, y hallar, una integral particular para una ecuación diferencial lineal de primer o segundo orden en los casos en que un polinomio o $ae^{bx}$ o $a\cos px + b\sin px$ constituyen una forma adecuada, y en otros casos simples hallar el/los coeficiente(s) apropiado(s) dada una forma adecuada de integral particular | p.ej. evaluar $k$ dado que $kx \cos 2x$ es una integral particular de $$\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + 4y = \sin 2x$$ . |
| • utilizar una sustitución dada para reducir una ecuación diferencial a una ecuación lineal de primer o segundo orden con coeficientes constantes, o a una ecuación de primer orden con variables separables | p.ej. la sustitución $x = e^t$ para reducir a forma lineal una ecuación diferencial con términos de la forma $$ax^2\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + bx\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + cy$$ , o la sustitución $y = ux$ para reducir $$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{x+y}{x-y}$$ a forma separable. |
| • utilizar condiciones iniciales para hallar una solución particular a una ecuación diferencial, e interpretar una solución en términos de un problema modelado mediante una ecuación diferencial. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Para una ecuación lineal de primer orden $\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$, multiplique por el factor integrante 积分因子 $\mu = e^{\int P\,dx}$. El lado izquierdo se convierte entonces en $\dfrac{d}{dx}(\mu y)$, por lo que puede integrar directamente.
Para una ecuación lineal con coeficientes constantes, la solución general 通解 es la suma de dos partes: la función complementaria 余函数 (la solución de la ecuación con el lado derecho igual a $0$, encontrada a partir de la ecuación auxiliar) y un integral particular 特积分 (cualquier solución de la ecuación completa). Las condiciones iniciales then fixan las constantes para dar la solución particular 特解; las ecuaciones más simples con variables separables 可分离变量 se integran directamente.
Ejemplo resuelto. Resuelva $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^x$.
El factor integrante es $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$. Al multiplicar toda la expresión se obtiene $\dfrac{d}{dx}\!\left(y\,e^{2x}\right) = e^{3x}$, por lo tanto
$$y\,e^{2x} = \tfrac13 e^{3x} + C \;\Rightarrow\; y = \tfrac13 e^x + C e^{-2x}.$$
Segundo orden, coeficientes constantes. Para $\dfrac{d^2y}{dx^2}+b\dfrac{dy}{dx}+cy=f(x)$, resuelva la ecuación auxiliar 辅助方程 $m^2+bm+c=0$. La función complementaria depende de sus raíces:
- dos raíces reales distintas $m_1,m_2$: $y=Ae^{m_1x}+Be^{m_2x}$;
- una raíz repetida $m$: $y=(A+Bx)e^{mx}$;
- raíces complejas $p\pm qi$: $y=e^{px}(A\cos qx+B\sin qx)$.
Luego agregue un integral particular probando una forma que coincida con $f(x)$ (un polinomio, $ae^{bx}$, o $a\cos px+b\sin px$); si esa prueba ya aparece en la función complementaria, multiplíquela por $x$.
Ejemplo resuelto. Resuelva $\dfrac{d^2y}{dx^2}-4\dfrac{dy}{dx}+4y=0$. La ecuación auxiliar $m^2-4m+4=(m-2)^2=0$ tiene una raíz repetida $m=2$, por lo que $y=(A+Bx)e^{2x}$.
Explorar
Ecuaciones diferenciales
dy/dx = a y
La ecuación establece la pendiente en todos lados; la solución sigue esas pendientes.
2.6
Consejos para el examen
- Aprenda las identidades hiperbólicas y sus derivadas, y utilice las funciones hiperbólicas inversas en la integración.
- Resuelva una ecuación diferencial lineal como función complementaria $+$ integral particular, luego aplique las condiciones de frontera.
- Utilice el teorema de De Moivre para potencias y raíces de números complejos y para deducir identidades trigonométricas.
- Reduzca una integral a una forma estándar mediante una sustitución indicada.
Lecciones interactivas sobre este tema
Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.