Este folleto cubre el Tema 1: Matemáticas Puras Avanzadas 进阶纯数学 1. Añade nueva álgebra, matrices, coordenadas polares, más vectores y demostración por inducción.
Matemáticas Puras Avanzadas 1
A-Level Matemáticas Avanzadas · Tema 1
14:28
Matemáticas Puras Adicionales 1
Aquí hay una ecuación cúbica, cruzando el eje en tres raíces. Encontrar esas raíces exactamente puede ser difícil —o incluso imposible a mano. Pero aquí hay una hermosa…
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1.1
Raíces de ecuaciones polinómicas
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • recordar y utilizar las relaciones entre las raíces y los coeficientes de las ecuaciones polinómicas | p. ej., para evaluar funciones simétricas de las raíces o para resolver problemas que involucran coeficientes desconocidos en ecuaciones; restringido únicamente a ecuaciones de grado 2, 3 o 4. |
| • utilizar una sustitución para obtener una ecuación cuyas raíces estén relacionadas de manera simple con las de la ecuación original | No se proporcionarán sustituciones para los casos más sencillos, p. ej., cuando las nuevas raíces son recíprocas, cuadrados o una función lineal simple de las raíces antiguas. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Para una ecuación polinómica, las raíces 根 están vinculadas a los coeficientes 系数. Para $ax^2 + bx + c = 0$ con raíces $\alpha, \beta$:
$$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \qquad \alpha\beta = \frac{c}{a}.$$
Para un cúbico $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ con raíces $\alpha, \beta, \gamma$:
$$\sum\alpha = -\frac{b}{a}, \qquad \sum\alpha\beta = \frac{c}{a}, \qquad \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}.$$
Las sumas como $\sum\alpha$ y $\sum\alpha\beta$ son funciones simétricas 对称函数 de las raíces (no cambian si se intercambian las raíces). Para encontrar una ecuación cuyas raíces cambien de forma sencilla, utilice una sustitución 代换 (por ejemplo, ponga $w = \alpha + 1$).
Ejemplo resuelto. La ecuación $x^2 - 5x + 6 = 0$ tiene raíces $\alpha, \beta$. Encuentre la ecuación con raíces $\alpha + 1, \beta + 1$.
Aquí $\alpha + \beta = 5$ y $\alpha\beta = 6$. La nueva suma es $(\alpha + 1) + (\beta + 1) = 7$, y el nuevo producto es $(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = 6 + 5 + 1 = 12$. Por lo tanto, la nueva ecuación es
$$x^2 - 7x + 12 = 0.$$
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Raíces de un polinomio
y = ax³ + bx² + cx + d
Las raíces son los puntos donde la curva intersecta el eje x — su suma y producto se relacionan con los coeficientes.
1.2
Funciones racionales y gráficas
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • dibujar a mano alzada las gráficas de funciones racionales simples, incluida la determinación de asíntotas oblicuas, en casos en que el grado del numerador y del denominador sea como máximo 2 | Incluye la determinación del conjunto de valores tomados por la función, p. ej., mediante el uso de un discriminante. No se requerirá una representación detallada de las curvas, pero generalmente se esperará que los bocetos muestren características significativas, tales como puntos de giro, asíntotas e intersecciones con los ejes. |
| • comprender y utilizar las relaciones entre las gráficas de $y = f(x)$, $y^2 = f(x)$, $y = \frac{1}{f(x)}$, $y = |f(x)|$ y $y = f(|x|)$ | Incluye el uso de dichas gráficas a mano alzada durante la resolución de ecuaciones o inecuaciones. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Una función racional 有理函数 es una fracción de dos polinomios. Cuando el numerador tiene un grado exactamente uno mayor que el denominador, la gráfica tiene una asíntota oblicua 斜渐近线 (una línea inclinada a la que se aproxima la curva); ábrala mediante división larga. También debe ser capaz de relacionar la gráfica de $y = f(x)$ con las de $y^2 = f(x)$, $y = \dfrac{1}{f(x)}$, $y = |f(x)|$ y $y = f(|x|)$. Encuentre el conjunto de valores que puede tomar la función usando el discriminante 判别式, y localice sus puntos de inflexión 驻点.
Ejemplo resuelto. Encuentre la asíntota oblicua de $y = \dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1}$.
Divida la fracción: $\dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1} = x + \dfrac{1}{x + 1}$. Cuando $x \to \pm\infty$, el residuo $\dfrac{1}{x+1} \to 0$, por lo que la curva se acerca a la línea $y = x$ —la asíntota oblicua.
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Funciones racionales
y = a/(x − b) + c
Una función racional tiene asíntotas, la curva se acerca pero nunca las toca.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| Further Pure Mathematics/ˈfɜːðə pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | 进阶纯数学 | jìn jiē chún shù xué |
| roots/ruːts/ | 根 | gēn |
| coefficients/ˌkəʊɪˈfɪʃənts/ | 系数 | xì shù |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | 代换 | dài huàn |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | 有理函数 | yǒu lǐ hán shù |
| oblique asymptote/əˈbliːk ˈæsɪmptəʊt/ | 斜渐近线 | xié jiàn jìn xiàn |
| method of differences/ˈmeθəd ɒv ˈdɪfrənsɪz/ | 差分法 | chā fēn fǎ |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | 判别式 | pàn bié shì |
| turning points/ˈtɜːnɪŋ pɔɪnts/ | 驻点 | zhù diǎn |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | 部分分式 | bù fèn fēn shì |
| rotation/rəʊˈteɪʃn/ | 旋转 | xuán zhuǎn |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | 反射 | fǎn shè |
| enlargement/enˈlɑːdʒmənt/ | 放大 | fàng dà |
| stretch/stretʃ/ | 拉伸 | lā shēn |
| shear/ʃɪə/ | 切变 | qiē biàn |
1.3
Suma de series
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| • utilizar los resultados estándar para $\sum r$, $\sum r^2$, $\sum r^3$ para encontrar sumas relacionadas | |
| • utilizar el método de diferencias para obtener la suma de una serie finita | Puede ser necesario el uso de fracciones parciales para expresar un término general en una forma adecuada. |
| • reconocer, mediante la consideración directa de una suma hasta $n$ términos, cuándo una serie es convergente, y hallar la suma al infinito en tales casos |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Aprende los resultados estándar:
$$\sum_{r=1}^{n} r = \tfrac12 n(n+1), \qquad \sum_{r=1}^{n} r^2 = \tfrac16 n(n+1)(2n+1), \qquad \sum_{r=1}^{n} r^3 = \tfrac14 n^2(n+1)^2.$$
El método de diferencias 差分法 suma una serie cancelando los términos intermedios: si las fracciones parciales 部分分式 escriben cada término como $f(r) - f(r+1)$, casi todo se cancela. A partir de la suma hasta $n$ términos puedes ver si una serie es convergente 收敛 y, si lo es, hallar su suma al infinito 无穷和.
Ejemplo resuelto. Halla $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} (2r + 1)$.
$$\sum_{r=1}^{n}(2r + 1) = 2\sum_{r=1}^{n} r + \sum_{r=1}^{n} 1 = 2\cdot\tfrac12 n(n+1) + n = n(n+1) + n = n(n+2).$$
Explorar
Secuencias y sus sumas
Recorre los términos y el total acumulado: la idea detrás de una serie y su suma hasta n términos.
Vocabulario
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| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| convergent/kənˈvɜːdʒənt/ | 收敛 | shōu liǎn |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | 无穷和 | wú qióng hé |
1.4
Matrices
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| realizar operaciones de suma, resta y multiplicación de matrices, y reconocer los términos matriz nula y matriz identidad (o unidad) | Incluyendo matrices no cuadradas. Las matrices tendrán como máximo 3 filas y columnas. |
| recordar el significado de los términos singular y no singular aplicados a matrices cuadradas, y para matrices $2 \times 2$ y $3 \times 3$, evaluar determinantes y hallar las inversas de matrices no singulares | Se utilizarán las notaciones $\det \mathbf{M}$ para el determinante de una matriz $\mathbf{M}$, e $\mathbf{I}$ para la matriz identidad. |
| comprender y usar el resultado, para matrices no singulares, $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$ | Puede requerirse la extensión al producto de más de dos matrices. |
| comprender el uso de matrices $2 \times 2$ para representar ciertas transformaciones geométricas en el plano $x$-$y$, en particular: – comprender la relación entre las transformaciones representadas por $\mathbf{A}$ y $\mathbf{A}^{-1}$ – reconocer que el producto matricial $\mathbf{AB}$ representa la transformación resultante de aplicar primero la transformación representada por $\mathbf{B}$ y luego la transformación representada por $\mathbf{A}$ – recordar cómo se relaciona el factor de escala de área de una transformación con el determinante de la matriz correspondiente – hallar la matriz que representa una transformación dada o una secuencia de transformaciones | Se requerirá comprensión de los términos rotación, reflexión, agrandamiento, estiramiento y cizallamiento para transformaciones 2D. Pueden incluirse otras transformaciones 2D, pero no se espera conocimiento específico de ellas. |
| comprender el significado de invariante aplicado a puntos y líneas en el contexto de transformaciones representadas por matrices, y resolver problemas sencillos que involucren puntos invariantes y líneas invariantes. | p. ej., localizar los puntos invariantes de la transformación representada por $\begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, o hallar las líneas invariantes que pasan por el origen para $\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, o demostrar que cualquier recta con pendiente 1 es invariante para $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Una matriz 矩阵 es un bloque rectangular de números. La suma de matrices añade entradas en posiciones coincidentes; también puedes restar y multiplicar matrices (la multiplicación es fila $\times$ columna). La matriz nula 零矩阵 tiene todas sus entradas $0$, y la matriz identidad 单位矩阵 (o matriz unitaria) $I$ deja cualquier matriz sin cambios bajo la multiplicación.
Para una matriz $2\times 2$ $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, el determinante 行列式 es $\det A = ad - bc$. Si $\det A \neq 0$ la matriz es no singular (de lo contrario es una matriz singular 奇异矩阵), y la matriz inversa 逆矩阵 es
$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$$
Para un producto, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$. Una matriz $2\times 2$ puede representar una transformación geométrica 几何变换 del plano — una rotación 旋转, reflexión 反射, agrandamiento 放大, estiramiento 拉伸 o cizalladura 切变: el determinante da el factor de escala del área, y un producto $AB$ significa "hacer $B$, luego hacer $A$". Los puntos o líneas que no se mueven se llaman puntos invariantes 不变点 y líneas invariantes 不变直线.
Ejemplo resuelto. Halla la inversa de $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$.
$\det A = 3\times 4 - 1\times 2 = 10$, por lo tanto
$$A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}.$$
Explorar
Matrices como transformaciones
Cambia las cuatro entradas y observa cómo el cuadrado unitario se mapea a una nueva forma. El determinante es el factor de escala de área.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| matrix/ˈmeɪtrɪks/ | 矩阵 | jǔ zhèn |
| zero matrix/ˈzɪərəʊ ˈmeɪtrɪks/ | 零矩阵 | líng jǔ zhèn |
| identity matrix/aɪˈdentɪti ˈmeɪtrɪks/ | 单位矩阵 | dān wèi jǔ zhèn |
| determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/ | 行列式 | háng liè shì |
| singular matrix/ˈsɪŋɡjʊlə ˈmeɪtrɪks/ | 奇异矩阵 | qí yì jǔ zhèn |
| inverse matrix/ɪnˈvɜːs ˈmeɪtrɪks/ | 逆矩阵 | nì jǔ zhèn |
| geometric transformation/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk trænsfɔːˈmeɪʃn/ | 几何变换 | jǐ hé biàn huàn |
| invariant points/ɪnˈveərɪənt pɔɪnts/ | 不变点 | bù biàn diǎn |
| invariant lines/ɪnˈveərɪənt laɪnz/ | 不变直线 | bù biàn zhí xiàn |
| polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | 极坐标 | jí zuò biāo |
| Cartesian coordinates/kɑːˈtiːzɪən kəʊˈɔːdɪnəts/ | 直角坐标 | zhí jiǎo zuò biāo |
| polar curves/ˈpəʊlə kɜːvz/ | 极坐标曲线 | jí zuò biāo qū xiàn |
| plane/pleɪn/ | 平面 | píng miàn |
1.5
Coordenadas polares
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| comprender las relaciones entre coordenadas cartesianas y coordenadas polares, y convertir ecuaciones de curvas de forma cartesiana a polar y viceversa | Se utilizará la convención $r \geqslant 0$. |
| esbozar curvas polares simples, para $0 \leqslant \theta < 2\pi$ o $-\pi < \theta \leqslant \pi$ o un subconjunto de cualquiera de estos intervalos | No se requerirá el trazado detallado de curvas, pero generalmente se esperará que los esbozos muestren características significativas, como simetría, coordenadas de intersección con la línea inicial, la forma de la curva en el polo y los valores mínimo/máximo de $r$. |
| recordar la fórmula $\frac{1}{2} \int r^2 \mathrm{d}\theta$ para el área de un sector, y utilizar esta fórmula en casos sencillos. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
Las coordenadas polares 极坐标 dan un punto por su distancia $r$ al origen y su ángulo $\theta$. Se relacionan con las coordenadas cartesianas 直角坐标 mediante
$$x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta, \qquad r^2 = x^2 + y^2.$$
Debes dibujar a mano curvas polares simples 极坐标曲线, y hallar el área de un sector con
$$\text{area} = \tfrac12\int r^2\,d\theta.$$
Ejemplo resuelto. Convierta la ecuación polar $r = 4\cos\theta$ a forma cartesiana.
Multiplique ambos lados por $r$: $r^2 = 4r\cos\theta$, por lo tanto $x^2 + y^2 = 4x$. Completar el cuadrado da como resultado $(x - 2)^2 + y^2 = 4$, un círculo de radio $2$ centrado en $(2, 0)$.
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Curvas polares
Elige una curva y cambia a. En forma polar, un punto se define por su distancia r y ángulo θ: eso dibuja rosas, cardioides y espirales.
1.6
Vectores
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| usar la ecuación de un plano en cualquiera de las formas $ax + by + cz = d$ o $\mathbf{r.n} = p$ o $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$ y convertir ecuaciones de planos de una forma a otra según sea necesario para resolver problemas | |
| recordar que el producto vectorial $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ de dos vectores puede expresarse bien como $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\hat{\mathbf{n}}$, donde $\hat{\mathbf{n}}$ es un vector unitario, o en forma de componentes como $(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}$ | |
| usar ecuaciones de rectas y planos, junto con productos escalares y vectoriales cuando corresponda, para resolver problemas relacionados con distancias, ángulos e intersecciones, incluyendo: – determinar si una recta se encuentra en un plano, es paralela a un plano o intersecta un plano, y encontrar el punto de intersección de una recta y un plano cuando existe – encontrar el pie de la perpendicular desde un punto a un plano – encontrar el ángulo entre una recta y un plano, y el ángulo entre dos planos – encontrar una ecuación para la recta de intersección de dos planos – calcular la distancia más corta entre dos rectas alabeadas – encontrar una ecuación para la perpendicular común a dos rectas alabeadas. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
En tres dimensiones un plano 平面 se puede escribir como $ax + by + cz = d$, o $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$, o $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$. Además del producto escalar, existe el producto vectorial 向量积 de dos vectores 向量:
$$\mathbf{a}\times\mathbf{b} = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\sin\theta\;\hat{\mathbf{n}},$$
que produce un vector perpendicular a ambos. Con productos escalares y vectoriales se pueden encontrar distancias, ángulos y puntos de intersección entre líneas y planos — incluyendo la distancia más corta entre líneas alabeadas 异面直线.
Ejemplo resuelto. Encuentre $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ para $\mathbf{a} = \mathbf{i} + \mathbf{j}$ y $\mathbf{b} = \mathbf{j} + \mathbf{k}$.
$$\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(1) = \mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k}.$$
Explorar
Vectores
a · b = |a||b|cos θ
El producto escalar es cero exactamente cuando dos vectores son perpendiculares.
Vocabulario
Entrenar
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| vector product/ˈvektə ˈprɒdʌkt/ | 向量积 | xiàng liàng jī |
| vectors/ˈvektəz/ | 向量 | xiàng liàng |
| skew lines/skjuː laɪnz/ | 异面直线 | yì miàn zhí xiàn |
| mathematical induction/ˌmæθɪˈmætɪkl ɪnˈdʌkʃn/ | 数学归纳法 | shù xué guī nà fǎ |
| conjecture/kənˈdʒektʃə/ | 猜想 | cāi xiǎng |
| inductive proof/ɪnˈdʌktɪv pruːf/ | 归纳证明 | guī nà zhèng míng |
| symmetric functions/sɪˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/ | 对称函数 | duì chèn hán shù |
1.7
Demostración por inducción
Syllabus
| Los candidatos deben ser capaces de: | Notas y ejemplos |
|---|---|
| utilizar el método de inducción matemática para establecer un resultado dado | ej. $\sum_{r=1}^{n} r^4 = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2$, $u_n = \frac{1}{2}(1 + 3^{n-1})$ para la secuencia dada por $u_{n+1} = 3u_n - 1$ y $u_1 = 1$, $\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 3 \times 2^n - 2 & 1 - 2^n \\ 3 \times 2^{n+1} - 6 & 3 - 2^{n+1} \end{pmatrix}$, $3^{2n} + 2 \times 5^n - 3$ es divisible por 8. |
| reconocer situaciones donde una conjetura basada en una prueba limitada seguida de una demostración inductiva es una estrategia útil, y llevarla a cabo en casos simples. | ej. encontrar la derivada $n$-ésima de $x e^x$, encontrar $\sum_{r=1}^{n} r \times r!$. |
Fuente: Plan de estudios Cambridge International
La inducción matemática 数学归纳法 demuestra un resultado para cada entero positivo $n$ en dos pasos:
- Caso base: demuestra que el resultado es verdadero para $n = 1$.
- Paso inductivo: asume que es verdadero para $n = k$, luego demuestra que lo es para $n = k + 1$.
Si ambos pasos funcionan, el resultado es verdadero para todos los $n$. A menudo primero haces una conjetura 猜想 (una suposición razonable) a partir de unos pocos casos, y luego la confirmas mediante una demostración por inducción 归纳证明.
Ejemplo resuelto. Demuestra que $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r = \tfrac12 n(n+1)$.
Caso base $n = 1$: el lado izquierdo es $1$ y el lado derecho es $\tfrac12(1)(2) = 1$. Cierto. Paso inductivo: asume $\displaystyle\sum_{r=1}^{k} r = \tfrac12 k(k+1)$. Entonces
$$\sum_{r=1}^{k+1} r = \tfrac12 k(k+1) + (k+1) = (k+1)\left(\tfrac{k}{2} + 1\right) = \tfrac12 (k+1)(k+2).$$
Esta es la fórmula con $n = k + 1$, por lo tanto, por inducción, se cumple para todos los $n$.
Explorar
Ruta de demostración por inducción
Ver la inducción como una primera ficha de dominó más una regla que empuja cada caso siguiente.
1.7
Consejos para el examen
- Usa las relaciones entre raíces y coeficientes (suma, suma de pares, producto) en lugar de resolver el polinomio.
- Para la demostración por inducción, presenta el caso base, asume el resultado para $n = k$, demuéstralo para $n = k+1$, y escribe una conclusión clara.
- Dibuja gráficos de funciones racionales con sus asíntotas y puntos de giro; utiliza el método de diferencias para una sumatoria.
- Para las matrices, conoce el determinante, la inversa y las líneas invariantes, e interpreta cada transformación geométricamente.
Lecciones interactivas sobre este tema
Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.