A-Level Matemáticas Avanzadas

Para una ecuación polinómica, las raíces 根 están vinculadas a los coeficientes 系数. Para $ax^2 + bx + c = 0$ con raíces $\alpha, \beta$:

Para un cúbico $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ con raíces $\alpha, \beta, \gamma$: Las sumas como $\sum\alpha$ y $\sum\alpha\beta$ son funciones simétricas 对称函数 de las raíces (no cambian si se intercambian las raíces). Para encontrar una ecuación cuyas raíces cambien de forma sencilla, utilice una sustitución 代换 (por ejemplo, ponga $w = \alpha + 1$).

Ejemplo resuelto. La ecuación $x^2 - 5x + 6 = 0$ tiene raíces $\alpha, \beta$. Encuentre la ecuación con raíces $\alpha + 1, \beta + 1$.

Aquí $\alpha + \beta = 5$ y $\alpha\beta = 6$. La nueva suma es $(\alpha + 1) + (\beta + 1) = 7$, y el nuevo producto es $(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = 6 + 5 + 1 = 12$. Por lo tanto, la nueva ecuación es

Una función racional 有理函数 es una fracción de dos polinomios. Cuando el numerador tiene un grado exactamente uno mayor que el denominador, la gráfica tiene una asíntota oblicua 斜渐近线 (una línea inclinada a la que se aproxima la curva); ábrala mediante división larga. También debe ser capaz de relacionar la gráfica de $y = f(x)$ con las de $y^2 = f(x)$, $y = \dfrac{1}{f(x)}$, $y = |f(x)|$ y $y = f(|x|)$. Encuentre el conjunto de valores que puede tomar la función usando el discriminante 判别式, y localice sus puntos de inflexión 驻点.

Ejemplo resuelto. Encuentre la asíntota oblicua de $y = \dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1}$.

Divida la fracción: $\dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1} = x + \dfrac{1}{x + 1}$. Cuando $x \to \pm\infty$, el residuo $\dfrac{1}{x+1} \to 0$, por lo que la curva se acerca a la línea $y = x$ —la asíntota oblicua.

Aprende los resultados estándar:

El método de diferencias 差分法 suma una serie cancelando los términos intermedios: si las fracciones parciales 部分分式 escriben cada término como $f(r) - f(r+1)$, casi todo se cancela. A partir de la suma hasta $n$ términos puedes ver si una serie es convergente 收敛 y, si lo es, hallar su suma al infinito 无穷和.

Ejemplo resuelto. Halla $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} (2r + 1)$.

Una matriz 矩阵 es un bloque rectangular de números. La suma de matrices añade entradas en posiciones coincidentes; también puedes restar y multiplicar matrices (la multiplicación es fila $\times$ columna). La matriz nula 零矩阵 tiene todas sus entradas $0$, y la matriz identidad 单位矩阵 (o matriz unitaria) $I$ deja cualquier matriz sin cambios bajo la multiplicación.

Para una matriz $2\times 2$ $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, el determinante 行列式 es $\det A = ad - bc$. Si $\det A \neq 0$ la matriz es no singular (de lo contrario es una matriz singular 奇异矩阵), y la matriz inversa 逆矩阵 es

Para un producto, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$. Una matriz $2\times 2$ puede representar una transformación geométrica 几何变换 del plano — una rotación 旋转, reflexión 反射, agrandamiento 放大, estiramiento 拉伸 o cizalladura 切变: el determinante da el factor de escala del área, y un producto $AB$ significa "hacer $B$, luego hacer $A$". Los puntos o líneas que no se mueven se llaman puntos invariantes 不变点 y líneas invariantes 不变直线.

Ejemplo resuelto. Halla la inversa de $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$.

$\det A = 3\times 4 - 1\times 2 = 10$, por lo tanto

Las coordenadas polares 极坐标 dan un punto por su distancia $r$ al origen y su ángulo $\theta$. Se relacionan con las coordenadas cartesianas 直角坐标 mediante

Debes dibujar a mano curvas polares simples 极坐标曲线, y hallar el área de un sector con

Ejemplo resuelto. Convierta la ecuación polar $r = 4\cos\theta$ a forma cartesiana.

Multiplique ambos lados por $r$: $r^2 = 4r\cos\theta$, por lo tanto $x^2 + y^2 = 4x$. Completar el cuadrado da como resultado $(x - 2)^2 + y^2 = 4$, un círculo de radio $2$ centrado en $(2, 0)$.

En tres dimensiones un plano 平面 se puede escribir como $ax + by + cz = d$, o $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$, o $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$. Además del producto escalar, existe el producto vectorial 向量积 de dos vectores 向量:

que produce un vector perpendicular a ambos. Con productos escalares y vectoriales se pueden encontrar distancias, ángulos y puntos de intersección entre líneas y planos — incluyendo la distancia más corta entre líneas alabeadas 异面直线.

Ejemplo resuelto. Encuentre $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ para $\mathbf{a} = \mathbf{i} + \mathbf{j}$ y $\mathbf{b} = \mathbf{j} + \mathbf{k}$.

La inducción matemática 数学归纳法 demuestra un resultado para cada entero positivo $n$ en dos pasos:

1. Caso base: demuestra que el resultado es verdadero para $n = 1$.
2. Paso inductivo: asume que es verdadero para $n = k$, luego demuestra que lo es para $n = k + 1$.

Si ambos pasos funcionan, el resultado es verdadero para todos los $n$. A menudo primero haces una conjetura 猜想 (una suposición razonable) a partir de unos pocos casos, y luego la confirmas mediante una demostración por inducción 归纳证明.

Ejemplo resuelto. Demuestra que $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r = \tfrac12 n(n+1)$.

Caso base $n = 1$: el lado izquierdo es $1$ y el lado derecho es $\tfrac12(1)(2) = 1$. Cierto. Paso inductivo: asume $\displaystyle\sum_{r=1}^{k} r = \tfrac12 k(k+1)$. Entonces

Esta es la fórmula con $n = k + 1$, por lo tanto, por inducción, se cumple para todos los $n$.

• Usa las relaciones entre raíces y coeficientes (suma, suma de pares, producto) en lugar de resolver el polinomio.
• Para la demostración por inducción, presenta el caso base, asume el resultado para $n = k$, demuéstralo para $n = k+1$, y escribe una conclusión clara.
• Dibuja gráficos de funciones racionales con sus asíntotas y puntos de giro; utiliza el método de diferencias para una sumatoria.
• Para las matrices, conoce el determinante, la inversa y las líneas invariantes, e interpreta cada transformación geométricamente.

Las funciones hiperbólicas 双曲函数 se construyen a partir de la función exponencial:

Cumplen identidades similares a las trigonométricas, siendo la principal $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$. Los tres recíprocos completan el conjunto: $\operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x}$, $\operatorname{cosech} x = \dfrac{1}{\sinh x}$, y $\coth x = \dfrac{1}{\tanh x} = \dfrac{\cosh x}{\sinh x}$– todos construidos también a partir de $e^x$, y valen la pena reconocerlos en integrales y esquemas de corrección. Las funciones hiperbólicas inversas 反双曲函数 tienen una forma logarítmica 对数形式, por ejemplo $\sinh^{-1} x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$.

Ejemplo resuelto. Demuestre que $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.

Puede escribir tres ecuaciones lineales con tres incógnitas como una única ecuación matricial 矩阵方程 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. Si $A$ no es singular existe una solución; si $A$ es singular las ecuaciones son bien inconsistentes (sin solución) o tienen infinitas soluciones.

Para una matriz cuadrada $A$, la ecuación característica 特征方程 es $\det(A - \lambda I) = 0$. Sus soluciones son los autovalores 特征值 $\lambda$, y para cada uno el vector $\mathbf{v}$ con $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ es un autovector 特征向量. Luego puede escribir $A = QDQ^{-1}$, donde $D$ es una matriz diagonal 对角矩阵 de autovalores y las columnas de $Q$ son los autovectores.

Ejemplo resuelto. Encuentre los autovalores de $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.

La ecuación característica es

Por lo tanto $\lambda = 1$ o $\lambda = 3$. (El autovector para $\lambda = 3$ es $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ y para $\lambda = 1$ es $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$.)

Ahora puedes derivar las funciones hiperbólicas y las funciones inversas $\sin^{-1}x$, $\tan^{-1}x$, $\sinh^{-1}x$ y así sucesivamente. También puedes encontrar $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ para curvas dadas de forma implícita o paramétrica.

Una serie de Maclaurin 麦克劳林级数 escribe una función como una serie de potencias:

Por ejemplo $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots$

Ejemplo resuelto. Encuentra la serie de Maclaurin de $f(x) = \ln(1+x)$ hasta el término en $x^3$.

$f(0) = 0$; $f'(x) = \dfrac{1}{1+x}$ por lo tanto $f'(0) = 1$; $f''(x) = \dfrac{-1}{(1+x)^2}$ por lo tanto $f''(0) = -1$; $f'''(x) = \dfrac{2}{(1+x)^3}$ por lo tanto $f'''(0) = 2$. Sustituyendo en la serie:

Aprende estas integrales estándar:

Una sustitución trigonométrica, una sustitución hiperbólica o completar el cuadrado 配方法 en el denominador maneja formas relacionadas. Una fórmula de reducción 递推公式 vincula una integral $I_n$ con $I_{n-1}$, para que puedas trabajar paso a paso hacia abajo. La integración también proporciona la longitud de arco 弧长 de una curva y el área de superficie de revolución 旋转曲面面积 cuando una curva gira alrededor de un eje.

Ejemplo resuelto. Halla $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx$.

Aquí $a^2 = 4$, por lo tanto $a = 2$ y

Acotar una suma mediante una integral. Dibuja rectángulos de ancho unitario debajo o encima de una curva decreciente como $y=\frac1x$. Cada rectángulo de altura $\frac1r$ queda atrapado entre dos franjas integrales, por lo que al sumar obtenemos

Reducir el ancho del rectángulo a $\frac1n\to 0$ convierte tales sumas en una suma de Riemann 黎曼和 que iguala a la integral en el límite, p. ej. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{r=1}^{n}f\!\left(\frac{r}{n}\right)=\int_0^1 f(x)\,dx$.

Un número complejo 复数 en forma polar es $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$. El teorema de De Moivre 棣莫弗定理 establece que para cualquier entero $n$,

Se utiliza para expandir $\cos n\theta$ y $\sin n\theta$ en potencias, para sumar series y para encontrar las $n$ raíces de la unidad 单位根 (las soluciones de $z^n = 1$, distribuidas uniformemente alrededor del círculo unitario).

Ejemplo resuelto. Use el teorema de De Moivre para expresar $\cos 3\theta$ en términos de $\cos\theta$.

Tome la parte real de $(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos 3\theta + i\sin 3\theta$:

Para una ecuación lineal de primer orden $\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$, multiplique por el factor integrante 积分因子 $\mu = e^{\int P\,dx}$. El lado izquierdo se convierte entonces en $\dfrac{d}{dx}(\mu y)$, por lo que puede integrar directamente.

Para una ecuación lineal con coeficientes constantes, la solución general 通解 es la suma de dos partes: la función complementaria 余函数 (la solución de la ecuación con el lado derecho igual a $0$, encontrada a partir de la ecuación auxiliar) y un integral particular 特积分 (cualquier solución de la ecuación completa). Las condiciones iniciales then fixan las constantes para dar la solución particular 特解; las ecuaciones más simples con variables separables 可分离变量 se integran directamente.

Ejemplo resuelto. Resuelva $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^x$.

El factor integrante es $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$. Al multiplicar toda la expresión se obtiene $\dfrac{d}{dx}\!\left(y\,e^{2x}\right) = e^{3x}$, por lo tanto

Segundo orden, coeficientes constantes. Para $\dfrac{d^2y}{dx^2}+b\dfrac{dy}{dx}+cy=f(x)$, resuelva la ecuación auxiliar 辅助方程 $m^2+bm+c=0$. La función complementaria depende de sus raíces:

• dos raíces reales distintas $m_1,m_2$: $y=Ae^{m_1x}+Be^{m_2x}$;
• una raíz repetida $m$: $y=(A+Bx)e^{mx}$;
• raíces complejas $p\pm qi$: $y=e^{px}(A\cos qx+B\sin qx)$.

Luego agregue un integral particular probando una forma que coincida con $f(x)$ (un polinomio, $ae^{bx}$, o $a\cos px+b\sin px$); si esa prueba ya aparece en la función complementaria, multiplíquela por $x$.

Ejemplo resuelto. Resuelva $\dfrac{d^2y}{dx^2}-4\dfrac{dy}{dx}+4y=0$. La ecuación auxiliar $m^2-4m+4=(m-2)^2=0$ tiene una raíz repetida $m=2$, por lo que $y=(A+Bx)e^{2x}$.

• Aprenda las identidades hiperbólicas y sus derivadas, y utilice las funciones hiperbólicas inversas en la integración.
• Resuelva una ecuación diferencial lineal como función complementaria $+$ integral particular, luego aplique las condiciones de frontera.
• Utilice el teorema de De Moivre para potencias y raíces de números complejos y para deducir identidades trigonométricas.
• Reduzca una integral a una forma estándar mediante una sustitución indicada.

Un proyectil se mueve libremente bajo la acción de la gravedad, por lo que tiene una aceleración constante $g$ hacia abajo y ninguna aceleración horizontal. Trate los movimientos horizontal y vertical por separado. Si es lanzado con velocidad $u$ y ángulo $\alpha$:

Al eliminar $t$, se obtiene la ecuación cartesiana de la trayectoria (la trayectoria del movimiento), que es una parábola. Para una velocidad de lanzamiento fija, todas las trayectorias quedan por debajo de una parábola envolvente (el envoltorio de los puntos alcanzables). El alcance en terreno nivelado es $\dfrac{u^2\sin 2\alpha}{g}$ y la altura máxima es $\dfrac{u^2\sin^2\alpha}{2g}$.

Ejemplo resuelto. Una pelota es lanzada con $u = 20\ \text{m s}^{-1}$ a $30^\circ$ respecto a la horizontal. Encuentre el alcance y la altura máxima.

El momento de una fuerza respecto a un punto es fuerza $\times$ distancia perpendicular; mide el efecto de giro. El peso de un cuerpo actúa en su centro de masa, que puede encontrar usando simetría para una forma plana uniforme (una lámina), o tratando un cuerpo compuesto como un conjunto de partículas.

Un cuerpo rígido bajo fuerzas coplanares está en equilibrio cuando se cumplen ambas condiciones: la suma vectorial de las fuerzas es cero, y la suma de los momentos respecto a cualquier punto es cero. Un cuerpo también puede estar al borde de volcarse (girar sobre sí mismo) o deslizarse.

Ejemplo resuelto. Una viga uniforme $AB$ de longitud $4\ \text{m}$ y peso $100\ \text{N}$ descansa sobre un pivote en $A$. Una fuerza vertical $F$ en $B$ la mantiene horizontal. Encuentre $F$.

Tome momentos respecto a $A$ (el peso actúa en el centro, a $2\ \text{m}$ de $A$):

Para una partícula que se mueve en un círculo de radio $r$, la velocidad angular $\omega$ se relaciona con la velocidad lineal mediante $v = r\omega$. La aceleración apunta hacia el centro — la aceleración centrípeta — con magnitud

En un círculo horizontal la velocidad es constante — como en un péndulo cónico (masa balanceada en una cuerda). En un círculo vertical use la conservación de la energía, porque la velocidad cambia con la altura; la fuerza de contacto normal o la tensión de la cuerda proporcionan la fuerza centrípeta.

Ejemplo resuelto. Una partícula se mueve en un círculo horizontal de radio $2\ \text{m}$ con velocidad angular $3\ \text{rad s}^{-1}$. Encuentre su velocidad y aceleración.

La Ley de Hooke dice que la tensión en una cuerda elástica o resorte es proporcional a su elongación $x$:

donde $L$ es la longitud natural y $\lambda$ es el módulo de elasticidad. Al estirarse almacena energía potencial elástica:

Ejemplo resuelto. Una cuerda elástica de longitud natural $2\ \text{m}$ y módulo $50\ \text{N}$ se estira $0.5\ \text{m}$. Encuentre la tensión y la energía almacenada.

Cuando la fuerza depende de la posición $x$, use la aceleración en la forma $a = v\dfrac{dv}{dx}$, lo que convierte la ley de Newton en una ecuación diferencial que relaciona $v$ y $x$.

Ejemplo resuelto. Una partícula de masa $8\ \text{kg}$ se mueve a lo largo de una línea bajo una fuerza variable de magnitud $(x^3 + 4x)\ \text{N}$ actuando en la dirección del movimiento. Cuando $x = 0$, $v = 1$. Encuentre $v$ en términos de $x$.

La ley de Newton da $8v\dfrac{dv}{dx} = x^3 + 4x$. Separando e integrando:

En $x = 0$, $v = 1$ da $C = 4$, así que $4v^2 = \tfrac14 x^4 + 2x^2 + 4 = 4\left(\tfrac{x^2}{4} + 1\right)^2$. Por lo tanto $v = \tfrac14 x^2 + 1$.

En una colisión, el momento lineal total se conserva — la conservación del momento lineal. La elasticidad se mide mediante la ley experimental de Newton, que define el coeficiente de restitución $e$:

Aquí $e = 1$ es perfectamente elástico (sin pérdida de energía) y $e = 0$ es inelástico (los cuerpos permanecen juntos). En un impacto oblicuo, resuelva las velocidades a lo largo y perpendicular a la línea de impacto, aplicando la restitución a lo largo de ella.

Ejemplo resuelto. Una esfera $A$ de masa $2\ \text{kg}$ moviéndose a $5\ \text{m s}^{-1}$ choca contra una esfera estacionaria $B$ de masa $3\ \text{kg}$, con $e = 0.5$. Encuentre las velocidades posteriores.

Momento: $2(5) = 2v_A + 3v_B$, así que $2v_A + 3v_B = 10$. Restitución: $v_B - v_A = 0.5(5) = 2.5$. Resolviendo conjuntamente se obtiene $v_A = 0.5\ \text{m s}^{-1}$ y $v_B = 3.0\ \text{m s}^{-1}$.

• Para proyectiles, resuelva en movimiento horizontal (velocidad constante) y vertical ($a = g$), vinculados por el mismo tiempo.
• Para un cuerpo rígido en equilibrio, tome momentos respecto a un punto que elimine una fuerza desconocida.
• Para movimiento circular, use $F = mv^2/r = m\omega^2 r$ hacia el centro; en un círculo vertical verifique la velocidad mínima en la parte superior.
• Con una fuerza variable, use $a = v\,\frac{dv}{dx}$ e integre; Energía Potencial Elástica $= \frac{\lambda x^2}{2L}$.

Una variable continua $X$ se describe mediante una función de densidad de probabilidad 概率密度函数 $f(x)$, que puede definirse por tramos. La probabilidad en un rango es el área bajo $f$, y la media de cualquier función de $X$ es

La función de distribución acumulativa 累积分布函数 $F(x) = P(X \leqslant x)$ es el total acumulado: $F(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$, y $f(x) = F'(x)$. Usa $F$ para encontrar probabilidades y percentiles 百分位数 (por ejemplo, la mediana 中位数 resuelve $F(x) = 0.5$).

Ejemplo resuelto. Una variable tiene $f(x) = \tfrac12 x$ para $0 \leqslant x \leqslant 2$. Encuentra la mediana.

La función de distribución acumulativa es $F(x) = \displaystyle\int_0^x \tfrac12 t\,dt = \tfrac14 x^2$. Establece $F(m) = 0.5$:

La distribución de una variable relacionada. Si $Y=g(X)$, encuentra la distribución de $Y$ a través de su función cumulativa. Para $Y=X^2$: $F_Y(y)=P(X^2\leqslant y)=P(-\sqrt y\leqslant X\leqslant\sqrt y)=F_X(\sqrt y)-F_X(-\sqrt y)$, luego deriva para obtener $f_Y=F_Y'$. Cuando $g$ es monótono creciente hay un atajo, $F_Y(y)=F_X\big(g^{-1}(y)\big)$.

Ejemplo resuelto. Con $f_X(x)=\tfrac12 x$ en $[0,2]$ (entonces $F_X(x)=\tfrac14 x^2$), sea $Y=X^2$. Para $0\leqslant y\leqslant 4$, $F_Y(y)=F_X(\sqrt y)=\tfrac14 y$, entonces $f_Y(y)=F_Y'(y)=\tfrac14$ – es decir, $Y$ es uniforme en $[0,4]$.

Cuando una muestra es pequeña y la varianza poblacional es desconocida, basa tu prueba de hipótesis 假设检验 en la distribución $t$ en lugar de la normal. La misma idea da un intervalo de confianza 置信区间 para la media:

donde $t$ proviene de las tablas $t$ con $n - 1$ grados de libertad. Para comparar dos poblaciones, usa una prueba $t$ de dos muestras (2-sample) o de muestras pareadas, después de encontrar una estimación combinada 合并估计 de la varianza compartida cuando corresponda.

Ejemplo resuelto. Una muestra de $n = 10$ tiene media $\bar{x} = 50$ y desviación estándar $s = 4$. Encuentra un intervalo de confianza $95\%$ para la media (usa $t = 2.262$ para $9$ grados de libertad).

Una prueba $\chi^2$ (prueba chi-cuadrado 卡方检验) compara conteos observados $O$ con conteos esperados $E$ de una distribución teórica 理论分布:

Compara esto con un valor de tabla para el número correcto de grados de libertad 自由度. Dos usos: una prueba de bondad de ajuste 拟合优度 (¿siguen los datos el modelo propuesto?), y una prueba de independencia 独立性 de dos variables en una tabla de contingencia 列联表.

Ejemplo resuelto. Cuatro categorías igualmente probables dan conteos observados $20, 30, 25, 25$ (entonces cada conteo esperado es $25$). Prueba el ajuste al nivel $5\%$.

Con $4 - 1 = 3$ grados de libertad el valor de tabla es $7.815$. Dado que $2 < 7.815$, no rechaces el modelo.

Una prueba no paramétrica 非参数检验 no asume que los datos son normales, así que es útil cuando esa falla el supuesto. Las básicas son:

• la prueba de signos 符号检验: cuenta cuántos valores caen por encima y por debajo de una mediana propuesta, y prueba esos conteos con un modelo binomial;
• la prueba de rangos firmados de Wilcoxon 威尔科克森符号秩检验 (la prueba de pares apareados para datos pareados), que también usa los tamaños de las diferencias, no solo sus signos;
• la prueba de suma de rangos de Wilcoxon 威尔科克森秩和检验, para comparar dos muestras independientes.

Ejemplo resuelto. Compruebe si una mediana es $5$. En una muestra de $10$ valores (ninguno igual a $5$), $9$ se sitúan por encima de $5$ y $1$ por debajo. Realice la prueba al nivel $5\%$ (bilateral).

Bajo $H_0$ (mediana $= 5$) el número de valores por encima sigue $B(10, 0.5)$. El resultado observado ($9$ por encima) es extremo, por lo que debe encontrar $P(X \geq 9) = \binom{10}{9}(0.5)^{10} + (0.5)^{10} = \dfrac{11}{1024} = 0.0107$. Para una prueba bilateral compárelo con $\tfrac{1}{2}(5\%) = 0.025$. Dado que $0.0107 < 0.025$, rechace $H_0$: hay evidencia de que la mediana no es $5$.

La función generadora de probabilidades 概率母函数 de una variable discreta $X$ es

Agrupa toda la distribución en una única función. La media y la varianza se obtienen a partir de sus derivadas evaluadas en $t = 1$: $E(X) = G'(1)$ y $\mathrm{Var}(X) = G''(1) + G'(1) - \big(G'(1)\big)^2$. Además, la FGP de una suma de variables independientes es el producto de sus FGP.

Ejemplo resuelto. $X$ tiene $P(X=0) = 0.5$, $P(X=1) = 0.3$, $P(X=2) = 0.2$. Encuentre $E(X)$ utilizando la FGP.

Aquí $G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t^2$, por lo tanto $G'(t) = 0.3 + 0.4t$ y

• Para una variable aleatoria continua, la densidad de probabilidad integra hasta $1$ en su rango, y $E(X) = \int x f(x)\,dx$.
• Utilice la distribución-$t$ cuando la muestra sea pequeña y la varianza poblacional sea desconocida; indique los grados de libertad.
• Para una prueba chi-cuadrado calcule $\sum (O-E)^2/E$, compárela con el valor crítico correspondiente a los grados de libertad adecuados y combine clases con $E < 5$.
• Enuncie $H_0$ y $H_1$ y proporcione la conclusión en contexto para cada prueba.