Probabilidad y Estadística Avanzadas

Una variable continua $X$ se describe mediante una función de densidad de probabilidad 概率密度函数 $f(x)$, que puede definirse por tramos. La probabilidad en un rango es el área bajo $f$, y la media de cualquier función de $X$ es

La función de distribución acumulativa 累积分布函数 $F(x) = P(X \leqslant x)$ es el total acumulado: $F(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$, y $f(x) = F'(x)$. Usa $F$ para encontrar probabilidades y percentiles 百分位数 (por ejemplo, la mediana 中位数 resuelve $F(x) = 0.5$).

Ejemplo resuelto. Una variable tiene $f(x) = \tfrac12 x$ para $0 \leqslant x \leqslant 2$. Encuentra la mediana.

La función de distribución acumulativa es $F(x) = \displaystyle\int_0^x \tfrac12 t\,dt = \tfrac14 x^2$. Establece $F(m) = 0.5$:

La distribución de una variable relacionada. Si $Y=g(X)$, encuentra la distribución de $Y$ a través de su función cumulativa. Para $Y=X^2$: $F_Y(y)=P(X^2\leqslant y)=P(-\sqrt y\leqslant X\leqslant\sqrt y)=F_X(\sqrt y)-F_X(-\sqrt y)$, luego deriva para obtener $f_Y=F_Y'$. Cuando $g$ es monótono creciente hay un atajo, $F_Y(y)=F_X\big(g^{-1}(y)\big)$.

Ejemplo resuelto. Con $f_X(x)=\tfrac12 x$ en $[0,2]$ (entonces $F_X(x)=\tfrac14 x^2$), sea $Y=X^2$. Para $0\leqslant y\leqslant 4$, $F_Y(y)=F_X(\sqrt y)=\tfrac14 y$, entonces $f_Y(y)=F_Y'(y)=\tfrac14$ – es decir, $Y$ es uniforme en $[0,4]$.

Cuando una muestra es pequeña y la varianza poblacional es desconocida, basa tu prueba de hipótesis 假设检验 en la distribución $t$ en lugar de la normal. La misma idea da un intervalo de confianza 置信区间 para la media:

donde $t$ proviene de las tablas $t$ con $n - 1$ grados de libertad. Para comparar dos poblaciones, usa una prueba $t$ de dos muestras (2-sample) o de muestras pareadas, después de encontrar una estimación combinada 合并估计 de la varianza compartida cuando corresponda.

Ejemplo resuelto. Una muestra de $n = 10$ tiene media $\bar{x} = 50$ y desviación estándar $s = 4$. Encuentra un intervalo de confianza $95\%$ para la media (usa $t = 2.262$ para $9$ grados de libertad).

Una prueba $\chi^2$ (prueba chi-cuadrado 卡方检验) compara conteos observados $O$ con conteos esperados $E$ de una distribución teórica 理论分布:

Compara esto con un valor de tabla para el número correcto de grados de libertad 自由度. Dos usos: una prueba de bondad de ajuste 拟合优度 (¿siguen los datos el modelo propuesto?), y una prueba de independencia 独立性 de dos variables en una tabla de contingencia 列联表.

Ejemplo resuelto. Cuatro categorías igualmente probables dan conteos observados $20, 30, 25, 25$ (entonces cada conteo esperado es $25$). Prueba el ajuste al nivel $5\%$.

Con $4 - 1 = 3$ grados de libertad el valor de tabla es $7.815$. Dado que $2 < 7.815$, no rechaces el modelo.

Una prueba no paramétrica 非参数检验 no asume que los datos son normales, así que es útil cuando esa falla el supuesto. Las básicas son:

• la prueba de signos 符号检验: cuenta cuántos valores caen por encima y por debajo de una mediana propuesta, y prueba esos conteos con un modelo binomial;
• la prueba de rangos firmados de Wilcoxon 威尔科克森符号秩检验 (la prueba de pares apareados para datos pareados), que también usa los tamaños de las diferencias, no solo sus signos;
• la prueba de suma de rangos de Wilcoxon 威尔科克森秩和检验, para comparar dos muestras independientes.

Ejemplo resuelto. Compruebe si una mediana es $5$. En una muestra de $10$ valores (ninguno igual a $5$), $9$ se sitúan por encima de $5$ y $1$ por debajo. Realice la prueba al nivel $5\%$ (bilateral).

Bajo $H_0$ (mediana $= 5$) el número de valores por encima sigue $B(10, 0.5)$. El resultado observado ($9$ por encima) es extremo, por lo que debe encontrar $P(X \geq 9) = \binom{10}{9}(0.5)^{10} + (0.5)^{10} = \dfrac{11}{1024} = 0.0107$. Para una prueba bilateral compárelo con $\tfrac{1}{2}(5\%) = 0.025$. Dado que $0.0107 < 0.025$, rechace $H_0$: hay evidencia de que la mediana no es $5$.

La función generadora de probabilidades 概率母函数 de una variable discreta $X$ es

Agrupa toda la distribución en una única función. La media y la varianza se obtienen a partir de sus derivadas evaluadas en $t = 1$: $E(X) = G'(1)$ y $\mathrm{Var}(X) = G''(1) + G'(1) - \big(G'(1)\big)^2$. Además, la FGP de una suma de variables independientes es el producto de sus FGP.

Ejemplo resuelto. $X$ tiene $P(X=0) = 0.5$, $P(X=1) = 0.3$, $P(X=2) = 0.2$. Encuentre $E(X)$ utilizando la FGP.

Aquí $G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t^2$, por lo tanto $G'(t) = 0.3 + 0.4t$ y

• Para una variable aleatoria continua, la densidad de probabilidad integra hasta $1$ en su rango, y $E(X) = \int x f(x)\,dx$.
• Utilice la distribución-$t$ cuando la muestra sea pequeña y la varianza poblacional sea desconocida; indique los grados de libertad.
• Para una prueba chi-cuadrado calcule $\sum (O-E)^2/E$, compárela con el valor crítico correspondiente a los grados de libertad adecuados y combine clases con $E < 5$.
• Enuncie $H_0$ y $H_1$ y proporcione la conclusión en contexto para cada prueba.