ت.6 · الدوال، الفروع العكسية والتركيب

تحضير GRE للطلاب الجامعيين. أهداف محلية ضمن نطاق ETS المراجَع؛ هذا تعليم أصلي، وليس اختباراً رسمياً أو تنبئاً بالدرجات.

المتطلبات السابقة: مجالات الدوال والمعادلات التربيعية والتركيب.

• ميّز بين أحادية الإدراج والأحادية الإغراق باستخدام المجال والمدى المذكورين
• اختر وتحقق من فرع معكوس عن طريق التركيب في كلا الاتجاهين
• تتبع تركيب الدوال المتكرر مع الحفاظ على المجال

تقابل (bijection): دالة هي أحادية إدراج وأحادية إغراق بين مجاليها المحددين.

ذاتية العكس (involution): دالة يكون تركيبها بنفسها مساويًا للهوية على مجالها.

تخصص الدالة ناتج واحد بالضبط لكل مدخل مسموح. الأحادية تعني أن تساوي النواتج يفرض تساوي المدخلات؛ الأحادية تعني أن كل عنصر من المدى المذكور مُتحقق منه. الخريطة x↦x² من R إلى [0,∞) هي أحادية إغراق وليست أحادية إدراج. من [0,∞) إلى [0,∞) هي كلاهما، وبالتالي تقابلية. من [0,∞) إلى R تبقى أحادية إدراج لكنها تفشل في الإغراق. احتفظ بالمجال والصورة والمدى منفصلين عند اختبار كل ادعاء.

تعكس الدالة العكسية التقابل. حل y=f(x) لإيجاد x، ثم استخدم المجال الأصلي لاختيار فرع. بالنسبة لـ f(x)=(x−2)²−5 على x≥2، الدالة العكسية هي 2+√(y+5) على y≥−5. الفرع السالب سيعيد مدخلات خارج المجال المختار. تحقق من f⁻¹(f(x))=x للمدخلات المسموحة وf(f⁻¹(y))=y للمخرجات المسموحة؛ يمكن لتكوين واحد غير مفقود إخفاء خطأ في المجال.

يعكس الرسم البياني العكسي الرسم البياني الأصلي عبر y=x؛ ولا يأخذ مقلوبات قيم النواتج. الدالة ذاتية العكس، أو ذاتية الانعكاس، تحقق f(f(x))=x حيثما تم تعريف التركيب. كل من −x على R و1/x على R باستثناء الصفر هما ذاتية انعكاس. أي ذاتية انعكاس متزايدة تمامًا على فترة يجب أن تكون الهوية: إذا كانت f(x)>x، فإن التزايد يعطي f(f(x))>f(x)>x، والحجة مماثلة تستبعد f(x)<x.

التكرار fⁿ يعني التركيب المتكرر، وليس القوة (f(x))ⁿ. احسب أول بعض التراكيب وتحقق من مجالاتها قبل البحث عن الدورية. بالنسبة لـ f(x)=1/(1−x) على ℝ باستثناء 0 و1، فإن f²(x)=(x−1)/x و f³(x)=x. تظل الصورة في نفس المجال المسموح به. لذلك قلل عدد التكرارات معيارياً حسب ثلاثة. الصيغة المعروضة التي تساوي x بعد الاختصار لا تعيد المدخلات المحظورة.

من أجل f(x)=(x−2)²−5 مع x≥2، f(5)=4 وf⁻¹(4)=2+√9=5. لو كان التربيعي غير المقيد سيحتوي على مدخلين، −1 و5، مما يعطي ناتج 4. بالنسبة لـ g(x)=1/(1−x)، المدار 3→−1/2→2/3→3 له دورة ثلاثة، لذا g⁸(3)=2/3؛ العدد يتعلق بالتركيبات، وليس القوى الثامنة.

تغيير المدى يغير الشاملة. الانعكاس عبر y=x هو رسم بياني عكسي؛ مقلوبة قيم y هي عملية مختلفة. لا تلغِ المدخلات المستبعدة.

قيد $f(x)=(x-1)^2+2$ على $x\ge1$. حدد صورتها وعكسها، بما في ذلك المجالات. تحقق من كلا تركيبين عكسيين.

حل نموذجي

الصورة هي $[2,\infty)$. بحل $y=(x-1)^2+2$ بـ $x\ge1$ نختار $x=1+\sqrt{y-2}$. وبالتالي $f^{-1}:[2,\infty)\to[1,\infty)$ له تلك الصيغة. بالنسبة لـ x المسموح به، $1+\sqrt{(x-1)^2}=x$ لأن $x-1\ge0$. بالنسبة لـ y المسموح به، $(\sqrt{y-2})^2+2=y$. فرع الجذر التربيعي السالب ينتمي إلى قيد مختلف، وليس عكساً ثانياً على هذا المجال.

ليكن $h(x)=1/(1-x)$. حدد مجال $h\circ h\circ h$ وصيغته. هل يمكن تمديد التعبير المبسط إلى النقاط المستبعدة دون تغيير تركيبة الدالة الأصلية؟

تحقق بعد المحاولة

المرحلة الأولى تتطلب $x\ne1$. الثانية تتطلب $h(x)\ne1$، مما يستبعد x=0. من أجل $x\ne0,1$، $h^2(x)=(x-1)/x$. هذا لا يساوي واحدًا أبدًا، لذا المرحلة الثالثة لا تضيف استثناءً. بعد ذلك $h^3(x)=x$ على $\mathbb R\setminus\{0,1\}$. الصيغة الهوية مُعرفة على نطاق أوسع، لكن إضافة 0 أو 1 تُعرّف امتدادًا، وليس المركب الأصلي. يجب السماح بكل إدخال وسيط قبل الإلغاء.