الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.
هدف التعلم FUN-7.A: تفسير العبارات اللفظية للمسائل كمعادلات تفاضلية تتضمن تعبير اشتقاقي.
- FUN-7.A.1 تربط المعادلات التفاضلية بين دالة لمتغير مستقل ومشتقات تلك الدالة.
المعادلات التفاضلية
AP التفاضل والتكامل BC · الموضوع 7
8:26
النمذجة بالمعادلات التفاضلية
عادةً ما يُعطاك دالة ويُطلب منك ميلها. المعادلة التفاضلية تقلب ذلك. يُعطاك قاعدة للميل عند كل نقطة، و…
سرد باللغة الإنجليزية · ترجمة مدمجة بالإنجليزية + الصينية
7.1
نمذجة الحالات بالمعادلات التفاضلية
المنهج
المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP
المعادلة التفاضلية تربط دالة بـ مشتقاتها. تصف العديد من الحالات الواقعية معدلًا: "ينمو السكان بمعدل يتناسب مع حجمهم" يصبح $\dfrac{dP}{dt}=kP$. إعداد المعادلة من وصف شفوي – تحديد ما يتغير وما هو متناسب معه – هو المهارة الأولى.
7.2
التحقق من الحلول للمعادلات التفاضلية
المنهج
الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.
هدف التعلم FUN-7.B: التحقق من حلول المعادلات التفاضلية.
- FUN-7.B.1 يمكن استخدام المشتقات للتحقق من أن الدالة هي حل لمعادلة تفاضلية معينة.
- FUN-7.B.2 قد تكون هناك عدد لا حصر له من الحلول العامة للمعادلة التفاضلية.
المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP
الحل هو دالة تحقق المعادلة. للتحقق من حل مقترح، اشتقه وأدخله في المعادلة، والتحقق من تطابق الطرفين. الحل العام يحتوي على ثابت $C$؛ الحل الخاص يحدد $C$ بناءً على شرط.
7.3
رسم حقول الميل
المنهج
الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.
هدف التعلم FUN-7.C: تقدير حلول المعادلات التفاضلية.
- FUN-7.C.1 حقل الميل هو تمثيل بياني للمعادلة التفاضلية على مجموعة محدودة من النقاط في المستوى.
- FUN-7.C.2 توفر حقول الميل معلومات حول سلوك حلول المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى.
المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP
مجال الميل يرسم قطعة مستقيمة قصيرة عند نقاط عديدة، كل منها له ميل $\dfrac{dy}{dx}$ الذي تعطيه المعادلة هناك. إنه يصور عائلة منحنيات الحل دون حلها. لرسم واحد، قّم الطرف الأيمن عند كل نقطة في الشبكة وارسم قطعة بميل ذلك.
استكشف
قراءة المعادلة التفاضلية كمجال للميل
مجال الميل يرسم الميل $dy/dx$ عند كل نقطة. تمر منحنى الحل عبره، دائماً مماساً للأجزاء الصغيرة — يمكنك رسمه باتباع التدفق.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | معادلة تفاضلية |
| slope field/sləʊp fiːld/ | مجال الميل |
| Euler's method/ˈɔɪləz ˈmeθəd/ | طريقة أويلر |
| separable/ˈsepərəbl/ | قابل للفصل |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | الشرط الابتدائي |
| exponential growth or decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ɔː dɪˈkeɪ/ | نمو أو تحلل أسي |
| logistic model/ləˈdʒɪstɪk ˈmɒdl/ | نموذج لوجستي |
| carrying capacity/ˈkæriɪŋ kəˈpæsɪti/ | السعة الحاملة |
7.4
الاستدلال باستخدام حقول الميل
المنهج
الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.
هدف التعلم FUN-7.C: تقدير حلول المعادلات التفاضلية.
- FUN-7.C.3 حلول المعادلات التفاضلية هي دوال أو عائلات من الدوال.
المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP
منحنى الحل يتبع القطع مثل قارب يتبع تيارًا. من مجال الميل، يمكنك رسم الحل الخاص المنفذ لنقطة معينة، وصف السلوك طويل المدى، وتحديد حيث تستقر الحلول (ميلات قريبة من الصفر) – الاستدلال حول الحلول من الصورة وحدها.
7.5
تقريب الحلول باستخدام طريقة أويلر
المنهج
الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.
هدف التعلم FUN-7.C: تقدير حلول المعادلات التفاضلية.
- FUN-7.C.4 توفر طريقة أويلر إجراءً لتقريب حل لمعادلة تفاضلية أو نقطة على منحنى الحل. BC فقط
المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP
طريقة أويلر تقرب الحل عدديًا بالانتقال عبر مجال الميل. بدءًا من نقطة معروفة، خذ خطوة صغيرة $\Delta x$ وقم بالتحديث:
$$y_{\text{new}}=y_{\text{old}}+\frac{dy}{dx}\cdot\Delta x.$$
كرر لكل خطوة. الخطوات الأصغر تعطي تقريبًا أفضل. (هذه تقنية خاصة بـ BC فقط.)
مهارة الامتحان: كن قادرًا على إجراء خطوتين أو ثلاث خطوات من أويلر يدويًا من جدول، وعلم أن طريقة أويلر تُقدّر بأقل أو أكثر اعتمادًا على تقعر الحل.
مثال محلول. اقرب $y(1)$ لـ $\dfrac{dy}{dx}=x+y$، $y(0)=1$، بخطوة $\Delta x=0.5$. الخطوة 1: الميل عند $(0,1)$ هو $0+1=1$، لذا $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$. الخطوة 2: الميل عند $(0.5,1.5)$ هو $0.5+1.5=2$، لذا $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$.
7.6
إيجاد الحلول العامة باستخدام فصل المتغيرات
المنهج
الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.
هدف التعلم FUN-7.D: تحديد الحلول العامة للمعادلات التفاضلية.
- FUN-7.D.1 يمكن حل بعض المعادلات التفاضلية عن طريق فصل المتغيرات.
- FUN-7.D.2 يمكن استخدام التكامل العكسي لإيجاد الحلول العامة للمعادلات التفاضلية.
المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP
المعادلة التفاضلية المفصولة يمكن كتابتها بحيث تكون جميع $y$'s على جانب وجميع $x$'s على الجانب الآخر، ثم تكاملها:
$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx.$$
هذا ينتج الحل العام (مع $+C$)، وهو الطريقة التحليلية الرئيسية لحل المعادلات التفاضلية في هذا المقرر.
مثال محلول. حل $\dfrac{dy}{dx}=xy$ مع $y(0)=2$. بالفصل، $\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ يعطي $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$، لذا $y=Ae^{x^2/2}$. الشرط $y(0)=2$ يعطي $A=2$، لذا $y=2e^{x^2/2}$.
7.7
إيجاد الحلول الخاصة باستخدام الشروط الابتدائية
المنهج
الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.
هدف التعلم FUN-7.E: تحديد الحلول الخاصة للمعادلات التفاضلية.
- FUN-7.E.1 قد تصف الحل العام عدداً لا حصر له من الحلول للمعادلة التفاضلية. يوجد حل خاص واحد فقط يمر بنقطة معينة.
- FUN-7.E.2 الدالة $F$ المعرفة بـ $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ هي حل خاص للمعادلة التفاضلية $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$، وتحقق $F(a) = y_0$.
- FUN-7.E.3 قد تخضع حلول المعادلات التفاضلية لقيود على مجال التعريف.
المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP
الشرط الابتدائي (نقطة معروفة، مثلاً $y(0)=5$) يثبت الثابت $C$. حل للحصول على الحل العام، أدخل الشرط لإيجاد $C$، ثم اكتب الحل الخاص. انتبه للمجال – الحل الخاص صالح فقط على الفترة التي تحتوي النقطة الابتدائية.
7.8
النماذج الأسية باستخدام المعادلات التفاضلية
المنهج
الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.
هدف التعلم FUN-7.F: تفسير معنى المعادلة التفاضلية ومتغيراتها في السياق.
- FUN-7.F.1 تشمل التطبيقات المحددة لإيجاد الحلول العامة والخاصة للمعادلات التفاضلية الحركة على خط مستقيم والنمو والتحلل الأسي.
- FUN-7.F.2 النموذج للنمو والتحلل الأسي الذي ينشأ من عبارة "معدل تغير كمية ما يتناسب مع حجم تلك الكمية" هو $\dfrac{dy}{dt} = ky$.
هدف التعلم FUN-7.G: تحديد الحلول العامة والخاصة لمسائل تتعلق بالمعادلات التفاضلية في سياق معين.
- FUN-7.G.1 نموذج النمو والتحلل الأسي، $\dfrac{dy}{dt} = ky$، مع الشرط الابتدائي $y = y_0$ عندما $t = 0$، له حلول من الشكل $y = y_0 e^{kt}$.
المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP
المعادلة $\dfrac{dy}{dt}=ky$ تقول إن معدل التغير متناسب مع الكمية – مما يعطي النمو أو التناقص الأسي. فصل المتغيرات ينتج
$$y=y_0 e^{kt},$$
مع $k>0$ للنمو و $k<0$ للتناقص. هذا يحاكي النمو السكاني غير المقيد، والتحلل الإشعاعي، والفائدة المركبة المستمر.
استكشف
نموذج نمو/اضمحلال أسي
y = a·e^(bx) + c
المعادلة $dy/dt=ky$ لها حلول أسية: تتغير الكمية بمعدل متناسب مع ذاتها، مما يعطي نمواً غير محدود ($k>0$) أو اضمحلالاً نحو الصفر ($k<0$).
7.9
نماذج لوغستية بالمعادلات التفاضلية
المنهج
الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.
الهدف التعليمي FUN-7.H: تفسير معنى النموذج اللوجستي للنمو في السياق. BC فقط
- FUN-7.H.1 النموذج الخاص بالنمو اللوجستي الذي ينشأ عن عبارة "معدل تغير كمية ما يتناسب طردياً مع حجم تلك الكمية ومع الفرق بين هذه الكومة والسعة الاستيعابية" هو $\dfrac{dy}{dt} = ky(a - y)$. BC فقط
- FUN-7.H.2 يمكن تفسير المعادلة التفاضلية اللوجستية والشروط الابتدائية دون حل المعادلة التفاضلية. BC فقط
- FUN-7.H.3 يمكن تحديد القيمة النهاية (السعة الاستيعابية) للمعادلة التفاضلية اللوجستية عندما يقترب المتغير المستقل من اللانهاية باستخدام نموذج النمو اللوجستي والشروط الابتدائية. BC فقط
- FUN-7.H.4 يمكن تحديد قيمة المتغير التابع في المعادلة التفاضلية اللوجستية عند النقطة التي تتغير فيها بأسرع معدل باستخدام نموذج النمو اللوجستي والشروط الابتدائية. BC فقط
المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP
النمو الحقيقي محدود بالموارد، لذلك يضيف النموذج اللوجستي طاقة استيعابية $L$:
$$\frac{dP}{dt}=kP\!\left(1-\frac{P}{L}\right).$$
النمو يكون شبه أسي عندما $P$ صغير، وي slowed عندما $P$ يقترب من $L$، ويتوقف عند $P=L$. حقائق BC الأساسية: السكان يتسطحون عند $L$ ($\lim_{t\to\infty}P=L$)، وينمون بأعلى سرعة عندما $P=\tfrac{L}{2}$ (نقطة الانعطاف في المنحنى على شكل S). يُتوقع منك قراءة $L$ وقيمة أعلى نمو مباشرة من المعادلة.
مثال محلول. بالنسبة لـ $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$، السعة الحاملة هي $L=2000$ (يستقر عندها عدد السكان)، والنمو يكون بأعلى سرعة عندما $P=\dfrac{L}{2}=1000$ – كلاهما يُقرأ مباشرة من المعادلة دون الحاجة إلى حل.
7.9
نصائح للامتحان
- حل معادلة قابل للفصل بجعل كل $y$ في جهة وكل $x$ في الجهة الأخرى، ثم تكامل الطرفين (أضف $+C$ مرة واحدة).
- استخدم الشرط الابتدائي لإيجاد $C$ (حل خاص).
- ارسم أو اقرأ مجال الانحدار: القطع الصغيرة تظهر $\tfrac{dy}{dx}$ عند كل نقطة، ومنحنى الحل يتبعها.
- اعرف النماذج الأسية $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (نمو/تحلل).
- المعادلة التفاضلية تعطي الانحدار – يجب أن تكامل لاستعادة الدالة.
دروس تفاعلية حول هذا الموضوع
ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.
- نمذجة المواقف بالمعادلات التفاضلية
- التحقق من الحلول للمعادلات التفاضلية
- رسم مجالات الميل
- التفكير باستخدام حقول الميل
- السير على طول حقل الميل
- إيجاد الحلول العامة باستخدام فصل المتغيرات
- إيجاد الحلول الخاصة باستخدام الشروط الأولية وفصل المتغيرات
- النماذج الأسية بالمعادلات التفاضلية
- المنحنى اللوجستي على شكل S