المنحنى اللوجستي على شكل S
| English | العربية |
|---|---|
| logistic/ləˈdʒɪstɪk/ | لوغستي |
| carrying capacity/ˈkæriɪŋ kəˈpæsɪti/ | السعة الحاملة |
النمو الذي يصطدم بسقف
- النمو الأسي الخالص يرتفع إلى ما لا نهاية — غير واقعي للسكان الحقيقيين ذوي الموارد المحدودة.
- نموذج اللوجستي يصلح هذا: نمو يتباطأ كلما اقترب من حد أقصى.
- يبدأ تقريباً أسياً، ثم يستقر نحو طاقة التحمل $L$.
- هو النموذج القياسي للنمو المقيد.
المعادلة التفاضلية اللوجستية
-
$$\dfrac{dP}{dt}=kP\Big(1-\dfrac{P}{L}\Big)$$
- الجزء $kP$ هو نمو يشبه الأسي؛ عامل $\big(1-\tfrac{P}{L}\big)$ يكبحه عندما تقترب $P$ من $L$.
- عندما تكون $P$ صغيرة، $1-\tfrac{P}{L}\approx1$: تقريباً أسية. عندما تكون $P\approx L$ كبيرة، العامل $\to0$: يتوقف النمو.
- $L$ هي طاقة التحمل — سقف السكان.
المعادلة التفاضلية اللوجستية هي $\dfrac{dP}{dt}=$
من أجل $(1-P/L)$، ما هي سعة التحمل $L$؟
القيمة القصوى المستدامة $L$ التي تقترب منها $P$ هي سعة الـ ____.
طول القوس لمنحنى أملس مسطح والمسافة المقطوعة
السلوك طويل المدى
- عندما $t\to\infty$ تؤول لـ ∞، $P$ تؤول نحو طاقة التحمل $L$ (من أجل $0
- $P=L$ توازن مستقر؛ $P=0$ توازن غير مستقر.
- تحت $L$ يرتفع السكان نحو $L$؛ فوق $L$ ينخفضون عائدين نحو $L$.
- لذا $L$ هي القيمة التي يستقر عليها النموذج، بغض النظر عن (الإيجابية) نقطة البداية.
منحنى اللوجستيك على شكل حرف S
y = a·tanh(bx) + d (شكل S)
يرتفع المنحنى اللوجستي بسرعة بالقرب من المنتصف ويصبح مسطحًا نحو سعة الاستيعاب $L$ — حيث يكون الأكثر انحدارًا عند $P=L/2$.
بالنسبة لـ $\dfrac{dP}{dt}=0.1P(1-\tfrac{P}{2000})$، ما هي سعة الاستيعاب $L$؟
من نفس النموذج ($L=2000$)، عند أي عدد سكان يكون النمو أسرع؟
مع $t\to\infty$ (مع $0
النمو أسرع تماماً عند سعة التحمل $P\to L$.
أسرع نمو عند نصف الطاقة
- ينمو السكان أسرع عندما $P=\dfrac{L}{2}$ — منتصف المنحنى S.
- هناك يكون للمنحنى اللوجستي نقطة الانعطاف: يتسارع النمو تحت $L/2$، ويترابط فوقه.
- قبل $L/2$ يرتفع المعدل؛ بعده، يتباطأ نحو الصفر.
- يُعد هذا الذروة بنصف السعة حقيقةً شائعة في الامتحانات.
أسرع عند $L=2000$.
الأكثر سرعة عند $P=L/2=1000$.
النمو يكون الأسرع تمامًا عند سعة الاستيعاب $P=L$.
عند $P=L$ يتوقف النمو؛ وأعلى معدل يكون عند $P=L/2$.
تُشكّل السعة الحاملة $L$ نقطة توقف النمو فيها ($\frac{dP}{dt}=0$ لأن عامل $\big(1-\tfrac{P}{L}\big)$ يساوي $0$)، وليس حيث يكون النمو الأسرع. تكون السرعة القصوى عند $P=\tfrac{L}{2}$. لا تخلط بين الاثنين: $L$ هو السقف الذي تقترب منه السكان؛ بينما $\tfrac L2$ هو المكان الذي يتصاعد فيه بسرعة أكبر.
يتبع تعداد الأسماك نموذج $\dfrac{dP}{dt}=0.1P\big(1-\tfrac{P}{2000}\big)$.
- السعة الحاملة: $L=2000$ سمكة — وهي الحد الأقصى على المدى الطويل.
- أسرع نمو عند $P=\tfrac{L}{2}=1000$ سمكة.
- مع اقتراب $t\to\infty$، يقترب $P\to 2000$ من الأسفل (إذا بدأ تحت $2000$).
يصف النموذج اللوجستي $\frac{dP}{dt}=kP\big(1-\frac{P}{L}\big)$ النمو المقيد بسعة حاملة $L$: يكون نمواً شبه أسي عندما يكون صغيراً، ثم يستقر نحو $L$ كلما اقترب $t\to\infty$. يكون النمو أسرع عند $P=\tfrac L2$ (نقطة الانعطاف)، ويتوقف عند $P=L$.