إيجاد الحلول الخاصة باستخدام الشروط الأولية وفصل المتغيرات
| English | العربية |
|---|---|
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | الشرط الابتدائي |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | الحل الخاص |
تحديد المنحنى الصحيح الوحيد
- الحل العام هو عائلة ذات ثابت $C$. الواقع يتطلب منحنى واحدًا.
- شرط ابتدائي — نقطة معروفة $\big(x_0,y_0\big)$ — يختار هذا العضو المفرد.
- حل المعادلة عامةً، ثم استخدم النقطة لإيجاد $C$.
- النتيجة هي الحل الخاص لتلك الحالة.
المنحنى المفرد الذي يحدده شرط أولي هو الحل ____.
عضو واحد من العائلة العامة.
الإجراء الكامل
- 1. افصل المتغيرات وأكمل كلا الجانبين (مع $+C$) — الحل العام.
- 2. عوض بـ الشرط الابتدائي $\big(x_0,y_0\big)$ لحساب $C$.
- 3. أعد وضع ذلك $C$ وبسّط.
- 4. إذا طُلب منك، حل صراحة من أجل $y$.
النقطة الابتدائية تختار منحنى واحدًا
الحل العام هو عائلة كاملة؛ الشرط الأولي $y(x_0)=y_0$ يختار المنحنى الوحيد الذي يمر بتلك النقطة.
تطبق الشرط الأولي لإيجاد $C$...
احصل على الحل العام أولاً، ثم استخدم النقطة لإيجاد $C$.
رتب الخطوات لإيجاد حل خاص.
افصل، أكمل، طبّق النقطة، بسّط.
مثال محلول خاص
- حل $\dfrac{dy}{dx}=xy$ مع $y(0)=3$.
- الحل العام (من الدرس السابق): $y=A\,e^{x^2/2}$.
- طبق النقطة: $3 = A\,e^{0}=A$، إذن $A=3$.
- الحل الخاص: $y=3\,e^{x^2/2}$.
بالنسبة لـ $y=x^2+C$ مع $y(1)=5$، أوجد $C$.
$5=1+C\Rightarrow C=4$.
الحل الخاص هو $y=x^2+4$. أوجد $y(3)$.
$3^2+4=13$.
بالنسبة لـ $\dfrac{dy}{dx}=xy$ مع $y(0)=3$ (الحل العام $y=Ae^{x^2/2}$)، الحل الخاص هو...
$y(0)=A=3$، إذن $y=3e^{x^2/2}$.
راقِ المجال
- قد يتضمن حل $y$ $\ln$، أو الجذور، أو المقلوبات — انتبه إلى حيث يكون الحل صحيحاً.
- عادةً ما يعيش الحل الخاص على فترة تحتوي على $x_0$، وليس بالضرورة جميع الأعداد الحقيقية $x$.
- قد تحتاج الإشارة أو القيمة المطلقة إلى حل باستخدام النقطة المعطاة (مثلاً: $y_0>0$ تختار فرع $+$).
- حدد المجال عندما يقيدك الجبر.
طبّق الشرط الابتدائي بعد التكامل، لإيجاد $C$ — لا قبل. واستخدم النقطة لتوضيح أي غموض في الإشارة أو الفرع: إذا $\ln|y|=\dots$ و$y_0>0$، استبدل القيمة المطلقة بـ $y>0$. التعويض بالنقطة مبكراً (كما تحذر طريقة فصل المتغيرات) يُفقد العائلة العامة.
حل $\dfrac{dy}{dx}=2x$ باستخدام $y(1)=5$.
- الحل العام: $y=x^2+C$.
- طبق $y(1)=5$: $5 = 1^2 + C \Rightarrow C=4$.
- الحل الخاص: $y=x^2+4$.
الحل الخاص هو العضو الوحيد من العائلة العامة الذي يحدده شرط ابتدائي. حل بشكل عام (ادمج، احتفظ بـ $+C$)، عوض بالنقطة $\big(x_0,y_0\big)$ لإيجاد $C$، وبسّط. استخدم النقطة لتحديد الإشارة/الفرع appropriate ومجال الصلاحية.