النماذج الأسية بالمعادلات التفاضلية
| English | العربية |
|---|---|
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | نمو أسي |
| exponential model/ˌekspəˈnenʃl ˈmɒdl/ | نموذج أسي |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | تناقص أسي |
المعادلة الكامنة وراء النمو الأسي
- معادلة تفاضلية واحدة تظهر في كل مكان: $\dfrac{dy}{dt}=ky$ — "المعدل يتناسب مع الكمية."
- حلها هو النموذج الأسي الشهير $y=y_0 e^{kt}$.
- عدد السكان، التناظر الإشعاعي، الفائدة المركبة، التبريد — جميعها تتبع هذا النمط.
- حلها مرة واحدة وتصبح مالكاً لعائلة كبيرة من النماذج الواقعية.
اشتقاق $y=y_0 e^{kt}$
- افصل: $\dfrac{1}{y}\,dy = k\,dt$. تكامل: $\ln|y|=kt+C$.
- أُسِّ: $y = e^{kt+C}=A\,e^{kt}$.
- طبق الكمية الابتدائية $y(0)=y_0$: $A=y_0$.
- الحل: $y=y_0 e^{kt}$ — القيمة الابتدائية مضروبة في $e^{kt}$.
حل $\dfrac{dy}{dt}=ky$ مع $y(0)=y_0$ هو...
افصل وأكمل: $y=y_0 e^{kt}$.
النمو عندما $k>0$
- إذا $k>0$، فإن $e^{kt}$ تزداد، لذا تُظهر $y$ نماً أسياً.
- الكمية تستمر في التضاعف — كلما كبرت، زادت سرعة نموها.
- $k$ هي معدل النمو (المستمر)؛ كلما كان $k$ أكبر، كان النمو أسرع.
- أمثلة: populations غير مقيدة، الفائدة المركبة.
النمو (k>0) مقابل التناقص (k<0)
y = a·e^{bx}
يرتفع $y=y_0 e^{kt}$ عندما يكون $k>0$ وينخفض نحو الصفر عندما يكون $k<0$ — إشارات $k$ تحدد السلوك.
في $y=y_0 e^{kt}$، يحدث النمو الأسي عندما...
$k>0$ يجعل $e^{kt}$ يرتفع → نمو.
بالنسبة لـ $P=500e^{0.3t}$، أوجد $P(0)$ (الكمية الابتدائية).
$P(0)=500 e^0=500$.
التناقص عندما $k<0$
- إذا $k<0$، فإن $e^{kt}$ تتناقص، مما يعني أن $y$ يُظهر تلاشياً أسياً.
- الكمية تتناقص نحو $0$ لكنها لا تصل إليها تماماً.
- التناظر الإشعاعي وفروق التبريد تتبع $k<0$.
- مقدار $|k|$ يحدد سرعة التناقص (مرتبط بالفترة النصفية).
يحدث التناقص الأسي عندما يكون $k$ ____ (إشارته).
$k<0$ يجعل $e^{kt}$ ينكمش نحو $0$.
ينطبق النموذج $y=y_0 e^{kt}$ على موقف بمعدل ثابت $\dfrac{dy}{dt}=c$.
المعدل الثابت يعطي خطًا؛ نموذج التناقص الأسي يحتاج معدل ∝ الكمية.
أي المواقف يتم نمذجتها بواسطة $\dfrac{dy}{dt}=ky$؟
الثلاثة الأولى لها معدل متناسب مع الكمية؛ صنبور المعدل الثابت ليس كذلك.
يأتي النموذج الأسي فقط من $\frac{dy}{dt}=ky$ (المعدل يتناسب مع الكمية). لا تطبق $y=y_0 e^{kt}$ على situation ذات معدل ثابت ($\frac{dy}{dt}=c$، التي تعطي خطاً). وإشارة $k$ هي كل شيء: $k>0$ ينمو، $k<0$ تتناقص — إشارة خاطئة تقلب السلوك بالكامل.
مستعمرة من $500$ بكتيريا تنمو بحيث $\dfrac{dP}{dt}=0.3P$ ($t$ بالساعات). أوجد $P(t)$ و$P(4)$.
- النموذج: $P=P_0 e^{kt}=500\,e^{0.3t}$.
- عند $t=4$: $P(4)=500\,e^{1.2}\approx500(3.32)\approx1660$ بكتيريا.
- بما أن $k=0.3>0$، فهذا نمو أسي.
تُعطيك المعادلة التفاضلية $\frac{dy}{dt}=ky$ النموذج الأسي $y=y_0 e^{kt}$، حيث $y_0$ هي الكمية الابتدائية. $k>0$ → نمو أسي؛ $k<0$ → تناقص أسي. تنطبق فقط عندما يكون المعدل متناسباً مع الكمية الحالية.