Parametric Equations, Polar Coordinates, and Vector-Valued Functions · ⁨المعادلات البارامترية والإحداثيات القطرية والدوال ذات القيم المتجهة⁩

AP Calculus BC · ⁨AP التفاضل والتكامل BC⁩ · Topic 9 · ⁨الموضوع 9⁩

View Slides · ⁨عرض الشرائح⁩ Train · ⁨تدريب⁩

Video lesson for this topic · ⁨درس فيديو لهذا الموضوع⁩ Open the video page · ⁨افتح صفحة الفيديو⁩

9.1

Defining and Differentiating Parametric Equations · ⁨تعريف واشتقاق المعادلات البارامترية⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.G: Calculate derivatives of parametric functions. BC ONLY

CHA-3.G.1 Methods for calculating derivatives of real-valued functions can be extended to parametric functions. BC ONLY
CHA-3.G.2 For a curve defined parametrically, the value of $\dfrac{dy}{dx}$ at a point on the curve is the slope of the line tangent to the curve at that point. $\dfrac{dy}{dx}$, the slope of the line tangent to a curve defined using parametric equations, can be determined by dividing $\dfrac{dy}{dt}$ by $\dfrac{dx}{dt}$, provided $\dfrac{dx}{dt}$ does not equal zero. BC ONLY

العربية

فهم دائم (CHA-3): تسمح المشتقات لنا بحل مسائل العالم الحقيقي التي تتعلق بمعدلات التغير.

الهدف التعليمي CHA-3.G: حساب مشتقات الدوال البارامترية. BC فقط

CHA-3.G.1 يمكن توسيع طرق حساب مشتقات الدوال ذات القيم الحقيقية لتشمل الدوال البارامترية. BC فقط
CHA-3.G.2 بالنسبة لمنحنى مُعرف بارامترياً، فإن قيمة $\dfrac{dy}{dx}$ عند نقطة على المنحنى هي ميل الخط المماس للمنحنى عند تلك النقطة. $\dfrac{dy}{dx}$، وهو ميل الخط المماس لمنحنى مُعرف بمعادلات بارامترية، يمكن تحديده بقسمة $\dfrac{dy}{dt}$ على $\dfrac{dx}{dt}$، شريطة أن لا يساوي $\dfrac{dx}{dt}$ الصفر. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Parametric equations 参数方程 give $x$ and $y$ each as functions of a parameter $t$ (often time): $x=x(t)$, $y=y(t)$. They trace a curve that need not be a function of $x$. The slope of the curve is found with the chain rule:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\qquad(dx/dt\neq0).$$

Worked example. For $x=t^2$, $y=t^3-t$, find the slope at $t=2$. Here $\dfrac{dx}{dt}=2t$ and $\dfrac{dy}{dt}=3t^2-1$, so $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2-1}{2t}$; at $t=2$ this is $\dfrac{11}{4}$.

العربية

المحطة الفضائية الدولية في المدار: المعادلات البارامترية تصف الموضع كدالة للزمن

المعادلات البارامترية تُعطي $x$ و$y$ كلتاهما كدوال في معامل $t$ (غالباً الوقت): $x=x(t)$، $y=y(t)$. هي ترسم منحنى قد لا يكون دالة لـ$x$. يُحسب ميل المنحنى باستخدام قاعدة السلسلة:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\qquad(dx/dt\neq0).$$

مثال محلول. بالنسبة لـ$x=t^2$، $y=t^3-t$، أوجد الميل عند $t=2$. هنا $\dfrac{dx}{dt}=2t$ و$\dfrac{dy}{dt}=3t^2-1$، إذن $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2-1}{2t}$؛ عند $t=2$ يكون هذا $\dfrac{11}{4}$.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
Parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/	المعادلات البارامترية
vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/	الدالة ذات القيم المتجهية
Polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/	الإحداثيات القطبية

9.2

Second Derivatives of Parametric Equations · ⁨المشتقات الثانية للمعادلات البارامترية⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.G: Calculate derivatives of parametric functions. BC ONLY

CHA-3.G.3 $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ can be calculated by dividing $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)$ by $\dfrac{dx}{dt}$. BC ONLY

العربية

فهم دائم (CHA-3): تسمح المشتقات لنا بحل مسائل العالم الحقيقي التي تتعلق بمعدلات التغير.

الهدف التعليمي CHA-3.G: حساب مشتقات الدوال البارامترية. BC فقط

CHA-3.G.3 يمكن حساب $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ بقسمة $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)$ على $\dfrac{dx}{dt}$. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The second derivative is not $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. Instead, differentiate the first derivative with respect to $t$, then divide by $dx/dt$ again:

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}.$$

Use it to test concavity of a parametric curve.

العربية

المشتقة الثانية ليست $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. بدلاً من ذلك، اشتق المشتقة الأولى بالنسبة لـ$t$، ثم اقسم على $dx/dt$ مرة أخرى:

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}.$$

استخدمها لاختبار تقعر منحنى بارامتري.

9.3

Finding Arc Lengths of Curves Given by Parametric Equations · ⁨إيجاد أطوال أقواس المنحنيات المعطاة بالمعادلات البارامترية⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-6): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in length over an interval.

Learning Objective CHA-6.B: Determine the length of a curve in the plane defined by parametric functions, using a definite integral. BC ONLY

CHA-6.B.1 The length of a parametrically defined curve can be calculated using a definite integral. BC ONLY

العربية

الفهم الدائم (CHA-6): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتجميع التغير في الطول عبر فترة ما.

الهدف التعليمي CHA-6.B: تحديد طول منحنى في المستوى مُعرف بدوال بارامترية، باستخدام تكامل محدد. BC فقط

CHA-6.B.1 يمكن حساب طول منحنى مُعرف بارامترياً باستخدام تكامل محدد. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The length of a parametric curve for $t$ from $a$ to $b$ is

$$L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt.$$

This is the parametric version of arc length – summing tiny hypotenuses $\sqrt{dx^2+dy^2}$ over the parameter.

العربية

طول المنحنى البارامتري لـ$t$ من $a$ إلى $b$ هو

$$L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt.$$

هذا هو نسخة الطول البارامتري – جمع الأوتار الصغيرة $\sqrt{dx^2+dy^2}$ عبر المعامل.

9.4

Defining and Differentiating Vector-Valued Functions · ⁨تعريف وتفاضل الدوال ذات القيم المتجهة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.H: Calculate derivatives of vector-valued functions. BC ONLY

CHA-3.H.1 Methods for calculating derivatives of real-valued functions can be extended to vector-valued functions. BC ONLY

العربية

فهم دائم (CHA-3): تسمح المشتقات لنا بحل مسائل العالم الحقيقي التي تتعلق بمعدلات التغير.

الهدف التعليمي CHA-3.H: حساب مشتقات الدوال ذات القيم المتجهية. BC فقط

CHA-3.H.1 يمكن توسيع طرق حساب مشتقات الدوال ذات القيم الحقيقية لتشمل الدوال ذات القيم المتجهية. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

A vector-valued function 向量值函数 $\vec{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ gives a position vector for each $t$. Differentiate component-wise: the velocity is $\vec{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ and the acceleration is $\vec{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$. The speed is the magnitude $|\vec{v}|=\sqrt{x'^2+y'^2}$.

العربية

الدالة ذات القيمة المتجهة $\vec{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ تعطي متجه موقع لكل $t$. اشتق مركباً بمركب: السرعة هي $\vec{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ والتسارع هو $\vec{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$. السرعة القياسية هي المقدار $|\vec{v}|=\sqrt{x'^2+y'^2}$.

خط موجه بالمتجهات: ابدأ من a، ثم انزلق بمقدار t من الاتجاه b — خط ذو قيمة متجهة: ابدأ من a، ثم انزلق بمقدار t من الاتجاه b

Explore · ⁨استكشف⁩

Add vector-valued components · ⁨إضافة مركبات القيم الشعاعية⁩

A vector-valued function packs an $x(t)$ and $y(t)$ into one vector. Differentiating each component gives the velocity vector, tangent to the path. · ⁨الدالة ذات القيم الشعاعية تجمع بين $x(t)$ و$y(t)$ في شعاع واحد. اشتقاق كل مركب يعطي شعاع السرعة، المماس للمسار.⁩

9.5

Integrating Vector-Valued Functions · ⁨تكامل الدوال ذات القيم المتجهة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-8): Solving an initial value problem allows us to determine an expression for the position of a particle moving in the plane.

Learning Objective FUN-8.A: Determine a particular solution given a rate vector and initial conditions. BC ONLY

FUN-8.A.1 Methods for calculating integrals of real-valued functions can be extended to parametric or vector-valued functions. BC ONLY

العربية

الفهم الدائم (FUN-8): حل مسألة القيمة الابتدائية يسمح لنا بإيجاد تعبير لموضع جسيم يتحرك في المستوى.

الهدف التعليمي FUN-8.A: تحديد حل خاص موضح بمقدار متجه ومعايير ابتدائية. BC فقط

FUN-8.A.1 يمكن توسيع طرق حساب تكاملات الدوال ذات القيم الحقيقية لتشمل الدوال البارامترية أو ذات القيم المتجهية. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Integrate a vector function component by component. Given acceleration or velocity plus an initial condition, integrate each component and use the condition to find the constants – recovering velocity from acceleration, or position from velocity.

العربية

كامل الدالة المتجهة مركباً بمركب. مع إعطاء التسارع أو السرعة بالإضافة إلى شرط ابتدائي، قم بتكامل كل مركب واستخدم الشرط لإيجاد الثوابت – استعادة السرعة من التسارع، أو الموقع من السرعة.

9.6

Solving Motion Problems Using Parametric and Vector-Valued Functions · ⁨حل مسائل الحركة باستخدام المعادلات البارامترية والدوال ذات القيم المتجهة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-8): Solving an initial value problem allows us to determine an expression for the position of a particle moving in the plane.

Learning Objective FUN-8.B: Determine values for positions and rates of change in problems involving planar motion. BC ONLY

FUN-8.B.1 Derivatives can be used to determine velocity, speed, and acceleration for a particle moving along a curve in the plane defined using parametric or vector-valued functions. BC ONLY
FUN-8.B.2 For a particle in planar motion over an interval of time, the definite integral of the velocity vector represents the particle's displacement (net change in position) over the interval of time, from which we might determine its position. The definite integral of speed represents the particle's total distance traveled over the interval of time. BC ONLY

العربية

الفهم الدائم (FUN-8): حل مسألة القيمة الابتدائية يسمح لنا بإيجاد تعبير لموضع جسيم يتحرك في المستوى.

الهدف التعليمي FUN-8.B: تحديد قيم للمواقع ومعدلات التغير في المسائل المتعلقة بالحركة المستوية. BC فقط

FUN-8.B.1 يمكن استخدام المشتقات لتحديد السرعة والمقدار والتسارع لجسيم يتحرك على منحنى في المستوى مُعرف بدوال بارامترية أو ذات قيمة متجهية. BC فقط
FUN-8.B.2 بالنسبة لجسيم في حركة مستوية خلال فترة زمنية، يمثل التكامل المحدد للمتجه المُمثل للسرعة إزاحة الجسيم (التغير الصافي في الموقع) خلال الفترة الزمنية، ومنه قد نحدد موقعه. بينما يمثل التكامل المحدد للمقدار المسافة الكلية المقطوعة من قبل الجسيم خلال الفترة الزمنية. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

For a particle moving in a plane: position is $\langle x(t),y(t)\rangle$, velocity and acceleration are its derivatives, speed is $|\vec v|$, and the distance traveled over $[a,b]$ is

$$\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt.$$

Exam skill: these plane-motion problems appear on the BC free-response nearly every year – be fluent finding speed, the position at a later time (initial point plus the integral of velocity), and total distance.

Worked example. A particle has position $\langle t^2,\ t^3-t\rangle$. Its velocity is $\langle 2t,\ 3t^2-1\rangle$, so at $t=1$ the velocity is $\langle 2,\ 2\rangle$ and the speed is $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$. Its position at $t=2$ is $\langle 4,\ 6\rangle$.

العربية

لجسيم يتحرك في مستوى: الموقع هو $\langle x(t),y(t)\rangle$، والسرعة والتسارع هما مشتقاته، والسرعة القياسية هي $|\vec v|$، والمسافة المقطوعة خلال $[a,b]$ هي

$$\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt.$$

مهارة الامتحان: تظهر هذه المسائل عن حركة المستوى في سؤال الاستجابة الحرة BC تقريباً كل عام – كن ماهراً في إيجاد السرعة، والموقع في وقت لاحق (النقطة الابتدائية زائد تكامل السرعة)، والمسافة الكلية.

مثال محلول. جسيم له موقع $\langle t^2,\ t^3-t\rangle$. سرعته هي $\langle 2t,\ 3t^2-1\rangle$، لذا عند $t=1$ تكون السرعة $\langle 2,\ 2\rangle$ والسرعة القياسية هي $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$. موقعه عند $t=2$ هو $\langle 4,\ 6\rangle$.

9.7

Defining Polar Coordinates and Differentiating in Polar Form · ⁨تعريف الإحداثيات القطبية والتفاضل بالصيغة القطبية⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.G: Calculate derivatives of functions written in polar coordinates. BC ONLY

FUN-3.G.1 Methods for calculating derivatives of real-valued functions can be extended to functions in polar coordinates. BC ONLY
FUN-3.G.2 For a curve given by a polar equation $r = f(\theta)$, derivatives of $r$, $x$, and $y$ with respect to $\theta$, and first and second derivatives of $y$ with respect to $x$ can provide information about the curve. BC ONLY

العربية

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

الهدف التعليمي FUN-3.G: حساب مشتقات الدوال المكتوبة بالإحداثيات القطبية. BC فقط

FUN-3.G.1 يمكن توسيع طرق حساب مشتقات الدوال ذات القيم الحقيقية لتشمل الدوال في الإحداثيات القطبية. BC فقط
FUN-3.G.2 لمنحنى معطى بمعادلة قطرية $r = f(\theta)$، يمكن للمشتقات الأولى لـ $r$، $x$، و$y$ بالنسبة لـ $\theta$، والمشتقات الأولى والثانية لـ $y$ بالنسبة لـ $x$ تقديم معلومات حول المنحنى. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Tracing a polar curve

Polar coordinates 极坐标 locate a point by its distance $r$ from the origin and angle $\theta$: convert with $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. A polar curve $r=f(\theta)$ is a parametric curve in $\theta$, so its slope is

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta},\quad\text{with } x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta.$$

العربية

تتبع منحنى قطبي

الإحداثيات القطبية تحدد نقطة عن طريق مسافتها $r$ من الأصل وزاويتها $\theta$: حول باستخدام $x=r\cos\theta$، $y=r\sin\theta$. المنحنى القطبي $r=f(\theta)$ هو منحنى بارامتري في $\theta$، لذا فإن ميله هو

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta},\quad\text{with } x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta.$$

الإحداثيات القطبية تعطي نقطة عن طريق مسافتها r وزاوية theta

Explore · ⁨استكشف⁩

Plot a polar curve · ⁨رسم منحنى قطبي⁩

In polar coordinates a point is a distance $r$ at angle $\theta$. Letting $r$ depend on $\theta$ traces curves like this cardioid. · ⁨في الإحداثيات القطبية، تكون النقطة على بُعد $r$ بزاوية $\theta$. جعل $r$ يعتمد على $\theta$ يرسم منحنيات مثل هذه القلبية.⁩

9.8

Finding the Area of a Polar Region · ⁨إيجاد مساحة منطقة قطبية⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.D: Calculate areas of regions defined by polar curves using definite integrals. BC ONLY

CHA-5.D.1 The concept of calculating areas in rectangular coordinates can be extended to polar coordinates. BC ONLY

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

الهدف التعليمي CHA-5.D: حساب مساحات المناطق المُعرفة بالمنحنيات القطبية باستخدام التكاملات المحددة. BC فقط

CHA-5.D.1 يمكن توسيع مفهوم حساب المساحات في الإحداثيات الديكارتية لتشمل الإحداثيات القطبية. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The area swept out by a polar curve $r=f(\theta)$ from $\alpha$ to $\beta$ is

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta \big(f(\theta)\big)^2\,d\theta.$$

The region is a "fan" of thin triangular sectors; choosing the correct $\theta$-limits (where the curve starts and finishes tracing the region) is the main challenge.

Worked example. Find the area of one petal of the rose $r=2\sin(2\theta)$ (traced for $\theta$ from $0$ to $\tfrac{\pi}{2}$). Using $\sin^2 u=\tfrac12(1-\cos 2u)$,

$$A=\frac12\int_0^{\pi/2}(2\sin 2\theta)^2\,d\theta=\int_0^{\pi/2}(1-\cos 4\theta)\,d\theta=\left[\theta-\tfrac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}.$$

العربية

المساحة الممسوحة بواسطة منحنى قطبي $r=f(\theta)$ من $\alpha$ إلى $\beta$ هي

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta \big(f(\theta)\big)^2\,d\theta.$$

المنطقة عبارة عن "مروحة" من القطاعات المثلثية الرقيقة؛ اختيار حدود $\theta$ الصحيحة (حيث يبدأ المنحنى وينتهي في تتبع المنطقة) هو التحدي الرئيسي.

مثال محلول. أوجد مساحة بتلة واحدة من الوردة $r=2\sin(2\theta)$ (تُتبع لـ$\theta$ من $0$ إلى $\tfrac{\pi}{2}$). باستخدام $\sin^2 u=\tfrac12(1-\cos 2u)$،

$$A=\frac12\int_0^{\pi/2}(2\sin 2\theta)^2\,d\theta=\int_0^{\pi/2}(1-\cos 4\theta)\,d\theta=\left[\theta-\tfrac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}.$$

مساحة المنطقة القطبية تُمسوح كنصف تكامل r تربيع d theta — المنطقة المظللة هي مروحة من القطاعات الرقيقة الممسوحة من $\alpha$ إلى $\beta$؛ كل منها له مساحة $\tfrac12 r^2\,d\theta$، لذا المجموع الكلي هو $\tfrac12\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$.

9.9

Finding the Area of the Region Bounded by Two Polar Curves · ⁨إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنين قطبيين⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.D: Calculate areas of regions defined by polar curves using definite integrals. BC ONLY

CHA-5.D.2 Areas of regions bounded by polar curves can be calculated with definite integrals. BC ONLY

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

الهدف التعليمي CHA-5.D: حساب مساحات المناطق المُعرفة بالمنحنيات القطبية باستخدام التكاملات المحددة. BC فقط

CHA-5.D.2 يمكن حساب مساحات المناطق المحصورة بالمنحنيات القطبية باستخدام التكاملات المحددة. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

For the area between an outer curve $r_1$ and an inner curve $r_2$, subtract the sectors:

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta\big(r_1^2-r_2^2\big)\,d\theta.$$

Find the intersection angles first (set $r_1=r_2$), and be careful which curve is outer over each interval – they can swap.

العربية

بالنسبة للمساحة بين منحنى خارجي $r_1$ ومنحنى داخلي $r_2$، اطرح القطاعات:

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta\big(r_1^2-r_2^2\big)\,d\theta.$$

أوجد زوايا التقاطع أولاً (ضع $r_1=r_2$)، وكنت حذراً فيما يتعلق بالمنحنى الخارجي فوق كل فترة – يمكن أن يتبادلا.

9.9

Exam tips · ⁨نصائح للامتحان⁩

English

For parametric curves, $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/dt}{dx/dt}$; speed is $\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}$.
A vector-valued function carries the same information — differentiate/integrate it component by component.
In polar, convert with $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$; area swept is $\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
Watch the direction of tracing (the sign of $dx/dt$) and set correct $\theta$-limits for polar area.
Eliminate the parameter to recover the ordinary $y$-vs-$x$ shape when it helps.

العربية

بالنسبة للمنحنيات البارامترية، $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/dt}{dx/dt}$؛ السرعة القياسية هي $\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}$.
الدالة ذات القيمة المتجهة تحمل نفس المعلومات – اشتق/تكامل مركباً بمركب.
في القطبية، حوّل باستخدام $x=r\cos\theta$، $y=r\sin\theta$؛ المساحة الممسوحة هي $\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
راقب اتجاه التتبع (إشارة $dx/dt$) وضع حدود $\theta$ صحيحة لمساحة قطبية.
أزل المعامل لاستعادة الشكل العادي لـ$y$ مقابل$x$ عندما يساعد ذلك.

Interactive lessons on this topic · ⁨دروس تفاعلية حول هذا الموضوع⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.⁩

Past Papers · ⁨أوراق الامتحانات السابقة⁩

More topics in AP Calculus BC · ⁨AP التفاضل والتكامل BC⁩ · ⁨المزيد من المواضيع في AP Calculus BC · ⁨AP التفاضل والتكامل BC⁩⁩