السير على طول حقل الميل
| English | العربية |
|---|---|
| Euler's method/ˈɔɪləz ˈmeθəd/ | طريقة أويلر |
| step size/step saɪz/ | خطوة الحجم |
المشي عبر الحل خطوة بخطوة صغيرة
- ليست كل المعادلات التفاضلية قابلة للحل بصيغة — لكنك لا تزال تستطيع تقريب الحل عددياً.
- طريقة أويلر تتبع حقل الميل في خطوات مستقيمة صغيرة نقطة البداية.
- عند كل نقطة، استخدم المعادلة التفاضلية للحصول على الميل، ثم انقل للأمام على طولها.
- كرر العملية، وسترسم منحنياً تقريبياً للحل.
قاعدة التحديث
- بمعلومية $\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)$ ونقطة بداية $(x_0,y_0)$، خذ حجم خطوة ثابت $h$:
-
$$y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n),\qquad x_{n+1}=x_n+h$$
- القيمة الجديدة لـ $y$ = القيمة القديمة لـ $y$ + (الميل هناك) × (الخطوة $h$).
- هي "القيمة الحالية زائد الميل مضروباً في الخطوة" — قفز خط مماسي.
تأخذ طريقة أويلر خطوات مستقيمة قصيرة على طول حقل الميل — الخطوات الأصغر تحاذي المنحنى الحقيقي بشكل أفضل.
تأخذ طريقة أويلر خطوات مستقيمة قصيرة على طول حقل الميل — فالخطوات الأصغر تحاذي المنحنى الحقيقي بشكل أفضل.
القديم $y_{n+1}=$ زائد الميل مضروباً في الخطوة.
القيمة القديمة $y$ زائد الميل ضرب الخطوة.
الزيادة الثابتة $h$ المستخدمة في كل خطوة من خطوات إيلر تسمى حجم الـ ____.
يتم تقدم $x$ بمقدار حجم الخطوة $h$ في كل تكرار.
التجول عبر جدول
- نظّم العمل في جدول: في كل صف، اقرأ $(x_n,y_n)$، احسب الميل $f(x_n,y_n)$، ثم احصل على $y_{n+1}$.
- تقدم $x$ بمقدار $h$ في كل صف كرر حتى تصل إلى الهدف $x$.
- كل خطوة مجرد حساب؛ المعادلة التفاضلية توفر الميل.
- بعد بضعة صفوف يكون لديك تقريب لـ $y$ عند الهدف.
بالنسبة لـ $\dfrac{dy}{dx}=x+y$، $y(0)=1$، $h=0.5$: الميل عند $(0,1)$ هو $1$. أوجد $y_1$.
$1+0.5(1)=1.5$.
باستمرار (القيمة $y_1=1.5$ عند $x=0.5$، والميل $=2$)، أوجد $y(1)\approx y_2$.
$1.5+0.5(2)=2.5$.
الدقة وحجم الخطوة
- طريقة أويلر هي فقط تقريب — تتبع خطوط المماس المستقيمة، لذا تنحرف عن المنحنى الحقيقي.
- حجم خطوة أصغر $h$ يعطي تقديراً أكثر دقة (لكن خطوات أكثر).
- على منحنى مقعر لأعلى تميل أويلر إلى التقدير الناقص؛ للمقعر لأسفل، التقدير الزائد.
- خطوات أكثر، خطأ أقل — المقايضة الكلاسيكية بين الدقة والحجم.
استخدام حجم خطوة أصغر $h$ يجعل تقدير إيلر عادةً...
يجب إعادة حساب الميل عند كل نقطة جديدة، ولا تعيد استخدام الميل الأولي.
يجب إعادة حساب الميل عند كل نقطة جديدة، ولا reused الميل الابتدائي.
التزايد الثابت $f(x_n,y_n)$ المستخدم في كل خطوة من خطوات أويلر يسمى حجم ____.
استخدم الميل عند النقطة الحالية $(x_n,y_n)$ لكل خطوة، وليس ميلاً ثابتاً. وكل تحديث للخطوة يغير كلا $x$ (بمقدار $h$) و$y$ (بمقدار $h\cdot f$). خطأ شائع هو إعادة استخدام الميل الابتدائي لكل خطوة — يجب إعادة حساب الميل عند كل نقطة جديدة.
قدر $y(1)$ لـ $\dfrac{dy}{dx}=x+y$، $y(0)=1$، بخطوة $h=0.5$.
- الخطوة 1: الميل عند $(0,1)$ هو $0+1=1$؛ $y_1=1+0.5(1)=1.5$، $x_1=0.5$.
- الخطوة 2: الميل عند $(0.5,1.5)$ هو $0.5+1.5=2$؛ $y_2=1.5+0.5(2)=2.5$، $x_2=1$.
- إذن $y(1)\approx 2.5$.
طريقة أويلر تقرب حل المعادلة التفاضلية بالمشي على طول المماسات: $y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n)$ بحجم خطوة ثابت $h$، وإعادة حساب الميل عند كل نقطة. هي تقريب (الخطوات المستقيمة تنحرف عن المنحنى)؛ حجم خطوة أصغر $h$ يحسن الدقة.