Applications of Integration · ⁨تطبيقات التكامل⁩

AP Calculus BC · ⁨AP التفاضل والتكامل BC⁩ · Topic 8 · ⁨الموضوع 8⁩

View Slides · ⁨عرض الشرائح⁩ Train · ⁨تدريب⁩

Video lesson for this topic · ⁨درس فيديو لهذا الموضوع⁩ Open the video page · ⁨افتح صفحة الفيديو⁩

8.1

Finding the Average Value of a Function on an Interval · ⁨إيجاد القيمة المتوسطة لدالة على فترة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.B: Determine the average value of a function using definite integrals.

CHA-4.B.1 The average value of a continuous function $f$ over an interval $[a, b]$ is $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

العربية

الفهم الدائم (CHA-4): التكاملات المحددة تتيح لنا حل المسائل المتعلقة بتراكم التغير على فترة.

هدف التعلم CHA-4.B: تحديد القيمة المتوسطة لدالة باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-4.B.1 القيمة المتوسطة للدالة المتصلة $f$ على الفترة $[a, b]$ هي $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The average value 平均值 of $f$ over $[a,b]$ is the integral divided by the width:

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

It is the constant height a rectangle would need to have the same area as the region under $f$. Do not confuse this with the average rate of change (which uses the derivative).

Worked example. The average value of $f(x)=x^2$ on $[0,3]$ is $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac13(9)=3$.

العربية

القيمة المتوسطة لـ $f$ فوق $[a,b]$ هي التكامل مقسوماً على العرض:

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

إنها الارتفاع الثابت الذي يجب أن يمتلكه مستطيل ليكون له نفس مساحة المنطقة تحت $f$. لا تخلط بين هذا والمتوسط معدل التغير (والذي يستخدم المشتقة).

مثال محلول. القيمة المتوسطة لـ $f(x)=x^2$ على $[0,3]$ هي $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac13(9)=3$.

Explore · ⁨استكشف⁩

The average value of a function · ⁨القيمة المتوسطة لدالة ما⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

The average value of $f$ on $[a,b]$ is its integral divided by the width — the constant height whose rectangle has the same area as under the curve. · ⁨القيمة المتوسطة لـ $f$ على $[a,b]$ هي تكاملها مقسوماً على العرض — الارتفاع الثابت الذي له مستطيل بنفس المساحة تحت المنحنى.⁩

8.2

Connecting Position, Velocity, and Acceleration Using Integrals · ⁨ربط الموضع، السرعة، والتسارع باستخدام التكاملات⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.C: Determine values for positions and rates of change using definite integrals in problems involving rectilinear motion.

CHA-4.C.1 For a particle in rectilinear motion over an interval of time, the definite integral of velocity represents the particle's displacement over the interval of time, and the definite integral of speed represents the particle's total distance traveled over the interval of time.

العربية

الفهم الدائم (CHA-4): التكاملات المحددة تتيح لنا حل المسائل المتعلقة بتراكم التغير على فترة.

هدف التعلم CHA-4.C: تحديد قيم الموضع ومعدلات التغير باستخدام التكامل المحدود في المسائل المتعلقة بالحركة المستقيمة.

CHA-4.C.1 بالنسبة لجسيم في حركة مستقيمة على مدى فترة زمنية، يمثل التكامل المحدود للسرعة إزاحة الجسيم خلال تلك الفترة الزمنية، ويمثل التكامل المحدود للسرعة الكلية المسافة الإجمالية التي قطعها الجسيم خلال فترة زمنية.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

For straight-line motion, integration reverses differentiation:

$$v(t)=\int a(t)\,dt,\qquad s(t)=\int v(t)\,dt.$$

Two key distinctions: displacement 位移 is $\int_a^b v\,dt$ (net change in position), while total distance 总路程 is $\int_a^b |v|\,dt$ (splitting where $v$ changes sign). Speed is $|v|$.

العربية

للحركة في خط مستقيم، يعكس التكامل الاشتقاق:

$$v(t)=\int a(t)\,dt,\qquad s(t)=\int v(t)\,dt.$$

تميزان رئيسيان: الإزاحة هي $\int_a^b v\,dt$ (التغير الصافي في الموضع)، بينما المسافة الكلية هي $\int_a^b |v|\,dt$ (تقسيم حيث $v$ يغير إشارته). السرعة هي $|v|$.

8.3

Using Accumulation Functions and Definite Integrals in Applied Contexts · ⁨استخدام دوال التراكم والتكاملات المحددة في سياقات تطبيقية⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.D: Interpret the meaning of a definite integral in accumulation problems.

CHA-4.D.1 A function defined as an integral represents an accumulation of a rate of change.
CHA-4.D.2 The definite integral of the rate of change of a quantity over an interval gives the net change of that quantity over that interval.

Learning Objective CHA-4.E: Determine net change using definite integrals in applied contexts.

CHA-4.E.1 The definite integral can be used to express information about accumulation and net change in many applied contexts.

العربية

الفهم الدائم (CHA-4): التكاملات المحددة تتيح لنا حل المسائل المتعلقة بتراكم التغير على فترة.

هدف التعلم CHA-4.D: تفسير معنى التكامل المحدود في مسائل التراكم.

CHA-4.D.1 الدالة المعرفة كتكامل تمثل تراكمًا لمعدل تغير.
CHA-4.D.2 يعطي التكامل المحدود لمعدل تغير كمية ما خلال فترة زمنية التغير الصافي لتلك الكمية خلال تلك الفترة.

هدف التعلم CHA-4.E: تحديد التغير الصافي باستخدام التكاملات المحدودة في السياقات التطبيقية.

CHA-4.E.1 يمكن استخدام التكامل المحدود للتعبير عن معلومات حول التراكم والتغير الصافي في العديد من السياقات التطبيقية.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

When a rate is given (flow rate, sales per day), the definite integral gives the accumulated total, and $\int_a^b R(t)\,dt$ carries the units of $R$ times time. A common setup: initial amount $+\int(\text{rate in}-\text{rate out})\,dt$ gives the amount at a later time. Always interpret the answer in context, with units.

العربية

عندما يتم إعطاء معدل (معدل التدفق، المبيعات اليومية)، يعطي التكامل المحدد المجموع التراكمي، وتحمل $\int_a^b R(t)\,dt$ وحدات $R$ مضروبة في الوقت. إعداد شائع: الكمية الأولية $+\int(\text{rate in}-\text{rate out})\,dt$ تعطي الكمية في وقت لاحق. always interpret the answer in context, with units. Always interpret the answer في السياق، مع الوحدات.

8.4

Finding the Area Between Curves Expressed as Functions of x · ⁨إيجاد المساحة بين منحنيات معبرة بدوال x⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.1 Areas of regions in the plane can be calculated with definite integrals.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.A: حساب المساحات في المستوى باستخدام التكامل المحدود.

CHA-5.A.1 يمكن حساب مساحات المناطق في المستوى باستخدام التكاملات المحدودة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The area between $y=f(x)$ (top) and $y=g(x)$ (bottom) from $a$ to $b$ is

$$\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.$$

Find the intersection points for the limits, and always subtract top minus bottom.

Worked example. Between $y=x$ and $y=x^2$ (crossing at $x=0,1$, with $y=x$ on top), the area is $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac16$.

العربية

صانع الفخار يشكل وعاء: أحجام الدوران تدور منطقة مستوية حول محور

المساحة بين $y=f(x)$ (الأعلى) و$y=g(x)$ (الأسفل) من $a$ إلى $b$ هي

$$\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.$$

أوجد نقاط التقاطع للحدود، وطرح دائماً الأعلى ناقص الأسفل.

المساحة بين منحنيين هي تكامل الأعلى ناقص الأسفل

مثال محلول. بين $y=x$ و$y=x^2$ (يتقاطعان عند $x=0,1$، مع $y=x$ في الأعلى)، المساحة هي $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac16$.

8.5

Finding the Area Between Curves Expressed as Functions of y · ⁨إيجاد المساحة بين منحنيات معربة بدوال y⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.2 Areas of regions in the plane can be calculated using functions of either $x$ or $y$.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.A: حساب المساحات في المستوى باستخدام التكامل المحدود.

CHA-5.A.2 يمكن حساب مساحات المناطق في المستوى باستخدام دوال إما $x$ أو $y$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

When curves are easier to describe as $x=f(y)$, integrate with respect to $y$ instead, using right minus left:

$$\int_c^d\big(f_{\text{right}}(y)-g_{\text{left}}(y)\big)\,dy.$$

Choosing to integrate in $y$ can avoid splitting the region into several pieces.

العربية

عندما تكون المنحنيات أسهل في الوصف كـ $x=f(y)$، قم بالتكامل بالنسبة لـ $y$ بدلاً من ذلك، باستخدام اليمين ناقص اليسار:

$$\int_c^d\big(f_{\text{right}}(y)-g_{\text{left}}(y)\big)\,dy.$$

اختيار التكامل بالنسبة لـ $y$ قد يتجنب تقسيم المنطقة إلى عدة أجزاء.

8.6

Finding the Area Between Curves That Intersect More Than Twice · ⁨إيجاد المساحة بين منحنيات تتقاطع أكثر من مرتين⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.3 Areas of certain regions in the plane may be calculated using a sum of two or more definite integrals or by evaluating a definite integral of the absolute value of the difference of two functions.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.A: حساب المساحات في المستوى باستخدام التكامل المحدود.

CHA-5.A.3 قد تُحسب مساحات بعض المناطق في المستوى باستخدام مجموع تكاملين محددين أو أكثر، أو عن طريق تقييم تكامل محدد لقيمة مطلقة الفرق بين دالتين.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

If two curves cross several times, the top and bottom switch. Split the region at each intersection and integrate each piece with the correct top-minus-bottom (or use $\int|f-g|$), then add the pieces.

العربية

إذا تضافرت منحنيان، فإن الأعلى والأسفل يتبدلان. قسم المنطقة عند كل نقطة تقاطع وأعد تكامل كل جزء مع الأعلى ناقص الأسفل الصحيح (أو استخدم $\int|f-g|$)، ثم اجمع الأجزاء.

8.7

Volumes with Cross Sections: Squares and Rectangles · ⁨الحجوم بأقسام عرضية: مربعات ومستطيلات⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.1 Volumes of solids with square and rectangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.B: حساب حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية المعلومة باستخدام التكاملات المحدودة.

CHA-5.B.1 يمكن إيجاد حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية المربعة والمستطيلة باستخدام التكاملات المحدودة وقوانين مساحة هذه الأشكال.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

If a solid's cross sections 横截面 perpendicular to the $x$-axis are squares or rectangles, integrate their area. With side length equal to the distance between two curves, a square cross section gives

$$V=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)^2\,dx.$$

The method is always "integrate the cross-sectional area."

العربية

إذا كانت المقاطع العرضية لجسم ما عمودية على محور $x$ مربعات أو مستطيلات، فأعد تكامل مساحتها. مع طول ضلع يساوي المسافة بين منحنيين، يعطي المقطع العرضي المربع

$$V=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)^2\,dx.$$

الطريقة دائماً "إعادة تكامل مساحة المقطع العرضي".

8.8

Volumes with Cross Sections: Triangles and Semicircles · ⁨الحجوم مع المقاطع العرضية: المثلثات والأقواس النصفية⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.2 Volumes of solids with triangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
CHA-5.B.3 Volumes of solids with semicircular and other geometrically defined cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
- Illustrative examples for CHA-5.B.3:
  - The volume of a funnel whose cross sections are circles can be found using the area formula for a circle and definite integrals (see 2016 AB Exam FRQ #5(b)).
  - The volume of a solid whose cross sectional area is defined using a function can be found using the known area function and a definite integral (see 2009 AB Exam FRQ #4(c)).

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.B: حساب حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية المعلومة باستخدام التكاملات المحدودة.

CHA-5.B.2 يمكن إيجاد حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية المثلثة باستخدام التكاملات المحددة وقوانين مساحة هذه الأشكال.
CHA-5.B.3 يمكن إيجاد حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية الدائرية النصفية والأشكال الهندسية الأخرى المعرّفة باستخدام التكاملات المحدودة وقوانين مساحة هذه الأشكال.
- أمثلة توضيحية لـ CHA-5.B3:
  - يمكن إيجاد حجم قمع تكون مقاطعه العرضية دوائر باستخدام صيغة مساحة الدائرة والتكاملات المحدودة (انظر 2016 امتحان AB FRQ #5(b)).
  - يمكن إيجاد حجم جسم صلب تكون مساحته المقطعية معرفة بدالة باستخدام دالة المساحة المعروفة والتكامل المحدود (انظر 2009 امتحان AB FRQ #4(c)).

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Same idea, different area formula: for equilateral-triangle cross sections use $A=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$, and for semicircular ones $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$ (with $s$ the distance between the curves). Substitute the area formula and integrate.

العربية

نفس الفكرة، صيغة مساحة مختلفة: للمقاطع العرضية المثلثية المتساوية الأضلاع استخدم $A=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$، وللمقطع الدائري النصف دائري $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$ (حيث $s$ هي المسافة بين المنحنيين). عوض بصيغة المساحة وأعد التكامل.

8.9

Volume with Disc Method: Revolving Around the x- or y-Axis · ⁨الحجم بطريقة الأقراص: دوران حول محور x أو y⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.1 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis may be found by using definite integrals with the disc method.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.C: حساب أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-5.C.1 يمكن إيجاد حجوم أجسام الدوران حول محور $x$ أو محور $y$ باستخدام التكاملات المحدودة بطريقة القرص.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Solids of revolution: the disc method

Revolving a region around an axis makes a solid whose cross sections are discs. The disc method 圆盘法 integrates $\pi(\text{radius})^2$:

$$V=\pi\int_a^b \big(R(x)\big)^2\,dx,$$

where the radius $R$ is the distance from the curve to the axis. Use $dy$ when revolving around the $y$-axis.

Worked example. Revolving the region under $y=\sqrt{x}$ from $0$ to $4$ about the $x$-axis gives discs of radius $\sqrt{x}$: $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$.

العربية

أجسام الدوران: طريقة الأقراص

دوران منطقة حول محور يجعل جسماً تتقاطع معه أقراص. طريقة الأقراص تدمج $\pi(\text{radius})^2$:

$$V=\pi\int_a^b \big(R(x)\big)^2\,dx,$$

حيث نصف القطر $R$ هو المسافة من المنحنى إلى المحور. استخدم $dy$ عند الدوران حول محور $y$.

طريقة الأقراص: دوران y=f(x) حول المحور ينشئ أقراصاً بنصف قطر f(x)

مثال محلول. دوران المنطقة تحت $y=\sqrt{x}$ من $0$ إلى $4$ حول محور $x$ يعطي أقراصاً بنصف قطر $\sqrt{x}$: $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$.

دوران منطقة حول محور ينشئ جسماً للدوران

8.10

Volume with Disc Method: Revolving Around Other Axes · ⁨الحجم بطريقة الأقراص: دوران حول محاور أخرى⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.2 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line in the plane may be found by using definite integrals with the disc method.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.C: حساب أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-5.C.2 يمكن إيجاد أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران حول أي خط أفقي أو عمودي في المستوى باستخدام التكاملات المحددة بطريقة الأقراص.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

When the axis of revolution is a horizontal or vertical line like $y=k$ (not an axis), the radius adjusts: $R=|f(x)-k|$. Set up the radius as the distance from the curve to that line, then integrate $\pi R^2$ as before.

العربية

عندما يكون محور الدوران خطاً أفقياً أو عمودياً مثل $y=k$ (وليس محوراً)، فإن نصف القطر يتكيف: $R=|f(x)-k|$. حدد نصف القطر كمسافة من المنحنى إلى ذلك الخط، ثم أعد تكامل $\pi R^2$ كما سبق.

8.11

Volume with Washer Method: Revolving Around the x- or y-Axis · ⁨الحجم بطريقة الحلقات: دوران حول محور x أو y⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.3 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.C: حساب أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-5.C.3 يمكن إيجاد أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران حول محور $x$ أو $y$ ذات المقاطع العرضية على شكل حلقات باستخدام التكاملات المحددة بطريقة الحلقات.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Volume by the washer method

If the region does not touch the axis, revolving leaves a hole, so cross sections are washers (rings). The washer method 垫圈法 subtracts the inner disc:

$$V=\pi\int_a^b\Big(R_{\text{outer}}^2-R_{\text{inner}}^2\Big)\,dx.$$

Identify the outer and inner radii as distances from each curve to the axis.

العربية

الحجم باستخدام طريقة الحلقات

إذا لم تلمس المنطقة المحور، فإن الدوران يترك ثقباً، لذا تكون المقاطع العرضية حلقات. طريقة الحلقات تطرح القرص الداخلي:

$$V=\pi\int_a^b\Big(R_{\text{outer}}^2-R_{\text{inner}}^2\Big)\,dx.$$

حدد نصف القطر الخارجي والداخلي كمسافات من كل منحنى إلى المحور.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	القيمة المتوسطة
displacement/dɪˈspleɪsmənt/	إزاحة
total distance/ˈtəʊtl ˈdɪstəns/	المسافة الكلية
cross sections/krɒs ˈsekʃnz/	المقاطع العرضية
disc method/dɪsk ˈmeθəd/	طريقة القرص
washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/	طريقة الخاتم
arc length/ɑːk leŋθ/	طول القوس

8.12

Volume with Washer Method: Revolving Around Other Axes · ⁨الحجم بطريقة الحلقات: دوران حول محاور أخرى⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.4 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.C: حساب أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-5.C.4 يمكن إيجاد أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران حول أي خط أفقي أو عمودي ذات المقاطع العرضية على شكل حلقات باستخدام التكاملات المحددة بطريقة الحلقات.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

As with discs, revolving around a line $y=k$ or $x=k$ shifts both radii – each becomes the distance from its curve to that line. Sketch the region and the axis, label $R_{\text{outer}}$ and $R_{\text{inner}}$, then integrate the difference of squares.

العربية

كما في الأقراص، الدوران حول خط $y=k$ أو $x=k$ يزيح كلا نصفي القطر – يصبح كل منهما المسافة من منحناه إلى ذلك الخط. ارسم المنطقة والمحور، وعلّم $R_{\text{outer}}$ و$R_{\text{inner}}$، ثم أعد تكامل الفرق بين المربعات.

8.13

The Arc Length of a Smooth Curve and Distance Traveled · ⁨طول القوس لمنحنى أملس والمسافة المقطوعة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-6): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in length over an interval.

Learning Objective CHA-6.A: Determine the length of a curve in the plane defined by a function, using a definite integral. BC ONLY

CHA-6.A.1 The length of a planar curve defined by a function can be calculated using a definite integral. BC ONLY

العربية

الفهم الدائم (CHA-6): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتجميع التغير في الطول عبر فترة ما.

الهدف التعليمي CHA-6.A: تحديد طول منحنى في المستوى مُعرف بدالة، باستخدام تكامل محدد. BC فقط

CHA-6.A.1 يمكن حساب طول منحنى مستوٍ مُعرف بدالة باستخدام تكامل محدد. BC فقط

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The arc length 弧长 of $y=f(x)$ from $a$ to $b$ is

$$L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx.$$

This BC-only formula comes from summing tiny hypotenuses $\sqrt{dx^2+dy^2}$. The same idea gives the distance a particle travels along a curved path.

Worked example. Find the arc length of $y=\tfrac{2}{3}x^{3/2}$ from $x=0$ to $x=3$. Here $f'(x)=x^{1/2}$, so $1+(f')^2=1+x$ and

$$L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\left[\tfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3=\tfrac{2}{3}(8-1)=\tfrac{14}{3}.$$

العربية

طول القوس لـ $y=f(x)$ من $a$ إلى $b$ هو

$$L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx.$$

هذه الصيغة الخاصة بـ BC تأتي من جمع الأوتار الصغيرة $\sqrt{dx^2+dy^2}$. نفس الفكرة تعطي المسافة التي يقطعها جسيم على مسار منحني.

مثال محلول. أوجد طول القوس لـ $y=\tfrac{2}{3}x^{3/2}$ من $x=0$ إلى $x=3$. هنا $f'(x)=x^{1/2}$، لذا $1+(f')^2=1+x$ و

$$L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\left[\tfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3=\tfrac{2}{3}(8-1)=\tfrac{14}{3}.$$

جسر Golden Gate وكابلاته الرئيسية sweeping — يعلق الكابل الرئيسي للجسر كمنحنى أملس؛ يعطي التكامل طوله الدقيق

8.13

Exam tips · ⁨نصائح للامتحان⁩

English

Area between curves is $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — find the intersection points for the limits and keep top minus bottom.
For a volume of revolution, add up disc/washer cross-sections of area $\pi r^2$ (or $\pi(R^2-r^2)$).
The average value of $f$ on $[a,b]$ is $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
Accumulated change is $\int$ of a rate: total = initial value $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
Integration means "adding up infinitely many tiny pieces" — set up the integrand as one thin slice.

العربية

المساحة بين المنحنيات هي $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — أوجد نقاط التقاطع للحدود واحفظ (الأعلى ناقص الأسفل).
لحجم الدوران، اجمع المقاطع العرضية للأقراص/الحلقات ذات المساحة $\pi r^2$ (أو $\pi(R^2-r^2)$).
القيمة المتوسطة لـ $f$ على $[a,b]$ هي $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
التغير المتراكم هو $\int$ لمعدل: المجموع = القيمة الابتدائية $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
التكامل يعني "جمع عدد لا نهائي من القطع الصغيرة" — ضع دالة التكامل كشريحة رقيقة واحدة.

Interactive lessons on this topic · ⁨دروس تفاعلية حول هذا الموضوع⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.⁩

Past Papers · ⁨أوراق الامتحانات السابقة⁩

More topics in AP Calculus BC · ⁨AP التفاضل والتكامل BC⁩ · ⁨المزيد من المواضيع في AP Calculus BC · ⁨AP التفاضل والتكامل BC⁩⁩