يغطي هذا المستند الموضوع 6: الاحتمالات والإحصاء 2. يضيف نموذج بواسون، ودمج المتغيرات العشوائية، والتوزيعات المستمرة، وأفكار التقدير والاختبار.
احتمالات وإحصاء 2
A-Level الرياضيات · الموضوع 6
10:06
احتمالات وإحصاء 2
كامبريدج، العشرينيات. في حفلة حدائق، سيدة تقول شيئاً مفاجئاً. تدعي أنها تستطيع التذوق ما إذا كان الحليب قد سُكب في الكوب…
سرد باللغة الإنجليزية · ترجمة مدمجة بالإنجليزية + الصينية
6.1
توزيع بواسون
المنهج
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| • استخدام الصيغ لحساب الاحتمالات لتوزيع $\text{Po}(\lambda)$ | |
| • استخدام حقيقة أنه إذا $X \sim \text{Po}(\lambda)$ فإن المتوسط والتباين لـ $X$ يساويان كل منهما $\lambda$ | لا يُشترط الإثبات. |
| • فهم صلة توزيع بواسون بتوزيع الأحداث العشوائية، واستخدام توزيع بواسون كنموذج | |
| • استخدام توزيع بواسون كتقريب لـالتوزيع ثنائي الحد عندما يكون ذلك مناسبًا | يجب معرفة الشروط التي تكون فيها $n$ كبيرة و$p$ صغيرة؛ تقريبًا $n > 50$ و$np < 5$. |
| • استخدام التوزيع الطبيعي مع تصحيح الاستمرارية كتقريب لـتوزيع بواسون عندما يكون ذلك مناسبًا. | يجب معرفة شرط أن $\lambda$ كبيرة؛ تقريبًا $\lambda > 15$. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
يمثل توزيع بواسون $X \sim \mathrm{Po}(\lambda)$ عدد الأحداث العشوائية في فترة ثابتة، عندما تحدث الأحداث بمعدل متوسط ثابت $\lambda$:
$$P(X = r) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^r}{r!}.$$
بالنسبة لمتغير بواسون، المتوسط والتباين كلاهما يساويان $\lambda$. توزيع بواسون هو تقريب جيد للتوزيع الثنائي عندما $n$ كبير و$p$ صغير. التقريب الطبيعي (مع تصحيح الاستمرارية) لتوزيع بواسون يكون جيدًا عندما $\lambda$ كبير.
مثال محلول. $X \sim \mathrm{Po}(3)$. أوجد $P(X = 2)$.
$$P(X = 2) = e^{-3}\frac{3^2}{2!} = e^{-3}\times 4.5 = 0.224.$$
استكشف
توزيع بواسون
غيّر المتوسط λ. نمذج باسون عدد الأحداث العشوائية في فترة زمنية ثابتة — تعطي الأحداث النادرة شكلاً مائلًا.
6.2
التراكيب الخطية للمتغيرات العشوائية
المنهج
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| • عند حل المسائل، استخدام النتائج التالية: – $\text{E}(aX + b) = a\text{E}(X) + b$ و $\text{Var}(aX + b) = a^2\text{Var}(X)$ – $\text{E}(aX + bY) = a\text{E}(X) + b\text{E}(Y)$ – $\text{Var}(aX + bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$ للمتغيرات المستقلة $X$ و $Y$ – إذا كان $X$ يتبع توزيعًا طبيعيًا فإن $aX + b$ يتبع أيضًا توزيعًا طبيعيًا – إذا كان $X$ و $Y$ يتبعان توزيعات طبيعية مستقلة فإن $aX + bY$ يتبع توزيعًا طبيعيًا – إذا كان $X$ و $Y$ يتبعان توزيعات بواسون مستقلة فإن $X + Y$ يتبع توزيع بواسون. | لا يُطلب إثبات هذه النتائج. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
عند تغيير متغير وفق قاعدة خطية، القيمة المتوقعة (المتوسط) والتباين يتبعان هذه القواعد:
$$E(aX + b) = aE(X) + b, \qquad \mathrm{Var}(aX + b) = a^2\,\mathrm{Var}(X).$$
بالنسبة لمتغيرين مستقلين $X$ و$Y$:
$$E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y), \qquad \mathrm{Var}(aX + bY) = a^2\,\mathrm{Var}(X) + b^2\,\mathrm{Var}(Y).$$
حقيقتان مفيدتان: إذا كان $X$ يتبع توزيعًا طبيعيًا فإن $aX + b$ أيضًا يتبعه؛ ومجموع المتغيرات العشوائية المستقلة التي تتبع بواسون هي مجددًا بواسون.
مثال محلول. $X$ له متوسط $5$ وتباين $4$. أوجد $E(3X - 1)$ و$\mathrm{Var}(3X - 1)$.
$$E(3X - 1) = 3(5) - 1 = 14, \qquad \mathrm{Var}(3X - 1) = 3^2 \times 4 = 36.$$
استكشف
مختبر المركبات الخطية
E(aX + b) = aE(X) + b
غيّر معامل القياس وانظر كيف يتغير الوسط المتوقع.
6.3
متغيرات عشوائية مستمرة
المنهج
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| • فهم مفهوم المتغير العشوائي المستمر، واسترجاع واستخدام خصائص دالة الكثافة الاحتمالية | لدوال الكثافة المعرفة على فترة واحدة فقط؛ قد يكون المجال لا نهائيًا، مثل $\frac{3}{x^4}$ لـ $x \geqslant 1$. |
| • استخدام دالة الكثافة الاحتمالية لحل مسائل تتعلق بالاحتمالات، ولحساب المتوسط والتباين لتوزيع. | بما في ذلك تحديد الوسيط أو أي نسبة مئوية أخرى للتوزيع عبر النظر المباشر في المساحة باستخدام دالة الكثافة. لا يُشترط المعرفة الصريحة بـدالة التوزيع التراكمي. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
يمكن للمتغير العشوائي المستمر أن يأخذ أي قيمة في نطاق. احتمالاته مستمدة من دالة كثافة احتمال $f(x)$، مع خاصيتين رئيسيتين:
$$f(x) \geqslant 0, \qquad \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.$$
الاحتمال هو المساحة تحت $f$، والمتوسط يُحسب بالتكامل:
$$P(a < X < b) = \int_a^b f(x)\,dx, \qquad E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.$$
دالة التوزيع التراكمي هي $F(x) = P(X \leqslant x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$؛ الوسيط يحل $F(m) = 0.5$، والمئينات الأخرى تحل $F(x) = p$.
مثال محلول. متغير مستمر له $f(x) = \tfrac12 x$ من أجل $0 \leqslant x \leqslant 2$ (و$0$ في غير ذلك). أوجد $E(X)$.
$$E(X) = \int_0^2 x\cdot\tfrac12 x\,dx = \int_0^2 \tfrac12 x^2\,dx = \left[\tfrac{x^3}{6}\right]_0^2 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}.$$
يستخدم التباين نفس الفكرة، $\mathrm{Var}(X)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2 f(x)\,dx-\big(E(X)\big)^2$. لنفس $f(x)=\tfrac12 x$ على $[0,2]$: $\displaystyle\int_0^2 x^2\cdot\tfrac12 x\,dx=\left[\tfrac{x^4}{8}\right]_0^2=2$، لذا $\mathrm{Var}(X)=2-\left(\tfrac43\right)^2=2-\tfrac{16}{9}=\tfrac{2}{9}$.
استكشف
المساحة = الاحتمال
P(a < X < b) = ∫ f(x) dx
بالنسبة للمتغير المستمر، الاحتمال هو المساحة تحت منحنى الكثافة بين قيمتين.
6.4
أخذ العينات والتقدير
المنهج
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| • التمييز بين العينة والمجتمع، وإدراك ضرورة العشوائية في اختيار العينات | |
| • شرح بأسلوب بسيط لماذا قد تكون طريقة عينة معينة غير مرضية | يتضمن ذلك فهمًا أوليًا لاستخدام الأرقام العشوائية في إنتاج عينات عشوائية. لا يُ مطلوب معرفة بطرق عينة محددة مثل العينة الكمية أو العينة الطبقاتية. |
| • إدراك أن متوسط العينة يمكن اعتباره متغيرًا عشوائيًا، واستخدام الحقائق القائلة بأن $\text{E}(\overline{X}) = \mu$ وأن $\text{Var}(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$ | |
| • استخدام حقيقة أن $\overline{X}$ يتبع توزيعًا طبيعيًا إذا كان $X$ يتبع توزيعًا طبيعيًا | |
| • استخدام نظرية الحد المركزي حيثما كان ذلك مناسبًا | يُ مطلوب فقط فهم غير رسمي لـنظرية الحد المركزي (CLT)؛ بالنسبة لحجم عينة كبير، يكون توزيع متوسط العينة تقريبًا طبيعيًا. |
| • حساب تقديرات غير منحازة لـمتوسط المجتمع والتباين من عينة، باستخدام بيانات خام أو ملخصة | يُ مطلوب فقط فهم بسيط لمصطلح 'غير منحاز'، على سبيل المثال، أنه على الرغم من أن التقديرات الفردية قد تتفاوت إلا أن العملية تعطي نتيجة دقيقة 'بشكل متوسط'. |
| • تحديد وتفسير فترة ثقة لمتوسط المجتمع في الحالات التي يكون فيها المجتمع متوزعًا طبيعيًا بتباين معروف أو عندما يتم استخدام عينة كبيرة | |
| • تحديد فترة ثقة تقريبية لـنسبة المجتمع من عينة كبيرة. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
العينة هي مجموعة صغيرة مختارة من المجتمع الكامل. العينة العشوائية تتطلب عشوائية، بحيث يكون لكل فرد فرصة عادلة للاختيار.
بعض الطرق غير مرضية لأنها محيّزة:取样 فقط المتطوعين، أو أول 20 شخصًا يصلون، يمثل بشكل مفرط أنواعًا معينة من الناس. العينة العشوائية الحقيقية تستخدم أرقامًا عشوائية - ترقيم كل فرد في المجتمع، ثم سحب أرقام (من جدول أو مولد) لتحديد من هو في العينة.
متوسط العينة $\bar{X}$ هو نفسه متغير عشوائي، مع
$$E(\bar{X}) = \mu, \qquad \mathrm{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}.$$
وفقًا لـ نظرية الحد المركزي، بالنسبة لعينة كبيرة $\bar{X}$ تكون تقريبًا طبيعية، بغض النظر عن شكل المجتمع.
من عينة يمكنك إيجاد تقديرات غير منحازة لمتوسط المجتمع وتباينه. الفاصل الزمني يعطي نطاقًا يحتوي على المتوسط الحقيقي على الأرجح. عندما يكون المجتمع طبيعيًا بتباين معروف $\sigma$ (أو العينة كبيرة)، فإن فاصل $95\%$ هو
$$\bar{x} \pm 1.96\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.$$
يمكنك أيضًا إيجاد فاصل ثقة لنسبة مجتمع من عينة كبيرة.
مثال محلول. عينة حجمها $n = 64$ لها متوسط $\bar{x} = 50$، من مجتمع بتباين $\sigma = 8$. أوجد فاصل ثقة $95\%$ لمتوسط المجتمع.
$$50 \pm 1.96\times\frac{8}{\sqrt{64}} = 50 \pm 1.96 \;\Rightarrow\; (48.0,\ 52.0).$$
استكشف
توزيع العينة
X̄ ~ N(μ, σ²/n)
بحسب نظرية الحد المركزي، تتبع عينات الوسط منحنيات طبيعية — أضيق للعينات الأكبر.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| Poisson distribution/ˈpɔɪsn ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | توزيع بواسون |
| approximation/əˌprɒksɪˈmeɪʃn/ | تقريب |
| expectation/ekspɪkˈteɪʃn/ | التوقع |
| variance/ˈveərɪəns/ | التباين |
| normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | التوزيع الطبيعي |
| continuous random variable/kənˈtɪnjuːəs ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | متغير عشوائي مستمر |
| probability density function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti ˈfʌŋkʃn/ | دالة كثافة الاحتمال |
| cumulative distribution function/ˈkjuːmjʊlətɪv ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈfʌŋkʃn/ | دالة التوزيع التراكمي |
| median/ˈmiːdiːən/ | الوسيط |
| percentiles/pəˈsentaɪlz/ | المئويات |
| sample/ˈsæmpl/ | العينة |
| population/ˌpɒpjʊˈleɪʃn/ | السكان |
| randomness/ˈrændəmnəs/ | العشوائية |
| biased/ˈbaɪəst/ | مُتحيزة |
| Central Limit Theorem/ˈsentrəl ˈlɪmɪt ˈθɪərəm/ | نظرية الحد المركزي |
| unbiased estimates/ʌnˈbaɪəst ˈestɪməts/ | تقديرات غير منحازة |
| confidence interval/ˈkɒnfɪdəns ˈɪntəvl/ | فترة ثقة |
| population proportion/ˌpɒpjʊˈleɪʃn prəˈpɔːʃn/ | نسبة المجتمع |
6.5
اختبارات الفرضيات
المنهج
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| • فهم طبيعة اختبار الفرضية، والفرق بين الاختبارات ذات الذيل الواحد وذات الذيلين، والمصطلحات: الفرضية الصفرية، الفرضية البديلة، مستوى الدلالة، منطقة الرفض (أو المنطقة الحرجة)، منطقة القبول وإحصاء الاختبار | يُ توقع تفسير نتائج اختبارات الفرضية بدلالة السياقات التي طُرحت فيها الأسئلة. |
| • صياغة الفرضيات وإجراء اختبار فرضية في سياق ملاحظة واحدة من مجتمع يتبع توزيعًا ثنائيًا أو توزيع بواسون، باستخدام – التقييم المباشر الاحتمالات – تقريب طبيعي للتوزيع الثنائي أو لتوزيع بواسون، حيثما كان ذلك مناسبًا | |
| • صياغة الفرضيات وإجراء اختبار فرضية يتعلق بمتوسط المجتمع في الحالات التي يكون فيها المجتمع متوزعًا طبيعيًا بتباين معروف أو عندما يتم استخدام عينة كبيرة | |
| • فهم مصطلحي خطأ النوع الأول وخطأ النوع الثاني فيما يتعلق باختبارات الفرضيات | |
| • حساب احتمالات ارتكاب أخطاء النوع الأول والنوع الثاني في مواقف محددة تتضمن اختبارات تعتمد على التوزيع الطبيعي أو التقييم المباشر للاحتمالات الثنائية أو لتوزيع بواسون. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
استخدام اختبار الفرضية بيانات العينة للحكم على ادعاء. تضع حالتين: الفرضية الصفرية $H_0$ (الادعاء الذي يتم اختباره، عادة "لا تغيير") والفرضية البديلة $H_1$ (ما تشك فيه بدلاً منه). الاختبار ذو طرف واحد إذا كانت $H_1$ تشير لطريقة واحدة (مثل $\mu > 50$) وذو طرفين إذا سمحت بالطريقتين ($\mu \neq 50$).
تحدد مستوى دلالة (غالبًا $5\%$)، وتحسب إحصاء اختبار من البيانات، وترى ما إذا كان يقع في منطقة الرفض (تسمى أيضًا المنطقة الحرجة)؛ إذا فعلت ذلك ترفض $H_0$، وإلا فإن الإحصاء يكون في منطقة القبول.
يوجد احتمالان للوقوع في خطأ: خطأ من النوع الأول هو رفض $H_0$ وهو في الواقع صحيح؛ وخطأ من النوع الثاني هو قبول $H_0$ وهو في الواقع خاطئ. يمكنك إيجاد احتمالاتهما من منطقة الرفض: $P(\text{Type I})=P(\text{statistic in the rejection region}\mid H_0)$ – وهو يساوي مستوى الدلالة – و$P(\text{Type II})=P(\text{statistic in the acceptance region}\mid H_1$ صحيحة لقيمة محددة$)$، محسوبة من التوزيع الثنائي أو البواسون أو الطبيعي.
مثال محلل. يُدَّعى أن لمجتمع ما متوسط $50$، مع $\sigma = 8$. عينة بحجم $n = 64$ أعطت $\bar{x} = 52$. اختبر عند مستوى $5\%$ ما إذا كان المتوسط قد تغير.
$H_0\!: \mu = 50$ و$H_1\!: \mu \neq 50$ (اختبار ثنائي الذيل). إحصاء الاختبار هو
$$z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{52 - 50}{8/8} = 2.$$
القيمة الحرجة عند $5\%$ (ثنائي الذيل) هي $1.96$. بما أن $2 > 1.96$، فإنك ترفض $H_0$: هناك دليل على أن المتوسط قد تغير.
مثال محلل (اختبار ثنائي الحد). يُزعم أن عملة عادلة لكن يُشك في أنها تهبط على الصورة نادراً: $H_0\!:p=0.5$، $H_1\!:p<0.5$. في $n=30$ رميات، رأيت $X=9$ صورة. تحت فرض $H_0$، $X\sim B(30,0.5)$، لذا فإن الاحتمال أحادي الذيل هو
$$P(X\leqslant 9)=\sum_{k=0}^{9}\binom{30}{k}(0.5)^{30}\approx 0.021.$$
بما أن $0.021<0.05$، ارفض $H_0$: يبدو أن العملة مائلة ضد الصورة. (بالنسبة لـ$n$ الكبيرة، يُقرب التوزيع الثنائي بالتوزيع الطبيعي؛ ويعمل اختبار البواسون بنفس الطريقة للأحداث النادرة. وهنا، إذا كانت القاعدة "ارفض عندما $X\leqslant 9$"، فإن $P(\text{Type I})=P(X\leqslant 9\mid p=0.5)\approx0.021$.)
استكشف
منطقة الرفض
ارفض H₀ إذا z < −z*
ذيل ظلال هو منطقة الرفض — إذا هبط إحصاء الاختبار هناك، ارفض H₀.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| hypothesis test/haɪˈpɒθəsɪs test/ | اختبار فرضية |
| null hypothesis/nʌl haɪˈpɒθəsɪs/ | الفرضية الصفرية |
| alternative hypothesis/ɔːlˈtɜːnətɪv haɪˈpɒθəsɪs/ | الفرضية البديلة |
| one-tailed/wʌn teɪld/ | ذيل واحد |
| two-tailed/tuː teɪld/ | ذيلان |
| significance level/sɪɡˈnɪfɪkəns ˈlevl/ | مستوى الدلالة |
| test statistic/test stəˈtɪstɪk/ | إحصاء الاختبار |
| rejection region/rɪˈdʒekʃn ˈriːdʒn/ | منطقة الرفض |
| Type I error/taɪp aɪ ˈerə/ | خطأ من النوع الأول |
| Type II error/taɪp ˈtuː ˈerə/ | خطأ من النوع الثاني |
| Probability & Statistics/ˌprɒbəˈbɪlɪti ænd stəˈtɪstɪks/ | الاحتمالات والإحصاء |
6.5
نصائح للامتحان
- استخدم توزيع البواسون للأحداث النادرة والعشوائية والمستقلة؛ حيث يساوي متوسطه تباينه ($= \lambda$).
- عند دمج متغيرات عشوائية مستقلة، تُجمع التباينات (لا تُطرح أبداً).
- بالنسبة لـ اختبار الفرضية، اذكر $H_0$ و$H_1$، ومستوى الدلالة، وإحصاء الاختبار، واستنتاجاً في السياق.
- لـفترات الثقة، استخدم القيمة الصحيحة لـ$z$ (أو $t$) وفسرها بالكلمات.
دروس تفاعلية حول هذا الموضوع
ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.