المركبات الخطية للمتغيرات العشوائية
| English | العربية |
|---|---|
| variance/ˈveərɪəns/ | التباين |
| linear combination/ˈlɪnɪə ˌkɒmbɪˈneɪʃn/ | تركيب خطي |
| random variable/ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | متغير عشوائي |
| linear transformation/ˈlɪnɪə trænsfɔːˈmeɪʃn/ | تحول خطي |
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | مستقلة |
رياضيات الجمع
- إذا كنت تعرف المتوسط والتباين لعمليتين منفصلتين، ماذا يحدث عند جمعهما؟
- التركيبات الخطية تسمح لك بالتنبؤ بسلوك المتغيرات العشوائية المدمجة — وهو أمر أساسي لمراقبة الجودة، والمالية، والهندسة.
مختبر المركبات الخطية
E(aX + b) = aE(X) + b
غيّر معامل القياس وانظر كيف يتغير الوسط المتوقع.
التحويلات الخطية لمتغير واحد
- لمتغير واحد يتغير وفق قاعدة خطية:
مثال محلول. $E(X) = 5$، $\text{Var}(X) = 4$. لنكن $Y = 3X + 2$. $E(Y) = 3(5) + 2 = 17$. $\text{Var}(Y) = 3^2(4) = 36$.
يختفي الثابت $b$ من التباين. إضافة ثابت تحرك المتوسط لكنها لا تغير الانتشار. $\text{Var}(X + 5) = \text{Var}(X)$، وليس $\text{Var}(X) + 25$.
توزيع بواسون Po(3)؛ متوسطه وتباينه كلاهما يساوي لامدا
لـ X وسط حسابي 5. ما هي E(3X − 1)?
E(3X − 1) = 3E(X) − 1 = 3×5 − 1 = 14.
لـ X تباين 4. ما هو Var(3X − 1)?
Var(3X − 1) = 3²×Var(X) = 9×4 = 36 (الـ −1 ليس له تأثير).
في Var(aX + b)، الثابت b:
إضافة ثابت تحوّل البيانات لكنها لا تغير انتشارها، لذا يُحذف b.
متغيران مستقلان
- ملاحظة: التباينات دائماً تُجمع (حتى لـ $X - Y$)، لأن $(-1)^2 = 1$.
X و Y مستقلان. Var(X) = 4، Var(Y) = 9. ما هو Var(X + Y) = ?!
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) = 4 + 9 = 13 (التباينات تُجمع للمتغيرات المستقلة).
X و Y مستقلان. Var(X) = 4، Var(Y) = 9. ما هو Var(X − Y) = ?!
Var(X − Y) = Var(X) + (−1)²Var(Y) = 4 + 9 = 13. التباينات تُجمع دائمًا.
التوزيعات تحت التركيبات الخطية
- إذا كانت $X$ طبيعية، فإن $aX + b$ طبيعية أيضًا؛ مجموع الطبيعية المستقلة هو طبيعي.
- مجموع بواسون المستقلة هو_distribution_بواسون: إذا $X \sim \text{Po}(\lambda_1)$ و$Y \sim \text{Po}(\lambda_2)$، فإن $X + Y \sim \text{Po}(\lambda_1 + \lambda_2)$.
إذا كانت X ~ Po(3) و Y ~ Po(5) مستقلتين، فإن X + Y ~ Po(8).
مجموع المتغيرات البواسونية المستقلة هو بواسون بمعامل λ₁ + λ₂ = 3 + 5 = 8.
مثال محلول — دمج التوزيعات الطبيعية
- $X \sim N(10, 4)$ و$Y \sim N(20, 9)$، مستقلان. أوجد توزيع $X + Y$.
- $E(X + Y) = 10 + 20 = 30$. $\text{Var}(X + Y) = 4 + 9 = 13$.
- إذن $X + Y \sim N(30, 13)$.
- التركيبات الخطية للتوزيعات الطبيعية هي طبيعية؛ مجاميع التوزيعات البواسونية المستقلة هي بواسون.
لقد فهمت الأمر
- $E(aX+b) = aE(X) + b$؛ $\text{Var}(aX+b) = a^2\,\text{Var}(X)$ (يختفي $b$، $a$ يتم تربيعها)
- مستقلة: $\text{Var}(aX+bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$
- الطبيعية تبقى طبيعية تحت قاعدة خطية؛ مجاميع بواسون المستقلة هي بواسون