المتغيرات العشوائية المستمرة
| English | العربية |
|---|---|
| continuous random variable/kənˈtɪnjuːəs ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | متغير عشوائي مستمر |
| probability density function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti ˈfʌŋkʃn/ | دالة كثافة الاحتمال |
| area/ˈeərɪə/ | مساحة |
| cumulative distribution function/ˈkjuːmjʊlətɪv ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈfʌŋkʃn/ | دالة التوزيع التراكمي |
المنحنى الذي يخبر الاحتمالات
- المتغير العشوائي المستمر يمكن أن يأخذ أي قيمة في نطاق — مثل الوقت الدقيق لوصول حافلة، أو الطول الدقيق لشخص ما.
- على عكس المتغيرات المنفصلة، لا يمكنك سرد احتمالات لكل قيمة. بدلاً من ذلك، يصف دالة كثافة الاحتمال (pdf) الشكل، والاحتمالات هي مساحات تحت المنحنى.
دالة كثافة الاحتمال
- المتغير العشوائي المستمر يمكن أن يأخذ أي قيمة في نطاق، ويوصف بـ دالة كثافة الاحتمال $f(x)$:
مثال محلول. $f(x) = \dfrac{x}{8}$ لـ $0 \leq x \leq 4$، صفر في غير ذلك. تحقق: $\int_0^4 \dfrac{x}{8}\,dx = \left[\dfrac{x^2}{16}\right]_0^4 = \dfrac{16}{16} = 1$. ✓
$f(x)$ ليس احتمالاً. قيمة $f(x)$ عند نقطة يمكن أن تكون أكبر من 1. فقط المساحة تحت المنحنى بين نقطتين تعطي احتمالاً.
للمتغير المستمر، الاحتمال هو المساحة تحت الكثافة f(x)
المساحة = الاحتمال
P(a < X < b) = ∫ f(x) dx
بالنسبة للمتغير المستمر، الاحتمال هو المساحة تحت منحنى الكثافة بين قيمتين.
دالة كثافة احتمالية يجب أن تحقق ∫f(x)dx لجميع x تساوي أي قيمة؟
المساحة الكلية تحت دالة الكثافة الاحتمالية تساوي دائمًا 1.
قيمة f(x) عند نقطة هي الاحتمال الذي يساوي X تلك القيمة.
f(x) هي كثافة، وليست احتمالًا. فقط المساحة تحت f تعطي احتمالًا. يمكن لـ f(x) أن تتجاوز 1.
لـ f(x) = x/8 على 0 ≤ x ≤ 4، تحقق من ∫₀⁴ (x/8) dx = [x²/16]₀⁴. ما هو النتيجة؟
[x²/16]₀⁴ = 16/16 − 0 = 1. المساحة الكلية هي 1، مما يؤكد أنها دالة كثافة احتمالية صالحة.
إيجاد الاحتمالات
- الاحتمال هو مساحة تحت $f$: $P(a < X < b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.
الاحتمالات هي مساحات تحت f(x)؛ يجب أن تساوي المساحة الكلية فوق جميع x 1.
بالنسبة للمتغير المستمر، P(a < X < b) هي المساحة تحت f(x) بين a و b.
الاحتمالات للمتغير المستمر هي مساحات تحت دالة الكثافة.
إيجاد المتوسط والتباين
- المتوسط هو $E(X) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx$.
- التباين هو $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$، حيث $E(X^2) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x^2\,f(x)\,dx$.
بالنسبة لـ f(x) = ½x على 0 ≤ x ≤ 2، فإن E(X) = ∫₀² x(½x) dx = [x³/6]₀². ما قيمة E(X)؟ (≈، 2 خانات عشرية)
E(X) = ∫₀² ½x² dx = [x³/6]₀² = 8/6 = 4/3 ≈ 1.33.
دالة التوزيع التراكمي
- الـ cdf $F(x) = P(X \leq x) = \displaystyle\int_{-\infty}^x f(t)\,dt$.
- $F(x)$ هي المساحة تحت $f$ حتى $x$. إنها تزيد دائمًا من 0 إلى 1.
- استخدم دالة الكثافة لإيجاد الوسيط والنسب المئوية الأخرى.
دالة التوزيع التراكمي F(x) تعطي:
F(x) = P(X ≤ x) = المساحة تحت f حتى x.
لقد فهمت الأمر
- الـ pdf له $f(x) \geq 0$ والمساحة الإجمالية $\int f = 1$
- الاحتمال هو المساحة تحت $f$ بين الحدود
- المتوسط $E(X) = \int x\,f(x)\,dx$