العينة والتقدير
| English | العربية |
|---|---|
| sample/ˈsæmpl/ | العينة |
| population/ˌpɒpjʊˈleɪʃn/ | السكان |
| stratified/ˈstrætɪfaɪd/ | طبقي |
| systematic/ˌsɪstəˈmætɪk/ | منتظم |
| cluster/ˈklʌstə/ | عنقود |
| sampling distribution/ˈsæmplɪŋ ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | توزيع العينة |
| standard error/ˈstændəd ˈerə/ | الخطأ المعياري |
| Central Limit Theorem/ˈsentrəl ˈlɪmɪt ˈθɪərəm/ | نظرية الحد المركزي |
| confidence interval/ˈkɒnfɪdəns ˈɪntəvl/ | فترة ثقة |
الاستطلاع الذي تنبأ بالانتخابات
- استبيان لـ 1000 شخص يمكنه التنبؤ بسلوك التصويت لـ 60 مليون. كيف؟
- العينة تسمح لك باستنتاجات حول مجتمع كامل من مجموعة فرعية صغيرة ومختارة بعناية. الرياضيات وراءها هي أساس كل الاستدلال الإحصائي.
المجتمعات والعينات
- المجتمع هو المجموعة الكاملة التي تريد دراستها. العينة هي مجموعة صغيرة من المجتمع.
- العينة الجيدة تحتاج إلى عشوائية — يجب أن يكون لكل عضو فرصة معروفة للاختيار.
- طرق العينة: عشوائية بسيطة، طبقاتية (نسبية من كل مجموعة فرعية)، نظامية (كل $k$th member)، عنقودية.
العينة الطبقاتية. مدرسة بها 600 طلاب ذكور و400 طالبات إناث. عينة طبقاتية بحجم 50: $\dfrac{600}{1000} \times 50 = 30$ طلاب ذكور و$\dfrac{400}{1000} \times 50 = 20$ طالبات إناث.
متوسط العينة يقترب من التوزيع الطبيعي بغض النظر عن شكل المجتمع
توزيع العينة
X̄ ~ N(μ, σ²/n)
بحسب نظرية الحد المركزي، تتبع عينات الوسط منحنيات طبيعية — أضيق للعينات الأكبر.
مدرسة بها 600 طالب و400 طالبة. عينة طبقية بحجم 50 تحتاج كم عدد الأولاد؟
(600/1000) × 50 = 30 طالبًا.
توزيع العينة لمتوسط
- متوسط العينة $\bar{X}$ هو بحد ذاته متغير عشوائي:
- الخطأ المعياري للمتوسط هو $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ — يتناقص مع نمو $n$.
تدرس الإحصاء عينة للتعرف على مجتمع كامل
مجتمع لديه σ = 8. لعينة بحجم n = 64، ما هو Var(X̄) = σ²/n؟
Var(X̄) = σ²/n = 64/64 = 1.
مجتمع لديه σ = 10 و n = 25. الخطأ المعياري σ/√n = ?!
σ/√n = 10/√25 = 10/5 = 2.
طابق كل فكرة من أفكار العينة مع معناها.
تجعل CLT عينات الوسط طبيعية؛ انتشارها هو σ²/n، مما يعطي فصل الثقة.
نظرية الحد المركزي
- وفقاً لـنظرية الحد المركزي، لعينة كبيرة ($n \geq 30$)، $\bar{X}$ تقريباً طبيعي، بغض النظر عن شكل المجتمع.
- هذا أحد أكثر النتائج قوة في الرياضيات بأكملها — فهو يسمح لنا باستخدام التوزيع الطبيعي حتى عندما لا تكون البيانات طبيعية.
ينطبق CLT على المتوسط وليس على البيانات. تنص نظرية الحد المركزي على أن توزيع $\bar{X}$ يصبح طبيعياً — وليس النقاط الفردية. يمكن أن يكون البيانات الخام بأي شكل.
فصل ثقة بنسبة 95% يمتد 1.96 خطأ معياري على كل جانب من متوسط العينة
بحسب نظرية الحد المركزي، يكون متوسط العينة تقريبًا طبيعيًا لعينة كبيرة، بغض النظر عن شكل المجتمع.
تجعل CLT X̄ تقريبًا طبيعيًا كلما كبرت حجم العينة.
تنص نظرية الحد المركزي على أن نقاط البيانات الفردية تصبح موزعة بشكل طبيعي للعينات الكبيرة.
تطبق CLT على متوسط العينة X̄، وليس نقاط البيانات الفردية. يمكن للبيانات الخام أن تكون بأي شكل.
فواصل الثقة
- فصل الثقة يعطي نطاقاً قد يحتوي على المتوسط الحقيقي.
- لمجتمع طبيعي بمجهول $\sigma$ (أو عينة كبيرة)، فإن 95% فصل الثقة هو:
- من عينة عشوائية أوجد تقديرات غير منحازة للمتوسط والتباين ('غير منحاز' = صحيح في المتوسط)، وفصل ثقة لنسبة مجتمعية؛ الأرقام العشوائية تساعد في اختيار العينة.
عينة بحجم n = 64 لها σ = 8. ما هو هامش 1.96 × σ/√n لفتره 95%؟ (2 خانات عشرية)
1.96 × 8/√64 = 1.96 × 8/8 = 1.96.
لقد فهمت الأمر
- $E(\bar{X}) = \mu$، $\text{Var}(\bar{X}) = \dfrac{\sigma^2}{n}$؛ CLT تجعل $\bar X$ ≈ طبيعية لكبير $n$
- فصل ثقة بنسبة 95%: $\bar{x} \pm 1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
- العينات الجيدة تحتاج إلى العشوائية