توزيع بواسون
| English | العربية |
|---|---|
| Poisson distribution/ˈpɔɪsn ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | توزيع بواسون |
| interval/ˈɪntəvl/ | فترة / مجال |
| mean/miːn/ | متوسط |
| variance/ˈveərɪəns/ | التباين |
| overdispersion/ˌəʊvədɪˈspɜːʃn/ | تشتت زائد |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | معامل |
الطابور الذي لا نهاية له
- العملاء يصلون إلى متجر بمعدل متوسط قدره 3 في الدقيقة. ما هو احتمال وصول 5 عملاء بالضبط في الدقيقة القادمة؟
- توزيع بواسون يُجسّد الأحداث النادرة التي تحدث بمعدل ثابت — من المكالمات الهاتفية إلى التحلل الإشعاعي.
توزيع بواسون
- $X \sim \text{Po}(\lambda)$ يُجسّد عدد الأحداث العشوائية في فترة ثابتة بمعدل ثابت $\lambda$:
مثال محلول. تصل المكالمات بمعدل $\lambda = 4$ لكل ساعة. P(2 مكالمات بالضبط) $= e^{-4} \dfrac{4^2}{2!} = 0.0183 \times \dfrac{16}{2} = 0.1465$.
الأشخاص يصلون بشكل عشوائي في طابور يتبع توزيع بواسون
توزيع بواسون
X ~ Po(λ)
يحصى بواسون الأحداث العشوائية في فترة زمنية. متوسطه وتباينه كلاهما λ.
لـ X ~ Po(3)، أوجد P(X = 2) = e⁻³ × 3²/2!. قدم إجابتك إلى 3 خانات عشرية.
P(X=2) = e⁻³ × 9/2 = 0.0498 × 4.5 ≈ 0.224.
لـ X ~ Po(2)، P(X = 0) = e⁻². أوجدها (3 خانات عشرية).
P(X=0) = e⁻² × 2⁰/0! = e⁻² = 0.1353 ≈ 0.135.
طابق كل فكرة من أفكار بواسون مع نتيجتها.
في توزيع بواسون، يكون الوسط الحسابي والتباين كلاهما lamda.
خصائص بواسون
- للمتغير البواسوني، المتوسط والتباين كلاهما يساوي $\lambda$: $E(X) = \text{Var}(X) = \lambda$.
- هذه خاصية فريدة — لا يوجد توزيع شائع آخر يمتلك هذه الخاصية.
لـ Po(3)، المتوسط والتباين كلاهما 3؛ الأعمدة تمثل P(X = k).
المتوسط = التباين هو الاختبار. إذا كان بياناتك تحتوي على متوسط ≈ تباين، فإن نموذج بواسون قد يكون مناسبًا. إذا كان التباين أكبر بكثير من المتوسط، فالأحداث ليست مستقلة (تشتت زائد) وبواسون غير صحيح.
لـ X ~ Po(3)، ما هو الوسط الحسابي لـ X؟
بالنسبة للمتغير بواسون، يساوي الوسط الحسابي λ = 3 (وكذلك التباين).
لـ X ~ Po(3)، ما هو التباين لـ X؟
بالنسبة للمتغير بواسون، يساوي التباين أيضًا λ = 3.
في توزيع بواسون، يكون الوسط الحسابي والتباين متساويين دائمًا.
هذه خاصية أساسية لتوزيع بواسون: E(X) = Var(X) = λ.
تقريب بواسون للتوزيع الثنائي
- يقارب بواسون التوزيع الثنائي عندما تكون $n$ كبيرة و$p$ صغيرة.
- استخدم $\lambda = np$ كمعامل لبواسون.
- مثال: $B(200, 0.01) \approx \text{Po}(2)$.
X ~ B(200, 0.01). قارب باستخدام بواسون: λ = np. أوجد λ.
λ = np = 200 × 0.01 = 2.
مثال محلول — التقريب
- $X \sim B(100, 0.02)$. تقرب باستخدام بواسون: $\lambda = np = 100 \times 0.02 = 2$.
- $P(X = 0) \approx e^{-2} \dfrac{2^0}{0!} = e^{-2} = 0.1353$.
- التوزيع الطبيعي يقارب التوزيع الثنائي (مع تصحيح استمرارية) عندما يكون ذلك مناسبًا.
لقد فهمت الأمر
- بواسون: $P(X = r) = e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^r}{r!}$
- المتوسط و التباين كلاهما يساويان $\lambda$
- يقارب التوزيع الثنائي لـ $n$ كبيرة، $p$ صغيرة (استخدم $\lambda = np$)