يغطي هذا الملف الموضوع 3: الرياضيات البحتة 3. تبني المواضيع الفرعية 3.1–3.6 ما سبق من جبر ولوغاريزمات ومثلثيات وتفاضل وتكامل وطرق عددية في الرياضيات البحتة 2، لذلك يشرح هذا الملف ما هو جديد في الرياضيات البحتة 3 ثم يتناول المجالات الجديدة الثلاثة الكبيرة: المتجهات والمعادلات التفاضلية والأعداد المركبة.
رياضيات بحتة 3
A-Level الرياضيات · الموضوع 3
13:36
رياضيات بحتة 3
على مدى قرون، واجه الرياضيون عقبة: ما هو الجذر التربيعي للعدد سالب واحد؟ لا يعطي أي عدد عادي تربيعه نتيجة سالبة. أطلقوا عليه مستحيلاً، و…
سرد باللغة الإنجليزية · ترجمة مدمجة بالإنجليزية + الصينية
3.1
جبر
المنهج
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| • فهم معنى $|x|$، ورسم بياني لـ $y = |ax + b|$، واستخدام علاقات مثل $|a| = |b| \iff a^2 = b^2$ و $|x - a| < b \iff a - b < x < a + b$ عند حل المعادلات والمتباينات | الرسوم البيانية لـ $y = |\text{f}(x)|$ و $y = \text{f}(|x|)$ للدوال غير الخطية $\text{f}$ غير مدرجة. مثال: $|3x - 2| = |2x + 7|$، $2x + 5 < |x + 1|$. |
| • قسمة كثير حدود، whose degree is not exceeding 4، على كثير حد線ي أو تربيعي، وتحديد المقام و الباقي (الذي قد يكون صفراً) | |
| استخدام نظرية العامل و نظرية الباقي | مثال: لإيجاد العوامل والباقيات، وحل معادلات كثيرة الحدود أو تقييم المعاملات المجهولة. بما في ذلك عوامل من الشكل $(ax + b)$ حيث معامل $x$ ليس واحداً، بما في ذلك حساب البواقي. |
| استرجاع شكل مناسب للتعبير عن الدوال الكسرية في الكسور الجزئية، وإجراء التفكيك، في الحالات التي لا يكون فيها المقام أكثر تعقيداً من – $(ax + b)(cx + d)(ex + f)$ – $(ax + b)(cx + d)^2$ – $(ax + b)(cx^2 + d)$ | استبعاد الحالات التي يتجاوز فيها درجة البسط درجة المقام |
| استخدام مفكوك $(1 + x)^n$، حيث $n$ هو عدد نسبي و $|x| < 1$. | لا يُدرج إيجاد الحد العام في المفكوك. تكييف السلسلة القياسية لتوسيع مثل $(2 - \frac{1}{2}x)^{-1}$ مدرج، وتحديد مجموعة قيم $x$ التي يكون فيها المفكود صالحاً في مثل هذه الحالات مدرج أيضاً. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
أداتان جديدتان تنضمان إلى الجبر من الرياضيات البحتة 2.
الكسور الجزئية
يمكن تفكيك كسر واحد بمقام عاملي إلى مجموع كسور أبسط. يسمى هذا كتابة الدالة على شكل كسور جزئية، ويجعل الدالة النسبية (كسر من كثيرات حدود) سهلة التكامل أو النشر. طابق الشكل مع المقام:
تحقق أولاً من أن البسط له درجة أقل من المقام. إذا لم يكن كذلك ("ثقل البسط")، قسّم كثيرة الحدود أولاً: القسمة تعطي مقام زائد باقي على المقام الأصلي، وتفكك فقط هذا الكسر الصحيح المتبقي.
كسر واحد بمقام عاملي يتفكك إلى مجموع كسور أبسط.
$$\frac{1}{(ax+b)(cx+d)} = \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{cx+d}, \qquad \frac{1}{(ax+b)(cx+d)^2} = \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{cx+d} + \frac{C}{(cx+d)^2}.$$
مثال محلول. عبّر عن $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)}$ باستخدام الكسور الجزئية.
اكتب $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x-2}$، بحيث $x + 4 = A(x-2) + B(x+1)$. ضع $x = 2$: $6 = 3B$، إذن $B = 2$. ضع $x = -1$: $3 = -3A$، إذن $A = -1$. ومنه
$$\frac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+1}.$$
نشر ذات الحدين لأس نسبي
يعمل نشر ذات الحدين أيضاً عندما يكون الأس كسراً أو سالباً، طالما $|x| < 1$:
$$(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots$$
على سبيل المثال $(1 + x)^{1/2} = 1 + \tfrac12 x - \tfrac18 x^2 + \cdots$ من أجل $|x| < 1$.
استكشف
منحنيات المقلوب
y = a/(x − b) + c
الكسور الجزئية تقسم كسراً صعباً إلى أجزاء بسيطة مقلوبة — كل جزء له خط مقارب رأسي و خط مقارب أفقي.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | The study of mathematical structures, relationships and reasoning independently of a particular practical application. |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | Simpler rational expressions whose sum equals a given rational expression. |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | A function expressible as a ratio of two polynomials, with a non-zero denominator. |
| quotient/ˈkwəʊʃənt/ | The result of dividing one quantity or expression by another. |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | The amount left after division into equal whole groups, or the residual expression after algebraic division. |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | binomial expansion |
| sign change/saɪn tʃeɪndʒ/ | sign change |
| iterative formula/ˈɪtərətɪv ˈfɔːmjʊlə/ | iterative formula |
| reciprocals/rɪˈsɪprəklz/ | reciprocals |
| secant/ˈsiːkənt/ | The reciprocal of cosine, where cosine is non-zero. |
| cosecant/ˈkəʊsekənt/ | cosecant |
| cotangent/ˈkəʊtændʒənt/ | cotangent |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | Approaches a finite limit as the relevant variable or sequence index increases or approaches a specified value. |
| inverse tangent/ɪnˈvɜːs ˈtændʒənt/ | inverse tangent |
| Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | Integration by parts |
| Integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | A given change of variable turns a hard integral into an easy one. |
3.2 3.3 3.6
اللوغاريتمات والمثلثيات والطرق العددية (من الرياضيات البحتة 2)
المنهج
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| فهم العلاقة بين اللوغاريتمات و الأسس، واستخدام قوانين اللوغاريتمات (باستثناء تغيير الأساس) | |
| فهم تعريف وخصائص $e^x$ و $\ln x$، بما في ذلك علاقتهما كـ دوال عكسية وبيانياتهما | بما في ذلك معرفة بيانية $y = e^{kx}$ لكل من القيم الموجبة والسالبة لـ $k$. |
| استخدام اللوغاريتمات لحل المعادلات والمتباينات التي يظهر فيها المجهول في الأسس | مثال: $2^x < 5$، $3 \times 2^{3x-1} < 5$، $3^{x+1} = 4^{2x-1}$. |
| استخدام اللوغاريتمات لتحويل علاقة معطاة إلى صيغة خطية، ومن ثم تحديد الثوابت المجهولة عن طريق النظر في الميل و/أو المقطع. | مثال: $y = kx^n$ يعطي $\ln y = \ln k + n \ln x$ وهو خطي بالنسبة لـ $\ln x$ و $\ln y$. $y = k(a^x)$ يعطي $\ln y = \ln k + x \ln a$ وهو خطي بالنسبة لـ $x$ و $\ln y$. |
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| فهم العلاقة بين دوال القاطع، التمام القاطع و التمام الظل وجيب التمام وجيب الظل، واستخدام خصائص ورسوم بيانية للدوال المثلثية الستة زوايا ذات أي مقدار | |
| استخدام المتطابقات المثلثية لتبسيط وتقييم العبارات بدقة، وفي سياق حل المعادلات، واختيار متطابقة أو متطابقات مناسبة للسياق، موضحاً الإلمام بالتحديد باستخدام: – $\sec^2 \theta \equiv 1 + \tan^2 \theta$ و $\cosec^2 \theta \equiv 1 + \cot^2 \theta$ – مفكوكات $\sin(A \pm B)$، $\cos(A \pm B)$ و $\tan(A \pm B)$ – الصيغ الخاصة بـ $\sin 2A$، $\cos 2A$ و $\tan 2A$ – تعبير $a \sin \theta + b \cos \theta$ بالصيغ $R \sin(\theta \pm \alpha)$ و $R \cos(\theta \pm \alpha)$. | مثال: تبسيط $\cos(x - 30^\circ) - 3 \sin(x - 60^\circ)$. مثال: حل $\tan \theta + \cot \theta = 4$، $2 \sec^2 \theta - \tan \theta = 5$، $3 \cos \theta + 2 \sin \theta = 1$. |
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| • تحديد جذر لمعادلة تقريبياً، عن طريق الاعتبارات البيانية و/أو البحث عن تغير الإشارة | مثال: إيجاد زوج من الأعداد الصحيحة المتتالية يقع بينهما جذر. |
| • فهم فكرة، واستخدام رمز، لتسلسل من التقريبات التي تتقارب نحو جذر لمعادلة | |
| • فهم كيفية ارتباط قانون تكراري بسيط معطى من الشكل $x_{n+1} = \text{F}(x_n)$ بالمعادلة المحلولة، واستخدام تكرار معطى، أو تكرار مبني على إعادة ترتيب معطاة لمعادلة، لتحديد جذر بدقة محددة مسبقاً. | لا يُشمل معرفة شرط التقارب، لكن يُتوقع فهم أن التكرار قد يفشل في التقارب. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
المواضيع الفرعية 3.2، 3.3 و3.6 هي نفس المهارات التي واجهتها في Pure 2: قواعد اللوغاريتمات مع $e^x$ و$\ln x$؛ المتطابقات $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ و$\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$، وقوانين الزاوية المركبة والمزدوجة، والصيغة $R$-form of $a\sin\theta + b\cos\theta$؛ وحل معادلة عددياً عن طريق تغير الإشارة وصيغة تكرارية $x_{n+1} = F(x_n)$. استخدمها تماماً كما فعلت سابقاً.
الدوال المثلثية الجديدة الثلاث هي المعكوس الضربي للدوال المألوفة: القاطع $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$، وقاطع التمام $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$، وظل التمام $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$. (تذكير: طابق الحرف الثالث — sec تذهب مع cosine.) تأتي هويتا بايثاغورس أعلاه مباشرة بقسمة $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ على $\cos^2\theta$ أو $\sin^2\theta$. بالنسبة لطريقة عددية، يتقارب التكرار $x_{n+1}=F(x_n)$ نحو الجذر عندما تقترب القيم المتتالية من بعضها البعض.
استكشف
الدائرة الوحدة
(cos θ, sin θ)
إعادة كتابة صيغة R لـ a sin θ + b cos θ كموجة واحدة — وكل ذلك يقع على هذه الدائرة.
3.4
الاشتقاق
المنهج
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| استخدام مشتقات $e^x$، $\ln x$، $\sin x$، $\cos x$، $\tan x$، $\tan^{-1} x$، جنباً إلى جنب مع المضاعفات الثابتة والمجموع والفرق والتركيب | مشتقات $\sin^{-1} x$ و $\cos^{-1} x$ غير مطلوبة. |
| اشتقاق الضرب و القسمة | مثال: $\frac{2x - 4}{3x + 2}$، $x^2 \ln x$، $x e^{1-x^2}$. |
| إيجاد和使用 المشتقة الأولى لدالة مُعرَّفة بشكل بارامتري أو ضمني. | مثال: $x = t - e^{2t}$، $y = t + e^{2t}$. مثال: $x^2 + y^2 = xy + 7$. بما في ذلك الاستخدام في مسائل涉及 المسالك العمودية والأعمدة. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
الطرق هي تلك الخاصة بالرياضيات البحتة 2 (قواعد الجداء والقسمة والسلسلة، مع المنحنيات البارامترية والضمنية). يتم إضافة مشتقة واحدة — وهي ظل التمام العكسي:
$$\frac{d}{dx}\tan^{-1} x = \frac{1}{1 + x^2}.$$
مثال محلول. اشتق $y = \tan^{-1}(3x)$.
استخدم قاعدة السلسلة مع النتيجة أعلاه: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 + (3x)^2} \times 3 = \dfrac{3}{1 + 9x^2}.$
استكشف
الميل عند نقطة ما
الميل = dy/dx
سواء كان ضمنيًا أم لا، لا تزال المشتقة هي ميل المماس — اسحب النقطة لترى ذلك.
3.5
التكامل
المنهج
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| توسيع مفهوم 'الاشتقاق العكسي' ليشمل تكامل $e^{ax + b}$، $\frac{1}{ax + b}$، $\sin(ax + b)$، $\cos(ax + b)$، $\sec^2(ax + b)$ و$\frac{1}{x^2 + a^2}$ | بما في ذلك أمثلة مثل $\frac{1}{2 + 3x^2}$. |
| استخدام العلاقات المثلثية في إجراء التكامل | مثال: استخدام صيغ الزاوية المزدوجة لتكامل $\sin^2 x$ أو $\cos^2(2x)$. |
| تكامل الدوال الكسرية عن طريق التحليل إلى كسور جزئية | مقصور على أنواع الكسور الجزئية المحددة في الموضوع 3.1 أعلاه. |
| التعرف على دالة تكامل من الشكل $\frac{k f'(x)}{f(x)}$، وتكامل مثل هذه الدوال | مثال: تكامل $\frac{x}{x^2 + 1}$، $\tan x$. |
| تحديد متى يمكن اعتبار دالة التكامل نتاجاً مفيداً، واستخدام التكامل بالتجزئة | مثال: تكامل $x \sin 2x$، $x^2 e^{-x}$، $\ln x$، $x \tan^{-1} x$. |
| استخدام تعويض معطى لتبسيط وحساب إما تكاملاً محدداً أو غير محدد. | مثال: تكامل $\sin^2 2x \cos x$ باستخدام التعويض $u = \sin x$. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
تضيف الرياضيات البحتة 3 عدة طرق قوية.
- تكامل قياسي جديد: $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$.
- الكسور الجزئية: فكك الدالة النسبية أولاً، ثم أكامل كل جزء كدالة لوغاريتمية.
- النمط $\dfrac{k\,f'(x)}{f(x)}$: يكامل هذا إلى $k\ln|f(x)| + C$. على سبيل المثال $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + C$.
- التكامل بالتجزئة، المستخدم للحاصل: $\displaystyle\int u\,\frac{dv}{dx}\,dx = uv - \int v\,\frac{du}{dx}\,dx$.
- التكامل بالتعويض: تغيير متغير معطى يحول تكائلاً صعباً إلى تكامل سهل.
مثال محلّل. أوجد $\displaystyle\int x\cos x\,dx$.
استخدم التكامل بالتجزئة مع $u = x$ و$\dfrac{dv}{dx} = \cos x$، إذن $\dfrac{du}{dx} = 1$ و$v = \sin x$:
$$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C.$$
استكشف
المساحة تحت المنحنى
المساحة = ∫ f(x) dx
كل طريقة تكامل تقيس هذه المساحة — اسحب الحدود لتجميعها.
3.7
المتجهات
المنهج
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| • استخدام الرموز القياسية لـ المتجهات، أي $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$، $x\mathbf{i} + y\mathbf{j}$، $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$، $x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$، $\overrightarrow{AB}$، $\mathbf{a}$ | |
| • إجراء عمليات جمع وطرح المتجهات وضرب متجه في عدد حقيقي، وتفسير هذه العمليات هندسياً | مثال: '$OABC$ متوازي أضلاع' يكافئ $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}$. لا يُشمل الصيغة العامة لـ نظرية النسبة، لكن يُتوقع فهم أن نقطة المنتصف لـ $AB$ لها متجه موقع $\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$. |
| • احسب معيار المتجه، واستخدم متجهات الوحدة، متجهات الإزاحة ومتجهات الموقع | في أبعاد 2 أو 3. |
| • فهم دلالة جميع الرموز المستخدمة عند كتابة معادلة خط مستقيم بالشكل $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$، وإيجاد معادلة الخط بمعلومية معلومات كافية | مثال: إيجاد معادلة خط معلوم متجه موقع نقطة عليه ومتجه اتجاه، أو متجهات موقع نقطتين عليه. |
| • تحديد ما إذا كان خطان متوازيين أو يتقاطعان أو متخالفين، وإيجاد نقطة تقاطعهما عند وجودها | لا يُطلب حساب أقصر مسافة بين خطين متخالفين. ولا يُطلب أيضاً إيجاد معادلة العمود المشترك لخطين متخالفين. |
| • استخدم الصيغ لحساب الجداء القياسي لمتجهين، واستخدم الجداء القياسي في مسائل涉及 الخطوط والنقاط. | مثال: إيجاد الزاوية بين خطين، وإيجاد قدم العمود من نقطة إلى خط؛ قد تتضمن الأسئلة أجساماً 3D مثل المكعبات المستطيلة، رباعيات الأسطح (الأهرامات)، إلخ. لا يُشترط معرفة بـ الجداء الاتجاهي. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
للمقدار المتجهي متجه حجم واتجاه. يُكتب عمودياً، أو كـ $x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$، أو كـ $\overrightarrow{AB}$.
- المقدار (الطول) لـ $\mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ هو $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
- متجه الوحدة له مقدار $1$؛ اقسم متغيراً على مقداره للحصول عليه.
- متجه الموضع يحدد موقع نقطة بالنسبة للمبدأ؛ أما متجه الإزاحة $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ فيمتد من نقطة إلى أخرى. الضرب في عدد قياسي (رقم عادي) يطيل المتغير.
المستقيمات والجداء القياسي
خط مستقيم يمر بالنقطة $\mathbf{a}$ في الاتجاه $\mathbf{b}$ له معادلة متغيرية $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$. قد يكون المستقيمان متوازيين، أو يتقاطعان عند نقطة، أو يكونان متصادين (غير متوازيين ولا يتقاطعان أبداً).
الجداء القياسي (الجداء النقطي) لـ $\mathbf{a}$ و$\mathbf{b}$ هو
$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta,$$
حيث $\theta$ هو الزاوية بينهما. لذا فإن $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ يعني أن المتغيرات متعامدة.
مثال محلول. أوجد الزاوية بين $\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ و$\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}$.
$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = (1)(2) + (2)(2) + (2)(1) = 8, \qquad |\mathbf{a}| = |\mathbf{b}| = 3.$$
إذن $\cos\theta = \dfrac{8}{3\times 3} = \dfrac{8}{9}$، مما يعطي $\theta = 27.3^\circ$.
استكشف
جمع المتجهات والجداء السلمي
اسحب المتجهين. شاهد المحصلة (رأساً لذيل) والجداء السلمي، الذي يساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| vector/ˈvektə/ | A quantity represented by both magnitude and direction, or by an ordered set of components. |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | magnitude |
| unit vector/ˈjuːnɪt ˈvektə/ | unit vector |
| position vector/pəˈzɪʃn ˈvektə/ | position vector |
| displacement vector/dɪˈspleɪsmənt ˈvektə/ | displacement vector |
| scalar/ˈskeɪlə/ | A quantity described by magnitude alone, with no direction. |
| parallel/ˈpærəlel/ | Describing lines in the same plane that never meet, however far extended. |
| intersect/ˌɪntəˈsekt/ | intersect |
| skew lines/skjuː laɪnz/ | skew lines |
| scalar product/ˈskeɪlə ˈprɒdʌkt/ | scalar product |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | An equation involving a function and one or more of its derivatives. |
| separable/ˈsepərəbl/ | separable |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | A family of solutions containing arbitrary constants or parameters that represents all solutions of the specified type. |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | A specified starting value used to determine a particular solution of an equation or model. |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | particular solution |
| complex number/ˈkɒmpleks ˈnʌmbə/ | complex number |
| real part/rɪəl pɑːt/ | real part |
| imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt/ | imaginary part |
| Cartesian form/kɑːˈtiːzɪən fɔːm/ | Cartesian form |
| conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | A paired expression obtained by changing a sign, such as reversing the sign of a complex number's imaginary part. |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | modulus |
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | The angle the point makes, measured from the positive real axis. |
3.8
المعادلات التفاضلية
المنهج
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| صياغة عبارة بسيطة تتضمن معدل التغير كـ معادلة تفاضلية | يشمل إدخال وتقييم ثابت تناسب، عند الحاجة. |
| إيجاد صيغة عامة للحل لمعادلة تفاضلية من الرتبة الأولى عبر التكامل تكون فيها المتغيرات منفصلة | بما في ذلك أي من تقنيات التكامل من الموضوع 3.5 أعلاه. |
| استخدام شرط ابتدائي لإيجاد حلاً خاصاً | |
| تفسير حل معادلة تفاضلية في سياق مسألة يتم نمذجتها بواسطة المعادلة. | عندما تُستخدم معادلة تفاضلية لنمذجة موقف 'واقعي'، لن يكون مطلوباً معرفة متخصصة في السياق. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
المعادلة التفاضلية تربط كمية بـمعدل تغيرها. لحل معادلة من الدرجة الأولى ذات متغيرات منفصلة، ضع جميع حدود $y$ في طرف وجميع حدود $x$ في الطرف الآخر، ثم قم بالتكامل للطرفين. هذا يعطي الحل العام، الذي يحتوي على ثابت. شرط ابتدائي (قيمة معروفة) يثبت الثابت ويعطي الحل الخاص.
مثال محلول. حل $\dfrac{dy}{dx} = xy$، علماً أن $y = 1$ عندما $x = 0$.
افصل المتغيرات وأكامل:
$$\int \frac{1}{y}\,dy = \int x\,dx \;\Rightarrow\; \ln y = \tfrac12 x^2 + c \;\Rightarrow\; y = A e^{x^2/2}.$$
باستخدام $y = 1$ عند $x = 0$ نحصل على $A = 1$، إذن $y = e^{x^2/2}$.
استكشف
حقل الميل
كل خط صغير يمثل الانحدار $\frac{dy}{dx}$ هناك. يتبع منحنى الحل الأسهم — غيّر نقطة البداية لرؤية حل مختلف.
3.9
الأعداد المركبة
المنهج
| يجب أن يكون المرشحون قادرين على: | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| فهم فكرة العدد المركب، وتذكر معنى مصطلحات الجزء الحقيقي، الجزء التخيلي، المقياس، الوسيط، المترافق، واستخدام حقيقة أن عددين مركبين متكافئان إذا وفقط إذا كان كل من الجزء الحقيقي والتخيلي متساويين | يجب معرفة رموز $\text{Re } z$، $\text{Im } z$، $|z|$، $\arg z$، $z^*$. عادة ما يشير وسيط العدد المركب إلى زاوية $\theta$ بحيث $-\pi < \theta \leqslant \pi$، ولكن في بعض الحالات قد يكون الفترة $0 \leqslant \theta < 2\pi$ أكثر ملاءمة. يمكن للإجابات استخدام أي من الفترتين ما لم يحدد السؤال خلاف ذلك. |
| إجراء عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة لعددَيْن مركبين معبرين عنهما الصيغة الديكارتية $x + \text{i}y$ | بالنسبة للحسابات التي تتضمن الضرب أو القسمة، يجب عرض تفاصيل الحساب بالكامل. |
| استخدام النتيجة القائلة بأنه، بالنسبة لمعادلة كثير حدود ذات معاملات حقيقية، فإن أي جذور غير حقيقية تظهر في أزواج مترافقة | مثال: في حل معادلة مكعبة أو رباعية حيث تم إعطاء جذر مركب واحد. |
| تمثيل الأعداد المركبة هندسياً عن طريق مخطط آרגاند | |
| إجراء عمليات الضرب والقسمة لعددين مركبين معبر عنهما في الشكل القطبي $r(\cos \theta + \text{i}\sin \theta) \equiv r\text{e}^{\text{i}\theta}$ | بما في ذلك النتائج $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ و $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$، والنتائج المقابلة للقسمة. |
| إيجاد الجذر التربيعي للعدد المركب | مثال: الجذور التربيعية لـ $5 + 12\text{i}$ بالصيغة الديكارتية الدقيقة. يجب عرض تفاصيل العمل كاملة. |
| فهم ببساطة التأثيرات الهندسية لمترافق عدد مركب، وجمع وطرح وضرب وقسمة عددين مركبين | |
| توضيح المعادلات والمتباينات البسيطة المتعلقة بالأعداد المركبة عن طريق الأماكن الهندسية في مخطط آרגاند | مثال: $|z - a| < k$، $|z - a| = |z - b|$، $\arg(z - a) = \alpha$. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
يأخذ العدد المركب الصيغة $z = x + iy$، حيث $i^2 = -1$. هنا $x$ هو الجزء الحقيقي و$y$ هو الجزء التخيلي. يُسمى هذا $x + iy$ بـالصيغة الديكارتية. يتساوى عددان مركبان فقط عندما يتطابق جزءاهما الحقيقي والتخيلي.
- مرافق $z = x + iy$ هو $z^* = x - iy$. بالنسبة لكثير حدود بمعاملات حقيقية، تكون الجذور غير الحقيقية دائماً في أزواج مرافقة.
- المقياس هو $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ (مسافته من المبدأ) والوسيط هو الزاوية التي يصنعها النقطة، تُقاس من المحور الحقيقي الموجب.
- يمكنك تمثيل $z$ كنقطة على مخطط أرغاند (المستوى المركب).
- الشكل القطبي هو $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$، حيث $r = |z|$ و$\theta$ هو الوسيط. الضرب يضرب المقاييس ويجمع الوسائط.
- الأماكن الهندسية للنقاط التي تحقق شرطاً على $z$ تُرسم على مخطط أرغاند — مثلاً $|z - a| = r$ دائرة، $|z - a| = |z - b|$ منصف عمودي، و$\arg(z - a) = \theta$ نصف خط. الجذور التربيعية للعدد المركب تُستخرج بحل $w^2 = z$.
للقسمة، اضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
مثال محلول. اكتب $\dfrac{3 + i}{1 - i}$ على الشكل $x + iy$.
$$\frac{3 + i}{1 - i} = \frac{(3 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 + 3i + i + i^2}{1 + 1} = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i.$$
معادلة أو متباينة في $z$ تصف مكاناً هندسياً (مسار أو منطقة) على مخطط أرغاند. على سبيل المثال $|z - a| = r$ دائرة نصف قطرها $r$ ومركزها $a$.
استكشف
مخطط أرجاند
اسحب النقطة. العدد المركب $a + bi$ هو نقطة على المستوى؛ قيمته المطلقة هي المسافة من نقطة الأصل وحجته هي الزاوية.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| Argand diagram/ˈɑːɡænd ˈdaɪəɡræm/ | Argand diagram |
| polar form/ˈpəʊlə fɔːm/ | polar form |
| locus/ˈləʊkəs/ | The set of points satisfying a specified geometric condition. |
3.9
نصائح للامتحان
- فك الكسر النسبي إلى كسور جزئية قبل التكامل أو التوسع.
- اختر التقنية المناسبة للتكامل (التعويض، بالجزء، أو الكسور الجزئية) بناءً على شكل الدالة المُكاملة.
- استخدم الجداء القياسي (النقطي) لإيجاد الزاوية بين المتغيرات وللتحقق من التعامد؛ واكتب المستقيم بصيغة $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$.
- قدّم الأعداد المركبة بالشكل المطلوب (ديكارتي أو مقياس-وسيط) وُمثلها على مخطط أرغاند.
دروس تفاعلية حول هذا الموضوع
ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.