اللوغاريتمات والمثلثات والطرق العددية (نقي 3)
مُقدَّم| English | العربية |
|---|---|
| logarithm/ˈlɒɡərɪθəm/ | The exponent to which a specified base must be raised to produce a given positive number. |
| exponential equation/ˌekspəˈnenʃl ɪˈkweɪʒn/ | exponential equation |
| decay/dɪˈkeɪ/ | decay |
| linearise/ˈlɪnɪəraɪz/ | linearise |
| convergence/kənˈvɜːdʒəns/ | convergence |
بناءً على ما تعرفه
- Pure 3 لا يقدم أفكاراً جديدة كلياً — بل يعزز ويوسع مهارات Pure 2.
- اللوغاريتمات، مثلثيات، والطرق العددية تعود بمشاكل أصعب وتطبيقات أغنى.
اللوغاريتمات مستعرضة
- قواعد اللوغاريتم مع $e^x$ و$\ln x$ تعود في سياقات أصعب: حل المعادلات الأسية، ونمذجة النمو والتلاشي، وتحويل البيانات الخطي.
- مهارة رئيسية: عندما يكون المجهول في القوة، خذ لوغاريتم الطرفين.
مثال محلول. حل $5e^{2x} = 30$. اقسم: $e^{2x} = 6$. خذ $\ln$: $2x = \ln 6$، إذن $x = \dfrac{\ln 6}{2} \approx 0.896$.
خط r = a + t b: ابدأ عند a، ثم انزلق بـ t مرات الاتجاه b
ما هو ln(e³)؟
ln و e دالتان عكسية، لذا ln(e³) = 3.
حل 5e^(2x) = 30 بالنسبة لـ x (2 خانات عشرية).
e^(2x) = 6، إذن 2x = ln 6، x = (ln 6)/2 ≈ 0.896 ≈ 0.90.
المثلثيات مستعرضة
- $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$, $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$.
- صيغ الزوايا المركبة والمضاعفة، والصيغة $R$-لـ $a\sin\theta + b\cos\theta$.
- هذه المتطابقات ضرورية للتكامل وحل المعادلات المثلثية.
لا تخلط بين المتطابقات. $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ (علامة زائد)، لا $1 - \tan^2\theta$. تأتي العلامة من قسمة $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ على $\cos^2\theta$.
الدائرة الوحدة
(cos θ, sin θ)
إعادة كتابة صيغة R لـ a sin θ + b cos θ كموجة واحدة — وكل ذلك يقع على هذه الدائرة.
باستخدام sec²θ ≡ 1 + tan²θ، إذا كان tan θ = 3، فما قيمة sec²θ؟
sec²θ = 1 + 3² = 1 + 9 = 10.
sec²θ ≡ 1 − tan²θ.
المتطابقة الصحيحة هي sec²θ ≡ 1 + tan²θ (جمع، لا طرح).
الطرق العددية مستعرضة
- تغير إشارة لحبس جذر، ثم صيغة تكرارية $x_{n+1} = F(x_n)$.
- التقارب يتطلب $|F'(x)| < 1$ قريباً من الجذر.
allow_no_figure: درس مراجعة يرسخ مهارات Pure 2 (اللوغاريتمات، المثلثيات، الطرق العددية) — لا يتم تقديم مفاهيم بصرية جديدة.
يُوجد جذر عددي بتغير الإشارة، ثم تطبيق مراراً:
يُطبق التكرار x_{n+1} = F(x_n) حتى تتآصل القيم نحو الجذر.
مثال محلول — تطبيق صيغة R
- عبّر عن $3\sin\theta + 4\cos\theta$ على الصيغة $R\sin(\theta + \alpha)$.
- $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. $\tan\alpha = \dfrac{4}{3} \Rightarrow \alpha \approx 53.1^{\circ}$.
- إذن $3\sin\theta + 4\cos\theta = 5\sin(\theta + 53.1^{\circ})$.
- القيمة العظمى هي $5$ (عندما $\sin(\theta + 53.1^{\circ}) = 1$).
- رسم $\ln y$ مقابل $x$ يعطي مستقيماً whose gradient و intercept يحددان الثوابت (باستخدام indices و inverse functions)؛ تعرف دوال مثلثية معكوسة secant، cosecant، cotangent؛ و iteration $x_{n+1}=F(x_n)$ يُظهر convergence إلى جذر.
بالنسبة لـ 3 sin θ + 4 cos θ = R sin(θ + α)، ما هي قيمة R؟
R = √(3² + 4²) = √25 = 5.
لقد فهمت الأمر
- 3.2 logs، 3.3 trig identities/angle formulae، 3.6 numerical methods = مهارات Pure 2
- استخدم $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ و R-formula كما في السابق
- أوجد الجذور عن طريق sign change ثم iteration $x_{n+1} = F(x_n)$