التفاضل (نقي 3)
مُقدَّم| English | العربية |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | The instantaneous rate of change of a function with respect to its input. |
| inverse tangent/ɪnˈvɜːs ˈtændʒənt/ | inverse tangent |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | The rule for differentiating a composite function by multiplying the appropriate derivatives. |
| parametric/ˌpærəˈmetrɪk/ | parametric |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | The differentiation rule for two multiplied functions: the first times the derivative of the second plus the second times the derivative of the first. |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | The value obtained by dividing one by a non-zero number. |
| implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | implicit differentiation |
المشتقة التي تكمل الدائرة
- أنت تعرف مشتقات $\sin$، $\cos$، $\tan$، $e^x$، و$\ln x$. دالة 3 الصافية تضيف واحدة أكثر: الظل العكسي.
- مجتمعة، هذه المشتقات القياسية تسمح لك باشتقاق أي تركيبة من الدوال الأساسية.
مراجعة طرق Pure 2
- الطرق هي تلك الخاصة بـ Pure 2: قواعد product، quotient و chain، مع المنحنيات المعلمية والمضمنة.
- هذه هي أدوات الاشتقاق الأساسية — أتقنها وستتمكن من التعامل مع أي مسألة.
مثال محلول. $y = x^2 e^{3x}$. قاعدة الضرب مع $u = x^2$، $v = e^{3x}$: $\dfrac{dy}{dx} = 2x \cdot e^{3x} + x^2 \cdot 3e^{3x} = e^{3x}(2x + 3x^2)$.
z على مخطط أرغاندي: المقطع هو المسافة، الحجة هي الزاوية، المرافق هو الانعكاس
الميل عند نقطة ما
الميل = dy/dx
سواء كان ضمنيًا أم لا، لا تزال المشتقة هي ميل المماس — اسحب النقطة لترى ذلك.
لا يزال التفاضل النقي 3 يستخدم قواعد الضرب والقسمة والتسلسل من التفاضل النقي 2.
تنتقل هذه القواعد؛ فقط مشتقة الدالة العكسية للتانجس جديدة.
إذا كانت y = x²e^(3x)، فإن dy/dx = e^(3x)(2x + 3x²). عند x = 0، dy/dx = ؟
عند x = 0: e⁰(0 + 0) = 1 × 0 = 0.
مشتقة arctan
- مشتقة قياسية جديدة واحدة:
- تظهر هذه في التكامل (العكس) وفي مسائل المعدلات المرتبطة.
$\tan^{-1}x$ لا يساوي $\dfrac{1}{\tan x}$. الرمز $\tan^{-1}x$ يعني inverse function (arctan)، وليس المقلوب. المقلوب هو $\cot x$.
مشتقة tan⁻¹x هي 1/(1+x²). ما قيمتها عند x = 1؟
1/(1 + 1²) = 1/2 = 0.5.
ما هي مشتقة tan⁻¹x عند x = 0؟
1/(1 + 0²) = 1/1 = 1.
tan⁻¹x تعني 1/tan x.
tan⁻¹x هي الدالة العكسية (arctan)، وليست المقلوب. المقلوب هو cot x.
اشتقاق ضمني مُعاد النظر فيه
- للمعادلات مثل $x^2 + y^2 = 25$، اشتق كل حد بالنسبة لـ $x$.
- عندما تواجه حداً $y$، طبق قاعدة السلسلة: $\dfrac{d}{dx}(y^2) = 2y\dfrac{dy}{dx}$.
- ثم حل للحصول على $\dfrac{dy}{dx}$.
allow_no_figure: مراجعة درس لتثبيت طرق اشتقاق Pure 2 (قواعد product، quotient، chain) مع مشتقة جديدة — لم تُقدم مفاهيم بصرية جديدة.
مثال محلول — الاشتقاق الضمني
- أوجد $\dfrac{dy}{dx}$ لـ $x^2 + xy + y^2 = 7$.
- اشتق: $2x + y + x\dfrac{dy}{dx} + 2y\dfrac{dy}{dx} = 0$.
- اجمع حدود $\dfrac{dy}{dx}$: $(x + 2y)\dfrac{dy}{dx} = -(2x + y)$.
- $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2x + y}{x + 2y}$.
- اشتق العلاقات المعطاة بشكل ضمني أو معلمي.
عند اشتقاق y² ضمنيًا بالنسبة لـ x، تحصل على:
بقاعدة السلسلة: d/dx(y²) = 2y · dy/dx.
لقد فهمت الأمر
- أعد استخدام قواعد product / quotient / chain من Pure 2
- المشتقة الجديدة: $\dfrac{d}{dx}\tan^{-1}x = \dfrac{1}{1 + x^2}$
- ما زلت تتعامل مع المنحنيات المعلمية و الضمنية بنفس الطريقة