المتجهات
مُقدَّم| English | العربية |
|---|---|
| vector/ˈvektə/ | A quantity represented by both magnitude and direction, or by an ordered set of components. |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | magnitude |
| unit vector/ˈjuːnɪt ˈvektə/ | unit vector |
| parallel/ˈpærəlel/ | Describing lines in the same plane that never meet, however far extended. |
| intersect/ˌɪntəˈsekt/ | intersect |
| skew/skjuː/ | skew |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | Meeting at a right angle of 90 degrees. |
| scalar product/ˈskeɪlə ˈprɒdʌkt/ | scalar product |
التنقل في 3D
- أقمار GPS تتبع موقعك في ثلاثة أبعاد. الطائرات تستخدم المسار والارتفاع والدوران للتنقل.
- المتجهات هي رياضيات الاتجاه والمقدار في الفضاء — أساسية للفيزياء والهندسة ورسوميات الحاسوب.
المتجهات في 3D
- المتجه له حجم واتجاه: $\mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$.
- المقدار $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$؛ المتجه الوحدة له مقدار 1.
مثال محلول. $\mathbf{v} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}$. المقدار $= \sqrt{9 + 16} = 5$. المتجه الوحدة $= \dfrac{1}{5}(3\mathbf{i} + 4\mathbf{j})$.
القوى مثل الرياح والماء هي متجهات، لها مقدار واتجاه
ما هو معيار المتجه i + 2j + 2k؟
|v| = √(1² + 2² + 2²) = √(1+4+4) = √9 = 3.
معادلات المتجهات للمستقيمات
- مستقيم يمر بالنقطة $\mathbf{a}$ في الاتجاه $\mathbf{b}$: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$.
- قد تكون المستقيمات متوازية (نفس الاتجاه)، تتقاطع (تشترك في نقطة)، أو تكون متخاطبة (لا شيء مما سبق).
الخطوط المائلة لا تتقاطع وليست متوازية. في 3D، يمكن لخطين أن يفتقدا بعضهما البعض تمامًا — فهما ليسا في نفس المستوى. وهذا مستحيل في 2D.
الجداء السلمي
a · b = |a||b|cos θ
يقيس الجداء النقطي مدى اتجاه متجهين في نفس الاتجاه — إنه صفر عندما يكونان متعامدين.
المعادلة الشعاعية لمستقيم يمر بالنقطة a وباتجاه b هي:
r = a + tb، حيث t هو معامل سلمي.
في 3D، الخطان اللذان لا يتقاطعان يجب أن يكونا متوازيين.
في 3D، يمكن أن تكون الخطوط مائلة — لا متوازية ولا متقاطعة. وهذا مستحيل في 2D.
الضرب القياسي (النقطي)
- إذن $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ يعني أن المتجهات عمودية.
- استخدمه لإيجاد الزاوية بين متجهين: $\cos\theta = \dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$.
يعطي الضرب القياسي الزاوية: a·b = |a||b|cos θ، إذن cos θ = (a·b)/(|a||b|).
أوجد الجداء السلمي (i + 2j + 2k)·(2i + 2j + k).
(1)(2) + (2)(2) + (2)(1) = 2 + 4 + 2 = 8.
إذا كان a·b = 0، فإن المتجهين متعامدان.
cos θ = 0 يعطي θ = 90°، لذا فإن الجداء النقطي الصفري يعني أن المتجهين متعامدان.
إذا كان a·b = 6، |a| = 3، |b| = 4، ما هو cos θ؟
cos θ = (a·b)/(|a||b|) = 6/(3×4) = 6/12 = 0.5.
مثال محلول — الزاوية بين المتجهات
- $\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$, $\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} - 2\mathbf{k}$.
- $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 2 + 2 - 4 = 0$. إذن $\mathbf{a}$ و$\mathbf{b}$ متعامدان ($\theta = 90^{\circ}$).
allow_no_figure: المتجهات ذات طابع 3D بطبيعتها وصعب تمثيلها بوضوح في رسم ثابت ثنائي الأبعاد 2D — حيث تنقل الرموز الجبرية والأمثلة المحللة المفاهيم بفعالية.
- استخدم متجهات الموضع ومتجهات الإزاحة، ومتجهات الوحدة؛ نظرية النسبة تقسم خطاً بنسبة محددة.
لقد فهمت الأمر
- المقدار $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$؛ الخط: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$
- الضرب القياسي $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = |\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta$
- $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ → متعامد