المعادلات التفاضلية
مُقدَّم| English | العربية |
|---|---|
| decay/dɪˈkeɪ/ | decay |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | An equation involving a function and one or more of its derivatives. |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | The change in one quantity divided by the corresponding change in another. |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | A specified starting value used to determine a particular solution of an equation or model. |
| separable/ˈsepərəbl/ | separable |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | An arbitrary constant included in an indefinite integral to represent the family of antiderivatives. |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | particular solution |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | A family of solutions containing arbitrary constants or parameters that represents all solutions of the specified type. |
المعادلة التي تتنبأ بالمستقبل
- كيف ينمو عدد السكان؟ كم يتسارع تدهور مادة مشعة؟ كيف يبرد كوب من القهوة؟
- جميع هذه الأسئلة تؤدي إلى المعادلات التفاضلية — معادلات تربط كمية بمعدل تغيرها. وحلها يتنبأ بالمستقبل.
ما هي المعادلة التفاضلية؟
- المعادلة التفاضلية تربط كمية بـمعدل تغيرها.
- مثال: $\dfrac{dy}{dx} = ky$ يعني أن معدل النمو يتناسب مع القيمة الحالية — نمو أسي.
مثال واقعي. قانون نيوتن للتبريد: $\dfrac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{room}})$. معدل التبريد يتناسب مع مقدار الحرارة الذي يفوق به الجسم درجة حرارة محيطه.
الثابت يعطي عائلة من المنحنيات؛ الشرط الابتدائي يختار واحداً
حقل الميل
dy/dx = a y
يعطي المعادلة التفاضلية الميل في كل مكان — الحل هو المنحنى الذي يتبع تلك الأمال من y₀.
ترتبط المعادلة التفاضلية بكمية بمعدل تغيرها.
هذه هي السمة المميزة: تتضمن المعادلة كلًا من y وdy/dx (أو المشتقات الأعلى).
المعادلات القابلة للفصل
- لمعادلة من الرتبة الأولى قابلة للفصل: ضع جميع حدود $y$ في طرف، وجميع حدود $x$ في الطرف الآخر، ثم تكامل كلا الطرفين.
- مثال: $\dfrac{dy}{dx} = xy \Rightarrow \dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx \Rightarrow \ln|y| = \dfrac{x^2}{2} + C$.
لا تنسَ ثابت التكامل. عند تكامل كلا الطرفين، أضف $+C$ إلى أحد الطرفين. هذا الثابت يحدد الحل الخاص الذي تحصل عليه.
لحل معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى قابلة للفصل، تقوم بـ:
فصل المتغيرات، ثم تكامل كل جانب.
الحلول العامة مقابل الحلول الخاصة
- الحل العام يحتوي على ثابت (عائلة كاملة من المنحنيات).
- الشرط الابتدائي (قيمة معلومة) يثبت الثابت ← الحل الخاص.
يُستخدم الشرط الابتدائي لـ:
قيمة معلومة تثبت الثابت العشوائي، وتحول الحل العام إلى الحل الخاص.
يحتوي الحل العام للمعادلة التفاضلية على ثابت عشوائي.
إدراج التكامل يضيف ثابتًا، لذا فإن الحل العام هو عائلة كاملة من المنحنيات.
مثال محلول
- حل $\dfrac{dy}{dx} = xy$ باستخدام $y = 1$ عند $x = 0$.
- افصل: $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$. تكامل: $\ln|y| = \dfrac{x^2}{2} + C$.
- طبق $y(0) = 1$: $\ln 1 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
- إذن $\ln y = \dfrac{x^2}{2} \Rightarrow y = e^{x^2/2}$.
allow_no_figure: تُحل المعادلات التفاضلية جبرياً — عملية الحل (فصل المتغيرات، التكامل) هي المحتوى الأساسي، وليس الرسم.
- حل معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى لنمذجة معدلات التغير في الحياة الواقعية.
حل dy/dx = xy مع y(0) = 1. عند x = 2، y = e^(x²/2). أوجد y (2 dp).
y = e^(x²/2). عند x = 2: y = e² ≈ 7.39.
إذا كان ln y = x²/2 + C و y(0) = 1، ما قيمة C؟
ln 1 = 0 + C، إذن C = 0.
لقد فهمت الأمر
- حل معادلة قابلة للفصل عن طريق فصل المتغيرات وتكامل كلا الطرفين
- الحل العام له ثابت؛ الشرط الابتدائي يعطي الحل الخاص
- تربط المعادلة التفاضلية بين كمية ومعدل تغيرها