الأعداد المركبة
مُقدَّم| English | العربية |
|---|---|
| complex number/ˈkɒmpleks ˈnʌmbə/ | complex number |
| real part/rɪəl pɑːt/ | real part |
| imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt/ | imaginary part |
| conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | A paired expression obtained by changing a sign, such as reversing the sign of a complex number's imaginary part. |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | The non-negative magnitude of a number; for a real number, its distance from zero. |
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | The angle from the positive real axis. |
| Argand diagram/ˈɑːɡænd ˈdaɪəɡræm/ | Argand diagram |
| polar form/ˈpəʊlə fɔːm/ | polar form |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | The value b squared minus 4ac, which determines the nature of a quadratic equation's roots. |
العدد الذي لا يوجد
- ما هو $\sqrt{-1}$؟ لقرون، قال الرياضيون إنه لا يوجد. ثم اكتشفوا أن افتراض وجوده — تسميته $i$ — يفتح حلولاً لمعادلات ليس لها بدورها حلول.
- الأعداد المركبة تمدد خط الأعداد إلى مستوى، وهي ضرورية لهندسة الكهرباء والميكانيكا الكمية ومعالجة الإشارات.
الأعداد المركبة
- العدد المركب هو $z = x + iy$، حيث $i^2 = -1$ — $x$ هو الجزء الحقيقي، $y$ هو الجزء التخيلي.
- المترافق $z^* = x - iy$. كثيرات الحدود بمعاملات حقيقية لها جذور غير حقيقية في أزواج مترافقة.
- المقياس $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$؛ الوسيط هو الزاوية من محور الحقيقي الموجب.
مثال محلول. $z = 3 + 4i$. مقياس $= \sqrt{9 + 16} = 5$. مترافق $= 3 - 4i$.
$i^2 = -1$، لا $1$. عند ضرب الأعداد المركبة، تذكر أن $i^2 = -1$. على سبيل المثال، $(2+i)(3+i) = 6 + 2i + 3i + i^2 = 6 + 5i - 1 = 5 + 5i$.
أنماط متشابهة ذاتياً مثل رومانيسكو تنشأ عن التكرار في المستوى المركب
مخطط أرجاند
z = x + yi
قم برسم عدد مركب كـ نقطة: مسافته من O هي المعيار، وزاويته هي الذراع.
ما هو معيار العدد المركب 3 + 4i؟
|z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
مرافق z = 5 + 2i هو:
يعكس المرافق إشارة الجزء التخيلي: z* = 5 − 2i.
ما هي قيمة i²؟
وفقًا لتعريف الوحدة التخيلية، i² = −1.
(2 + i)(3 + i) = a + bi. ما قيمة a (الجزء الحقيقي)؟
(2+i)(3+i) = 6 + 2i + 3i + i² = 6 + 5i − 1 = 5 + 5i. الجزء الحقيقي = 5.
مخطط أرغاند والصيغة القطبية
- ارسم $z$ كنقطة على مخطط أرغاند (محور حقيقي أفقي، محور تخيلي عمودي).
في مخطط أرغاند، المقياس |z| هو المسافة من نقطة الأصل والوسيط هو الزاوية θ.
- الصيغة القطبية: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$ — الضرب يضرب المقاييس ويجمع الوسيط.
القسمة باستخدام المترافق
- لـالقسمة، اضرب البسط والمقام في مترافق المقام.
- مثال: $\dfrac{3+i}{1-i} = \dfrac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{3+3i+i+i^2}{1+1} = \dfrac{2+4i}{2} = 1 + 2i$.
(3+i)/(1−i) = a + bi. ما قيمة b (الجزء التخيلي)؟
اضرب في (1+i)/(1+i): (3+i)(1+i)/2 = (3+3i+i−1)/2 = (2+4i)/2 = 1+2i. الجزء التخيلي = 2.
حل المعادلات بجذور مركبة
- للمعادلة التربيعية ذات المميز السالب جذور مركبة: $x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2i$.
- كثيرات الحدود بمعاملات حقيقية دائماً لها جذور غير حقيقية في أزواج مترافقة: إذا كان $a + bi$ جذراً، فهو أيضاً $a - bi$.
allow_no_figure: حساب الأعداد المركبة ومخطط أرغاند مفاهيم جبرية/هندسية يتم نقلها بفعالية من خلال الصيغة والأمثلة المحلولة.
- بالإضافة إلى الصيغ الديكارتية والقطبية، أوجد الجذور التربيعية للعدد المركب ورسم المواقع الهندسية (مثل $|z-a|=r$).
إذا كان لكثيرة حدود ذات معاملات حقيقية جذر 2 + 3i، فلا بد أن يكون لها أيضًا جذر 2 − 3i.
كثيرات الحدود ذات المعاملات الحقيقية تمتلك دائمًا جذور غير حقيقية في أزواج مرافقة.
لقد فهمت الأمر
- $z = x + iy$، $i^2 = -1$؛ مترافق $z^* = x - iy$؛ مقياس $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$
- ارسم على مخطط أرغاند؛ الصيغة القطبية $z = re^{i\theta}$
- اقسم بضرب البسط والمقام في مترافق المقام