变换与向量

一个变换(transformation)改变一个形状的位置或大小。原来的是对象而结果是像。有四种类型。当被要求描述一个时,你必须命名类型并给出下面的全部细节。

Reflection

一个反射(reflection)把形状翻过一条对称轴(mirror line)。每个像点与这条线的距离和对象点相同,在另一侧。

• 要描述它,给出对称轴的方程(对于核心,一条水平或竖直的线;拓展允许任何线,例如 $y = x$)。

Worked example. 把点 $(3, 2)$ 在 $y$ 轴反射。只有 $x$ 的符号改变:像是 $(-3, 2)$。(在 $x$ 轴它会是 $(3, -2)$。)

Rotation

一个旋转(rotation)把形状绕一个固定的点、旋转的中心(centre)、转动 $90^{\circ}$ 的倍数。

• 要描述它,给出中心、角度和方向(顺时针或逆时针)。

Worked example. 把 $(3, 1)$ 绕原点逆时针旋转 $90^{\circ}$。规则是 $(x, y) \to (-y, x)$,所以像是 $(-1, 3)$。

Enlargement

一个放大(enlargement)以一个比例因子(scale factor)$k$ 改变大小,从一个固定中心测量。从中心的每个距离乘以 $k$。

• 要描述它,给出中心和比例因子。一个分数的比例因子(在 0 和 1 之间)使形状变得更小。对于拓展,$k$ 还可能是负的(像出现在中心的另一侧)。

Worked example. 把 $(1, 2)$ 从原点以比例因子 $2$ 放大。两个坐标都乘:像是 $(2, 4)$。

Translation

一个平移(translation)不转动地滑动形状,以一个写成列向量(column vector)$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ 的向量(vector)($x$ 横向,$y$ 纵向)。

Worked example. 把 $(5, 3)$ 平移 $\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$:向左 $2$ 和向上 $4$ 移动得到 $(3, 7)$。

(拓展: 一个问题可能要求你组合两个变换并描述有相同效果的单个变换。)

一个向量既有大小又有方向。它能被写成一个列向量、作为 $\overrightarrow{AB}$(从 $A$ 到 $B$),或以粗体作为 $\mathbf{a}$。

• 通过分别对上部和底部的数处理来加或减。
• 通过把两个数都乘来乘以一个标量(scalar)(一个普通的数)。

Worked example. 若 $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ 而 $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$,那么

一个向量的模(magnitude)(长度)用勾股定理求出。对于 $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$,

Worked example. $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ 的模是 $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$。

一个向量能被画成一条有向线段(directed line segment)(一个箭头)。一个点的位置向量(position vector)是从原点 $O$ 到那个点的向量。

一个关键的思想:从 $A$ 到 $B$ 的向量是

其中 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 是 $A$ 和 $B$ 的位置向量。

两个向量平行(parallel)若一个是另一个的一个标量倍(例如 $\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{CD}$)。三个点共线(collinear)(在一条直线上)若它们之间的向量平行并共享一个点。你能用两个共面(coplanar)向量表示任何向量。

Worked example. $O$ 是原点,$\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ 而 $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$。$M$ 是 $AB$ 的中点。用 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 求 $\overrightarrow{OM}$。

• 完全描述每个变换:一个平移(一个向量)、一个反射(对称轴)、一个旋转(中心、角度和方向)、一个放大(中心和比例因子)。
• 一个负比例因子把像通过中心上下颠倒;一个分数的(在 0 和 1 之间)使它更小。
• 首尾相接地加向量——加上部的数、然后底部的数。一个向量的模来自对它分量的勾股定理。
• $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$(终点减起点)。两个向量平行若一个是另一个的一个标量倍。