本讲义涵盖主题 7,变换和向量(Transformations and vectors)。标记 (Extended) 的部分只在拓展卷上考查;其他一切对两个层次都适用。向量作为一个整体主题是拓展。
变换与向量
IGCSE 数学 · 第 7 主题
7.1
变换
大纲
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Recognise, describe and draw the following transformations: | Questions will not involve combinations of transformations. A ruler must be used for all straight edges. |
| 1 Reflection of a shape in a vertical or horizontal line. | |
| 2 Rotation of a shape about the origin, vertices or midpoints of edges of the shape, through multiples of 90°. | |
| 3 Enlargement of a shape from a centre by a scale factor. | Positive and fractional scale factors only. |
| 4 Translation of a shape by a vector $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. |
| Transformations | Notes and examples |
|---|---|
| Recognise, describe and draw the following transformations: | Questions may involve combinations of transformations. A ruler must be used for all straight edges. |
| 1 Reflection of a shape in a straight line. | |
| 2 Rotation of a shape about a centre through multiples of 90°. | |
| 3 Enlargement of a shape from a centre by a scale factor. | Positive, fractional and negative scale factors may be used. |
| 4 Translation of a shape by a vector $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. |
来源:剑桥国际大纲
一个变换(transformation)改变一个形状的位置或大小。原来的是对象而结果是像。有四种类型。当被要求描述一个时,你必须命名类型并给出下面的全部细节。
Reflection
一个反射(reflection)把形状翻过一条对称轴(mirror line)。每个像点与这条线的距离和对象点相同,在另一侧。
- 要描述它,给出对称轴的方程(对于核心,一条水平或竖直的线;拓展允许任何线,例如 $y = x$)。
Worked example. 把点 $(3, 2)$ 在 $y$ 轴反射。只有 $x$ 的符号改变:像是 $(-3, 2)$。(在 $x$ 轴它会是 $(3, -2)$。)
Rotation
一个旋转(rotation)把形状绕一个固定的点、旋转的中心(centre)、转动 $90^{\circ}$ 的倍数。
- 要描述它,给出中心、角度和方向(顺时针或逆时针)。
Worked example. 把 $(3, 1)$ 绕原点逆时针旋转 $90^{\circ}$。规则是 $(x, y) \to (-y, x)$,所以像是 $(-1, 3)$。
Enlargement
一个放大(enlargement)以一个比例因子(scale factor)$k$ 改变大小,从一个固定中心测量。从中心的每个距离乘以 $k$。
- 要描述它,给出中心和比例因子。一个分数的比例因子(在 0 和 1 之间)使形状变得更小。对于拓展,$k$ 还可能是负的(像出现在中心的另一侧)。
Worked example. 把 $(1, 2)$ 从原点以比例因子 $2$ 放大。两个坐标都乘:像是 $(2, 4)$。
Translation
一个平移(translation)不转动地滑动形状,以一个写成列向量(column vector)$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ 的向量(vector)($x$ 横向,$y$ 纵向)。
Worked example. 把 $(5, 3)$ 平移 $\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$:向左 $2$ 和向上 $4$ 移动得到 $(3, 7)$。
(拓展: 一个问题可能要求你组合两个变换并描述有相同效果的单个变换。)
探索
Transforming a shape
Translate, reflect, rotate or enlarge the shape and watch where it lands.
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| transformation | 变换 | biàn huàn |
| reflection | 反射 | fǎn shè |
| mirror line | 对称轴 | duì chèn zhóu |
| rotation | 旋转 | xuán zhuǎn |
| centre | 中心 | zhōng xīn |
| enlargement | 放大 | fàng dà |
| scale factor | 比例因子 | bǐ lì yīn zi |
| translation | 平移 | píng yí |
| vector | 向量 | xiàng liàng |
| column vector | 列向量 | liè xiàng liàng |
7.2
二维向量
大纲
| Vectors in two dimensions | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Describe a translation using a vector represented by $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AB}$ or $\mathbf{a}$. | Vectors will be printed as $\overrightarrow{AB}$ or $\mathbf{a}$. |
| 2 Add and subtract vectors. | |
| 3 Multiply a vector by a scalar. |
来源:剑桥国际大纲
一个向量既有大小又有方向。它能被写成一个列向量、作为 $\overrightarrow{AB}$(从 $A$ 到 $B$),或以粗体作为 $\mathbf{a}$。
- 通过分别对上部和底部的数处理来加或减。
- 通过把两个数都乘来乘以一个标量(scalar)(一个普通的数)。
Worked example. 若 $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ 而 $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$,那么
$$\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}, \qquad 3\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \end{pmatrix}.$$
探索
Adding vectors
Drag two vectors and add them tip to tail to get the resultant.
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| scalar | 标量 | biāo liàng |
7.3
向量的模
大纲
| Magnitude of a vector | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate the magnitude of a vector $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ as $\sqrt{x^2 + y^2}$. | The magnitudes of vectors will be denoted by modulus signs, e.g. • $|\mathbf{a}|$ is the magnitude of $\mathbf{a}$ • $|\overrightarrow{AB}|$ is the magnitude of $\overrightarrow{AB}$. |
来源:剑桥国际大纲
一个向量的模(magnitude)(长度)用勾股定理求出。对于 $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$,
$$\left| \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}.$$
Worked example. $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ 的模是 $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$。
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| magnitude | 模 | mó |
7.4
向量几何
大纲
| Vector geometry | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Represent vectors by directed line segments. | |
| 2 Use position vectors. | |
| 3 Use the sum and difference of two or more vectors to express given vectors in terms of two coplanar vectors. | |
| 4 Use vectors to reason and to solve geometric problems. | Examples include: • show that vectors are parallel • show that 3 points are collinear • solve vector problems involving ratio and similarity. |
来源:剑桥国际大纲
一个向量能被画成一条有向线段(directed line segment)(一个箭头)。一个点的位置向量(position vector)是从原点 $O$ 到那个点的向量。
一个关键的思想:从 $A$ 到 $B$ 的向量是
$$\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a},$$
其中 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 是 $A$ 和 $B$ 的位置向量。
两个向量平行(parallel)若一个是另一个的一个标量倍(例如 $\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{CD}$)。三个点共线(collinear)(在一条直线上)若它们之间的向量平行并共享一个点。你能用两个共面(coplanar)向量表示任何向量。
Worked example. $O$ 是原点,$\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ 而 $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$。$M$ 是 $AB$ 的中点。用 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 求 $\overrightarrow{OM}$。
$$\overrightarrow{OM} = \mathbf{a} + \tfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \mathbf{a} + \tfrac{1}{2}(\mathbf{b} - \mathbf{a}) = \tfrac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b}).$$
探索
Vector geometry
resultant = a + b
Combine vectors to reach a point — the resultant is the direct route.
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| directed line segment | 有向线段 | yǒu xiàng xiàn duàn |
| position vector | 位置向量 | wèi zhì xiàng liàng |
| parallel | 平行 | píng xíng |
| collinear | 共线 | gòng xiàn |
| coplanar | 共面 | gòng miàn |
7.4
考试技巧
- 完全描述每个变换:一个平移(一个向量)、一个反射(对称轴)、一个旋转(中心、角度和方向)、一个放大(中心和比例因子)。
- 一个负比例因子把像通过中心上下颠倒;一个分数的(在 0 和 1 之间)使它更小。
- 首尾相接地加向量——加上部的数、然后底部的数。一个向量的模来自对它分量的勾股定理。
- $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$(终点减起点)。两个向量平行若一个是另一个的一个标量倍。
本主题的互动课程
逐步学习,并即时检测练习。