IGCSE 数学

你必须知道不同种类数的词。考官为正确使用它们给分。

Counting numbers and integers

• 自然数(natural numbers)——计数的数 $1, 2, 3, 4, \dots$
• 整数(integers)——整的数,正的、负的或零:$\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$

Factors and multiples

• 一个数的因数(factor)整除它,不留余数(remainder)。$18$ 的因数是 $1, 2, 3, 6, 9, 18$。
• 一个数的倍数(multiple)是那个数乘以一个整数。$6$ 的倍数是 $6, 12, 18, 24, \dots$
• 两个数的一个公因数(common factor)是两者的一个因数。
• 两个数的一个公倍数(common multiple)是两者的一个倍数。

Prime, square and cube numbers

• 一个质数(prime number)恰好有两个因数:$1$ 和它自身。最先的质数是 $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$ 注意 $1$ 不是质数。
• 一个平方数(square number)是一个整数乘以它自身:$1, 4, 9, 16, 25, \dots$
• 一个立方数(cube number)把一个整数用三次:$1, 8, 27, 64, \dots$

Rational, irrational and reciprocal

• 一个有理数(rational number)能被写成两个整数的一个分数(fraction)$\frac{a}{b}$。例子:$\frac{3}{4}$、$5$、$0.7$。
• 一个无理数(irrational number)不能这样写。例子:$\pi$ 和 $\sqrt{2}$。
• 一个数的倒数(reciprocal)是 $1$ 除以那个数。$4$ 的倒数是 $\frac{1}{4}$;$0.25$ 的倒数是 $4$;$\frac{2}{3}$ 的倒数是 $\frac{3}{2}$。

Prime factors, HCF and LCM

$1$ 以上的每个整数是质数,或能被写成质数的一个乘积(product)。要把一个数写成它的质因数(prime factors)的乘积,不断除以合适的最小质数。

Worked example. 把 $72$ 写成它的质因数的乘积。

两个数的最大公因数(HCF)(highest common factor)是它们共享的最大因数。最小公倍数(LCM)(lowest common multiple)是它们共享的最小倍数。质因数给出一个快速的方法。

Worked example. 求 $72$ 和 $120$ 的 HCF 和 LCM。

先把每个写成质数的乘积:

• HCF:取在两者中出现的每个质数的最低幂:$2^{3} \times 3 = 24$。
• LCM:取出现的每个质数的最高幂:$2^{3} \times 3^{2} \times 5 = 360$。

一个集合(set)是对象的一个搜集。集合里的每个对象是集合的一个元素(element)。你应当知道这个记号:

一个维恩图(Venn diagram)把每个集合画成一个矩形(全集)里的一个圆。核心用两个集合;拓展可能用三个。

Worked example. $\mathscr{E} = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$,$A = \{\text{even numbers}\}$,$B = \{\text{multiples of } 3\}$。

• $A = \{2,4,6,8,10\}$ 而 $B = \{3,6,9\}$。
• $A \cap B = \{6\}$ ——在两者里的唯一的数。
• $A \cup B = \{2,3,4,6,8,9,10\}$ ——在任一集合里的数。
• $n(A \cup B) = 7$。

你也可能看到一个集合被写成一个规则,例如 $C = \{x : 1 \leqslant x \leqslant 5\}$ 意思是"所有使得 $1 \leqslant x \leqslant 5$ 的值 $x$"。

• 一个幂(power)(也叫一个指数(index),复数 indices)显示把一个数乘以它自身多少次:$2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$。
• 一个数的一个平方根(square root)在平方时给出那个数:$\sqrt{169} = 13$,因为 $13^{2} = 169$。
• 一个立方根(cube root)对立方以同样的方式起作用:$\sqrt[3]{8} = 2$,因为 $2^{3} = 8$。

你应当能够回忆从 $1^2$ 到 $15^2$ 的平方(和它们的根),以及 $1, 2, 3, 4, 5$ 和 $10$ 的立方。

Worked example. 算出 $5^{2} \times \sqrt[3]{8}$。

当你乘或除同底数(same base)的幂时,用这些规则:

一些特殊的幂:

(像 $a^{\frac{m}{n}}$ 这样的分数幂是拓展(Extended)。)

Worked examples.

• $2^{-3} \times 2^{4} = 2^{-3+4} = 2^{1} = 2.$
• $(2^{3})^{2} = 2^{6} = 64.$
• $2^{3} \div 2^{4} = 2^{3-4} = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}.$
• $7^{-2} = \dfrac{1}{7^{2}} = \dfrac{1}{49}.$
• $81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9.$
• $8^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{8^{\frac{2}{3}}} = \dfrac{1}{\left(\sqrt[3]{8}\right)^{2}} = \dfrac{1}{2^{2}} = \dfrac{1}{4}.$

科学记数法(standard form)把一个数写成 $A \times 10^{n}$,其中 $1 \leqslant A < 10$ 而 $n$ 是一个整数。它用于非常大或非常小的数。

要转换,数小数点移动多少位:

• $4\,500\,000 = 4.5 \times 10^{6}$ ——点向左移 $6$ 位,所以幂是正的。
• $0.00072 = 7.2 \times 10^{-4}$ ——点向右移 $4$ 位,所以幂是负的。

Worked example. 算出 $(3 \times 10^{5}) \times (2 \times 10^{-2})$。

乘前面的数并加幂:

一个根式(surd)是一个无理的根,例如 $\sqrt{5}$。把它留在精确形式而不是舍入。两条有用的规则:

通过取出最大的平方因数来化简一个根式。

Worked example. 化简 $\sqrt{20}$ 和 $\sqrt{200} - \sqrt{32}$。

分母有理化(rationalise the denominator)意味着从一个分数的底部(分母(denominator))移除一个根式。把上部和底部乘以一个清除根式的值。

Worked example. 有理化 $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$ 和 $\dfrac{1}{-1+\sqrt{3}}$。

一个分数有一个分子(numerator)(上部)和一个分母(denominator)(底部)。

• 真分数(proper fraction):分子小于分母,例如 $\frac{3}{4}$。
• 假分数(improper fraction):分子相同或更大,例如 $\frac{7}{4}$。
• 带分数(mixed number):一个整数加一个分数,例如 $1\frac{3}{4}$。

在假分数和带分数之间转换:$\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$,因为 $7 \div 4 = 1$ 余 $3$。

一个小数(decimal)在一个点之后使用位值。一个百分比(percentage)意味着"每 $100$ 中",所以 $37\% = \frac{37}{100} = 0.37$。

Converting between forms

通过把上部和底部除以它们的 HCF 把一个分数写成它的最简形式(simplest form):$\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$(两者都除以 $6$)。

Recurring decimals (Extended)

一个循环小数(recurring decimal)永远重复相同的数字。点标记重复的部分:$0.1\dot{7} = 0.1777\ldots$ 而 $0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123\ldots$

要把一个循环小数变成一个分数,乘以使重复的部分对齐,然后相减。

Worked example. 把 $0.1\dot{7}$ 写成一个分数。

令 $x = 0.1777\ldots$ 只有 $7$ 重复,所以用 $10x$ 和 $100x$:

Order of operations

按这个顺序做——运算顺序(order of operations):先括号、然后指数(幂和根)、然后乘和除(从左到右)、然后加和减(从左到右)。

Worked example. 算出 $-6 \times -3 + 7 \times 2$。

先做乘法:$-6 \times -3 = 18$ 而 $7 \times 2 = 14$。然后加:$18 + 14 = 32$。

Negative numbers

• 加一个负数:$5 + (-3) = 5 - 3 = 2$。
• 减一个负数:$5 - (-3) = 5 + 3 = 8$。
• 乘或除:相同的符号给出一个正数;不同的符号给出一个负数。所以 $-6 \times -3 = 18$ 但 $-12 \div 4 = -3$。

温度从 $-5\,{}^{\circ}\text{C}$ 到 $3\,{}^{\circ}\text{C}$ 的一个变化是 $8\,{}^{\circ}\text{C}$ 的一次上升。

Calculating with fractions

• 乘: 乘上部、乘底部:$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$。
• 除: 乘以第二个分数的倒数:$\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$。
• 加或减: 用一个公分母(底部的 LCM)。

Worked example. 算出 $1\frac{7}{15} - \frac{4}{5}$,以最简形式给出答案。

把带分数变成一个假分数,然后用分母 $15$:

用这些符号按大小(magnitude)(尺寸)比较数:

要把一个混合列表按顺序排列,先把每个值变成一个小数。

Worked example. 把 $34\%$、$\frac{1}{3}$ 和 $\frac{3}{10}$ 按顺序排列,最小的在先。

作为小数:$34\% = 0.34$,$\frac{1}{3} = 0.333\ldots$,$\frac{3}{10} = 0.3$。所以顺序是

求一个数额的一个百分比。 $\$80$ 的 $15\% = 0.15 \times 80 = \$12$。

把一个数额写成另一个的一个百分比。 $25$ 中 $18$ 的分数是 $\frac{18}{25} \times 100\% = 72\%$。

百分比增加或减少用

Worked example. 一个价格从 $\$40$ 上升到 $\$50$。求百分比增加。

变化是 $\$10$,所以 $\frac{10}{40} \times 100\% = 25\%$ 增加。

一个快速的方式是一个乘数(multiplier)。要增加 $15\%$,乘以 $1.15$;要减少 $15\%$,乘以 $0.85$。

Simple and compound interest

利息(interest)是为借款或为储蓄而付的钱。本金(principal)是起始数额。

• 单利(simple interest)每年付相同的数额,只在本金上算出:
  $$I = \frac{P \times r \times t}{100},$$
  其中 $P$ 是本金、$r$ 是每年的利率(作为一个百分比)而 $t$ 是年数。
• 复利(compound interest)加上每年的利息,所以下一年在一个更大的总额上赚利息:
  $$\text{final value} = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^{t}.$$

Worked example. 求以 $4\%$ 复利储蓄 $3$ 年的 $\$500$ 的值。

Reverse percentages (Extended)

一个逆百分比(reverse percentage)问题给出一次变化之后的数额,并问原来的。要解它,除以乘数——不要只是把百分比减掉。

Worked example. 一件外套在一次 $20\%$ 增加后值 $\$60$。求原来的价格。

$\$60$ 是原来的 $120\%$,所以原来的价格是 $60 \div 1.2 = \$50$。

当一个量在每个时间段里以相同的百分比变化时,它显示指数增长(exponential growth)(它变得更大)或指数衰减(exponential decay)(它变得更小)。用复利公式。折旧(depreciation),其中像一辆车这样的东西每年丧失价值,是衰减。

Worked example. 一辆值 $\$20\,000$ 的车每年丧失它价值的 $15\%$。求它 $4$ 年后的值。

乘数是 $0.85$,所以

一个比(ratio)比较量,像 $a:b$ 这样写。像一个分数一样通过除以 HCF 化简它:$20:30:40 = 2:3:4$。

按一个比划分。 按比 $3:5$ 分享 $\$48$。

总份数是 $3 + 5 = 8$。一份是 $48 \div 8 = \$6$。所以各份是 $3 \times 6 = \$18$ 和 $5 \times 6 = \$30$。

比例(proportion)意味着两个比相等。把它用于食谱、地图比例尺(scales)和寻找最佳价值。

Worked example. $3$ 支笔值 $\$1.80$。求 $7$ 支笔的成本。

一支笔值 $1.80 \div 3 = \$0.60$。所以 $7$ 支笔值 $7 \times 0.60 = \$4.20$。

一个比率(rate)比较两个以不同单位衡量的量,例如每千克的价格,或每小时的距离。

平均速度(average speed)用

Worked example. 一个骑车者在 $3$ 小时 $45$ 分钟里行驶 $45\text{ km}$。求平均速度。

先把时间变成小时:$3$ h $45$ min $= 3.75$ h。然后

其他比率以同样的方式起作用。密度(density)从质量(mass)和体积(volume)求出:

其他例子是流量、燃料消耗和人口密度(population density)。若一个比率需要一个特殊公式(例如压强(pressure)),问题会把它给你。

Rounding

• 小数位(d.p.)(decimal places):在点之后数的数字。$3.14159$ 到 $2$ d.p. 是 $3.14$。
• 有效数字(s.f.)(significant figures):从第一个非零数字数起的数字。$5764$ 到 $1$ s.f. 是 $6000$;$0.004067$ 到 $2$ s.f. 是 $0.0041$。

规则:看下一个数字。若它是 $5$ 或更多,向上舍入;若它更少,向下舍入。

Estimation

要估算(estimate)一个答案,把每个数舍入到 $1$ s.f.,然后计算。

Worked example. 估算 $\dfrac{41.3}{9.79 \times 0.765}$。

一个舍入的值真的可能是任何舍入到它的东西。最小可能的值是下界(lower bound);最大的是上界(upper bound)。对于一个舍入到最近单位的值,界限位于每一侧半个单位处。

Worked example. 一个高度 $h$ 是 $635\text{ m}$,准确到最近的米。给出界限。

所以下界是 $634.5\text{ m}$ 而上界是 $635.5\text{ m}$。

Bounds in calculations (Extended)

组合界限以得到你想要的界限。

Worked example. 一个矩形是 $8\text{ cm}$ 乘 $5\text{ cm}$,每条边到最近的 cm。求最大可能的面积(area)。

用两条边的上界:$8.5 \times 5.5 = 46.75\text{ cm}^{2}$。(最小面积用下界:$7.5 \times 4.5 = 33.75\text{ cm}^{2}$。)

对于一个相除的量,例如 $\text{speed} = \dfrac{\text{distance}}{\text{time}}$,最大速度来自最大距离除以最小时间。

• $60$ 秒 $= 1$ 分钟,$60$ 分钟 $= 1$ 小时,$24$ 小时 $= 1$ 天,而 $1$ 年 $= 365$ 天。
• 24 小时制把一个时间写成四个数字:下午 $3.15$ 是 $15\,15$。

Worked example. 一部电影在 $19\,35$ 开始并持续 $70$ 分钟。求它结束的时间。

$70$ min $= 1$ h $10$ min。加 $1$ 小时给出 $20\,35$;加 $10$ 分钟给出 $20\,45$。

对于时刻表和时区(time zone)问题,加上或减去各地之间的时差。

把钱作为普通小数处理,但给出到 $2$ d.p. 的答案(所以 $\$4.8$ 写成 $\$4.80$)。

货币换算。 把汇率(exchange rate)用作一个乘数。

Worked example. 汇率是 $\$1 = €0.92$。把 $\$150$ 换算成欧元,并把 $€138$ 换算回美元。

• 不要在一个计算的中途舍入。保留完整的值,只舍入最终答案。
• 把时间输入为一小时的一个小数:$2$ 小时 $30$ 分钟是 $2.5$ 小时,不是 $2.30$。
• 在上下文里读显示:在钱里,$4.8$ 意味着 $\$4.80$;在时间里,$3.25$ 小时意味着 $3$ 小时 $15$ 分钟。

• 按顺序遵循 BIDMAS(括号、指数、除/乘、加/减),并记住一个负数乘一个负数是正的。
• 在科学记数法里前面的数在 1 和 10 之间;一个小的数(像 $0.0004$)有一个负的 10 的幂。
• 一个百分比变化在原来的数额上算出。对于一个逆百分比,除以乘数(例如 $\div 1.2$ 撤销一个 $20\%$ 的上升)。
• 不要在中途舍入——保留完整的值,只在最后舍入,到问题要求的准确度(小数位或有效数字)。
• 对于准确度的界限,一个舍入到最近整数的值能是每一侧最多 $0.5$(所以 $8$ 意味着 $7.5 \le x < 8.5$)。

在代数(algebra)里我们用字母代表数。一个值能变化的字母是一个变量(variable)。代入(substitute)意味着把一个数放在一个字母的位置。

Worked example. 当 $x = 4$ 和 $y = 5$ 时求 $3x^{2} - 2y$ 的值。

一个项(term)是一个表达式(expression)的单个部分,例如 $5a$ 或 $-9b$。同类项(like terms)有恰好相同的字母;你可以加或减它们。字母前面的数是系数(coefficient)。

Worked example. 化简 $2a^{2} + 3ab - 1 + 5a^{2} - 9ab + 4$。

收集同类项:$2a^{2} + 5a^{2} = 7a^{2}$,$3ab - 9ab = -6ab$,$-1 + 4 = 3$。所以答案是

展开(expand)意味着把括号(brackets)乘出来。把里面的每一项乘以外面的项;对于两个括号,把第一个里的每一项乘以第二个里的每一项。

Worked examples.

对于三个括号(拓展(Extended)),先展开两个,然后乘以第三个:

因式分解(factorise)是展开的反面:把表达式写成括号的一个乘积。总是先取出公因式(common factor)。

Worked example. $9x^{2} + 15xy = 3x(3x + 5y)$,因为 $3x$ 整除两项。

下面的模式是拓展(Extended)。

分组(grouping)(四项):从每一对取出一个公因式。

平方差(difference of two squares):$a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$。

完全平方(perfect square):$a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$。

二次(quadratic)表达式 $ax^{2} + bx + c$:找到两个相乘得 $a \times c$ 而相加得 $b$ 的数,然后拆分中间项。

Worked example. 因式分解 $2x^{2} + 7x + 3$。

这里 $a \times c = 6$ 而 $b = 7$。数 $1$ 和 $6$ 起作用。拆分并分组:

对于 $ax^{3} + bx^{2} + cx$,先取出公共的 $x$:$2x^{3} + 7x^{2} + 3x = x(2x^{2} + 7x + 3) = x(x + 3)(2x + 1)$。

配方法(completing the square)把 $x^{2} + bx + c$ 重写为 $(x + p)^{2} + q$。取 $x$ 系数的一半、把它平方,然后平衡。

Worked example. 把 $x^{2} + 6x + 1$ 写成配方形式。

$6$ 的一半是 $3$,而 $3^{2} = 9$:

当 $x^{2}$ 有一个系数时,先把它从前两项取出:

一个分式(algebraic fraction)在上部或底部有代数。用一个公分母加和减;像普通分数一样乘和除。

Worked examples.

要化简一个有理式(rational expression),因式分解上部和底部,然后约去公共的括号。

指数(indices)律对字母也起作用:$a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$,$a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$,而 $(a^{m})^{n} = a^{mn}$。

Worked examples.

你也能通过把两边写成相同的底数(base)来解简单的指数方程。

Worked example. 解 $2^{x} = 32$。因为 $32 = 2^{5}$,你得到 $x = 5$。

一个方程(equation)说两个表达式相等。要解一个一次(linear)方程,对两边做相同的运算直到未知数(unknown)独立。

Worked example. 解 $5 - 2x = 3(x + 7)$。

Fractional equations (Extended)

一个分式方程(fractional equation)在一个分母里有未知数。把两边乘以分母来清除它。

Worked example. 解 $\dfrac{x}{2x + 1} = 4$。

Simultaneous equations

联立方程(simultaneous equations)是一起求解的两个方程。对于两个一次方程,加或减以消去一个字母。

Worked example. 解 $2x + y = 7$ 和 $3x - y = 8$。

相加消去 $y$:$5x = 15$,所以 $x = 3$。然后 $y = 7 - 2(3) = 1$。

对于一个一次和一个二次方程(拓展(Extended)),把一次的代入曲线。

Worked example. 解 $y = x + 2$ 和 $y = x^{2}$。

所以 $x = 2$(给出 $y = 4$)或 $x = -1$(给出 $y = 1$)。

Solving quadratic equations (Extended)

有三个方法。

• 通过因式分解: $x^{2} + 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x + 2)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = -2$ 或 $x = -3$。
• 通过配方法: $x^{2} + 6x + 1 = 0 \Rightarrow (x + 3)^{2} = 8 \Rightarrow x + 3 = \pm 2\sqrt{2} \Rightarrow x = -3 \pm 2\sqrt{2}$。
• 通过求根公式(quadratic formula),它在考试中给出:
  $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}.$$

Worked example (formula). 解 $2x^{2} + 3x - 1 = 0$。这里 $a = 2$,$b = 3$,$c = -1$:

Changing the subject

公式变形(change the subject)一个公式的意味着重新排列它,使一个选定的字母在一边独立。

Worked example. 使 $r$ 成为 $A = \pi r^{2}$ 的主项(拓展(Extended),因为有幂)。

当字母出现两次时(拓展(Extended)),收集那些项并因式分解。要使 $x$ 成为 $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$ 的主项:

一个不等式(inequality)用 $<$、$>$、$\leqslant$ 或 $\geqslant$。像一个方程一样解它,但若你乘以或除以一个负数就反转符号。

Worked example. 解 $-3 \leqslant 3x - 2 < 7$。

对所有部分加 $2$,然后除以 $3$:

在一条数轴(number line)上,对 $<$ 或 $>$ 用一个空心圆(值不被包含),对 $\leqslant$ 或 $\geqslant$ 用一个实心圆(值被包含)。

Regions (Extended)

一个两个字母的不等式描述图像的一个区域(region)。画边界线(对 $<$ 或 $>$ 是断的,对 $\leqslant$ 或 $\geqslant$ 是实的)并给不想要的一侧涂阴影。你也可能被要求列出定义一个给定区域的不等式。

一个数列(sequence)是遵循一个规则的一列数。递推规则(term-to-term rule)告诉你如何从前一项得到下一项。

要找到位置 $n$ 处的项(第 $n$ 个项(term))的规则,看这些项如何变化。

一次数列(linear sequence)(每次这些项上升相同的数额)。差是 $n$ 的倍数。

Worked example. 求 $2, 5, 8, 11, \dots$ 的第 $n$ 项。

这些项上升 $3$,所以从 $3n$ 开始。因为 $3 \times 1 = 3$ 但第一项是 $2$,减 $1$:第 $n$ 项是 $3n - 1$。

二次数列(quadratic sequence)(差本身以相同的数额变化)。二阶差等于 $2 \times$ $n^{2}$ 的系数。

Worked example. 求 $2, 5, 10, 17, \dots$ 的第 $n$ 项。

一阶差是 $3, 5, 7$;二阶差是 $2$,所以 $n^{2}$ 部分是 $1n^{2}$。从数列减去 $n^{2}$($1, 4, 9, 16$)留下 $1, 1, 1, 1$。所以第 $n$ 项是 $n^{2} + 1$。

一个像 $1, 8, 27, 64, \dots$ 这样的三次(cubic)数列有第 $n$ 项 $n^{3}$。一个像 $2, 6, 18, 54, \dots$ 这样的指数数列(exponential sequence)每次乘以一个固定的数;这里第 $n$ 项是 $2 \times 3^{\,n-1}$。

两个量成正比例(direct proportion)若一个总是另一个的一个固定倍数:$y \propto x$ 意味着 $y = kx$,其中 $k$ 是一个常数(constant)。它们成反比例(inverse proportion)若一个随着另一个下降而上升:$y \propto \dfrac{1}{x}$ 意味着 $y = \dfrac{k}{x}$。符号 $\propto$ 读作"与……成比例"。你也能有与一个平方、平方根、立方或立方根成比例。

Worked example. $y$ 与 $x$ 成正比例,而当 $x = 3$ 时 $y = 12$。当 $x = 7$ 时求 $y$。

先求 $k$:$12 = k \times 3$,所以 $k = 4$ 而 $y = 4x$。然后 $y = 4 \times 7 = 28$。

一个图的斜率(gradient)(陡度)显示一个变化率(rate of change)。

• 一个行程图(travel graph)(距离-时间图)有等于速度的斜率;一个平坦的部分意味着物体不在移动。
• 一个换算图(conversion graph)是用于在两个单位之间转换的一条直线(例如,英里和千米)。

Speed–time graphs (Extended)

在一个速度-时间图上斜率是加速度(acceleration)(若速度下降则是减速度(deceleration)),而图下的面积(area)是行驶的距离(distance)。

Worked example. 一辆车在 $8\text{ s}$ 里从静止加速到 $20\text{ m/s}$,然后在 $20\text{ m/s}$ 保持 $12\text{ s}$。求加速度和总距离。

加速度 $= \dfrac{20}{8} = 2.5\text{ m/s}^{2}$。距离是面积:一个三角形加一个矩形,

要画一个图,做一个数值表(table of values):选择 $x$ 的值、算出 $y$,然后描出坐标(coordinates)并用一条光滑的曲线连接它们。

图穿过 $x$ 轴(水平坐标轴(axis))的点是根(roots)——$y = 0$ 的解。

你能通过读一个图来解一个方程。一条线和一条曲线的交点(intersection point)给出两个方程一起的解。

对于指数增长(exponential growth)和指数衰减(exponential decay),$y = a\,b^{x} + c$ 的图越来越快地上升(或下降)并朝一条水平线变平。

一个快速的草图应当显示正确的形状和关键特征:它在哪里穿过坐标轴、任何对称(symmetry),以及曲线接近的任何线。

对于一条抛物线,配方法给出转折点(turning point)(最低或最高的点)。例如 $y = (x + 3)^{2} - 8$ 在 $(-3, -8)$ 处有它的转折点。

一条渐近线(asymptote)是曲线越来越接近但从不触及的一条线——例如,$y = \dfrac{a}{x}$ 的 $x$ 轴,或 $y = a\,r^{x} + b$ 的线 $y = b$。

微分(differentiation)求一条曲线在任何点的斜率。你能通过画一条切线(tangent)(一条恰好触及曲线的线)并测量它的斜率来估计它。

精确的规则:若 $y = ax^{n}$,那么导数(derivative)是

逐项微分一个和。

Worked example. 若 $y = x^{3} + 2x^{2} - 5x$,那么 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3x^{2} + 4x - 5$。

一个驻点(stationary point)(转折点)是斜率为零的地方,所以令 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0$。

Worked example. 求 $y = x^{2} - 6x + 5$ 的转折点。

转折点是 $(3, -4)$。要判定一个转折点是一个最大值(maximum)还是一个最小值(minimum),检查每一侧斜率的符号,或用二阶导数(正的意味着一个最小值)。

一个函数(function)把每个输入变成一个输出。我们写 $f(x)$,例如 $f(x) = 3x - 5$,所以 $f(2) = 1$。允许的输入的集合是定义域(domain);可能的输出的集合是值域(range)。

反函数(inverse function)$f^{-1}(x)$ 撤销函数。要找到它,写 $y = f(x)$、交换角色,并使 $x$ 成为主项。

Worked example. 求 $f(x) = 3x - 5$ 的反函数。

一个复合函数(composite function)一个接一个地应用一个函数:$gf(x)$ 意味着"先做 $f$,然后 $g$"。

Worked example. 若 $f(x) = 2x$ 而 $g(x) = x + 3$,那么

• 当你展开括号时,乘每一项并注意符号,尤其是前面有一个负号时:$-(x - 3) = -x + 3$。
• 要解一个方程,对两边做相同的事。当你把一个不等式乘以或除以一个负数时,翻转符号。
• 完全因式分解:先取出最大公因式,然后寻找一个平方差或一个二次模式。
• 一个二次式通常有两个解——给出两个。检查问题想要因式分解、公式,还是配方法。
• 当代入一个公式时,先把每个值放进括号里,这样符号和幂就出来正确。

图上的一个点由它的坐标(coordinates)描述,有时称为笛卡尔坐标,写成 $(x, y)$。第一个数是横向的值而第二个是纵向的值。

• 这两条数轴是坐标轴(axes):水平(horizontal)$x$ 轴和竖直(vertical)$y$ 轴。
• 它们在原点(origin)相交,点 $(0, 0)$。
• 坐标轴把网格分成四个象限(quadrants)。

所以点 $(3, -2)$ 通过向右 $3$ 和向下 $2$ 找到。

大多数直线能被写成

其中 $m$ 是斜率(gradient)(陡度)而 $c$ 是截距(intercept)——线穿过 $y$ 轴处的 $y$ 值。

• 一条像 $x = k$(例如 $x = 3$)的线是竖直的。
• 一条像 $y = k$(例如 $y = 3$)的线是水平的。

一条线也可能作为 $ax + by = c$ 给出。把它重新排列成 $y = mx + c$ 以读出斜率和截距。

Worked example. 求 $5x + 4y = 8$ 的斜率和 $y$ 截距。

所以斜率是 $-\tfrac{5}{4}$ 而 $y$ 截距是 $2$。

斜率(gradient)衡量一条线有多陡:

一个正斜率向右上升;一个负斜率向右下降。

Worked example. 求过 $(1, 2)$ 和 $(4, 11)$ 的线的斜率。

要画 $y = mx + c$,最快的方式是:

1. 在 $y$ 轴上标记截距 $c$。
2. 用斜率步进到更多的点(对于 $m = 3$,向右 $1$ 和向上 $3$)。
3. 用一条直线连接这些点。

你也能做一个小的数值表(table of values):选择两个或三个 $x$ 值、算出 $y$,并描出这些点。

若你知道斜率 $m$ 和线上的一个点,把这个点放进 $y = mx + c$ 以求 $c$。

Worked example. 一条线有斜率 $3$ 并通过 $(1, 2)$。求它的方程。

所以方程是 $y = 3x - 1$。(若你被给出两个点,先求斜率,然后做这个。)

一条线段(line segment)是两个点之间的直的部分。

要求 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 之间线段的长度(length),对水平和竖直的间隙用勾股定理(Pythagoras' theorem):

要求中点(midpoint)(恰好在中间的点),对坐标取平均:

Worked example. 求从 $(1, 2)$ 到 $(4, 6)$ 的线段的长度和中点。

平行(parallel)线从不相遇,所以它们有相同的斜率。

Worked example. 求平行于 $y = 4x - 1$ 并通过 $(1, -3)$ 的线的方程。

斜率也是 $4$。把点放进去:

所以线是 $y = 4x - 7$。

两条线垂直(perpendicular)若它们以一个直角(right angle)相遇。它们的斜率相乘得 $-1$:

用文字说:翻转分数并改变符号。

Worked example. 求垂直于 $2y = 3x + 1$ 的一条线的斜率。

重新排列:$y = \tfrac{3}{2}x + \tfrac{1}{2}$,所以斜率是 $\tfrac{3}{2}$。垂直斜率是 $-\tfrac{2}{3}$。

Perpendicular bisector

一条线段的垂直平分线(perpendicular bisector)以一个直角把它切成两半。要求它的方程:得到中点,然后用过那个中点的垂直斜率。

Worked example. 求连接 $(-3, 8)$ 和 $(9, -2)$ 的线段的垂直平分线。

• 中点:$\left( \frac{-3 + 9}{2}, \frac{8 + (-2)}{2} \right) = (3, 3)$。
• 线段的斜率:$\frac{-2 - 8}{9 - (-3)} = \frac{-10}{12} = -\tfrac{5}{6}$。
• 垂直斜率:$\frac{6}{5}$。

过 $(3, 3)$:$\; 3 = \tfrac{6}{5}(3) + c \Rightarrow c = 3 - \tfrac{18}{5} = -\tfrac{3}{5}$。所以平分线是

• 直线是 $y = mx + c$:$m$ 是斜率而 $c$ 是线穿过 $y$ 轴的地方。
• 斜率 = ($y$ 的变化) ÷ ($x$ 的变化)。把这两个坐标在上部和底部保持相同的顺序。
• 平行线有相同的斜率;垂直线有相乘得 $-1$ 的斜率(负倒数)。
• 中点是坐标的平均;两个点之间的距离来自对差的勾股定理。

两条线相遇的一个角是一个顶点(vertex)。两条线平行(parallel)若它们从不相遇,而垂直(perpendicular)若它们以一个直角相遇。角按它们的大小命名:

我们用三个字母命名一个角,例如角 $ABC$ 是 $B$ 处的角。

学这些基本事实。每一个在考试中都是一个有效的理由。

• 一个点处的角加起来等于 $360^{\circ}$。
• 一条直线上的角加起来等于 $180^{\circ}$。
• 对顶角(vertically opposite angles)(由两条相交的线构成)相等。

Worked example. 一条直线上的三个角是 $x$、$50^{\circ}$ 和 $70^{\circ}$。求 $x$。

当一条线穿过两条平行线时:

• 同位角(corresponding angles)(在匹配的位置,一个 "F" 形)相等。
• 内错角(alternate angles)(穿过线的相对两侧,一个 "Z" 形)相等。
• 同旁内角(co-interior angles)(一个 "C" 形)加起来等于 $180^{\circ}$;我们说它们互补(supplementary)。

Worked example. 一条直线穿过两条平行线。一个角是 $110^{\circ}$。同旁内角 $y$ 满足 $110 + y = 180$,所以 $y = 70^{\circ}$。

一个三角形(triangle)有三条边和加起来等于 $180^{\circ}$ 的角。

Worked example. 一个三角形有角 $x$、$2x$ 和 $90^{\circ}$。求 $x$。

一个四边形(quadrilateral)有四条边和加起来等于 $360^{\circ}$ 的角。

一个多边形(polygon)是一个有直边的形状。一个正多边形(regular polygon)有所有边和所有角相等。

对于一个有 $n$ 条边的多边形:

每个角处的内角(interior angle)和外角(exterior angle)加起来等于 $180^{\circ}$。

Worked example. 求一个正六边形的每个内角。

外角是 $\dfrac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$,所以每个内角是 $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$。

• 一个形状有轴对称(line symmetry)若一条镜像线把它分成两个匹配的一半。
• 一个形状有旋转对称(rotational symmetry)若在你转动它时它落到它自身上。阶数是它在一个整圈里落上多少次。

对于立体(拓展(Extended)),一个把立体分成镜像两半的平坦切片是一个对称面(plane of symmetry),而你能围绕它旋转的一条线是一条对称轴(axis of symmetry)。

用这些来求未知的角,总是给出理由。

对于两个层次:

• 半圆里的角是 $90^{\circ}$。
• 一条切线和一条半径之间的角是 $90^{\circ}$。

拓展(定理 I):

• 圆心处的角是圆周处角的两倍(站在同一条弧上)。
• 同一弓形里的角相等。
• 一个圆内接四边形(cyclic quadrilateral)的对角加起来等于 $180^{\circ}$。
• 弦切角定理(alternate segment theorem):一条切线和一条弦之间的角等于另一个弓形里的角。

拓展(定理 II): 相等的弦与圆心距离相同;一条弦的垂直平分线通过圆心;从同一个外部点的两条切线长度相等。

Worked example. A、B、C 在一个圆上。圆周处的角 $ABC$ 是 $40^{\circ}$。求圆心 $O$ 处的角 $AOC$。

圆心处的角是圆周处角的两倍:$2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$。

两个形状相似(similar)若一个是另一个的一个放大:相同的角,而所有边乘以相同的比例因子(scale factor)$k$。(尺寸和形状完全相同的形状是全等(congruent)。)

对于相似的形状和立体:

Worked example. 两个相似的立体有比 $2 : 3$ 的长度。较小的有体积 $40\text{ cm}^{3}$。求较大的体积。

体积比是 $2^{3} : 3^{3} = 8 : 27$。所以较大的体积是 $40 \times \dfrac{27}{8} = 135\text{ cm}^{3}$。

一个方位角(bearing)把一个方向作为一个三位数的角给出,从北顺时针(clockwise)测量,从 $000^{\circ}$ 到 $360^{\circ}$。所以正东是 $090^{\circ}$ 而正南是 $180^{\circ}$。

Worked example. $B$ 从 $A$ 的方位角是 $025^{\circ}$。求 $A$ 从 $B$ 的方位角。

返回(反向)方位角相差 $180^{\circ}$:$025^{\circ} + 180^{\circ} = 205^{\circ}$。

• 要从三条给定的边作图(construct)一个三角形,用一把尺子画底边,然后用一副圆规(compasses)把每条其他边标记为一条弧。让作图弧显示出来。
• 一个展开图(net)是一个折叠成一个立体的平坦形状。你能用一个展开图算出表面积。
• 一个比例图(scale drawing)以一个固定的比例更小(或更大)地显示一个真实物体,例如 $1\text{ cm}$ 对 $5\text{ m}$。

常见的几何体(solids)及其部分:

一个立体的一个平坦的边是一个面(face),两个面在一条棱(edge)相遇,而整个外部是它的表面(surface)。

• 一条直线上的角加起来等于 $180°$、一个点周围等于 $360°$,而一个三角形里等于 $180°$。为一道角题的每一步给出一个理由。
• 学圆定理:圆心处的角是圆周处角的两倍;半圆里的角是 $90°$;同一弓形里的角相等;一个圆内接四边形的对角加起来等于 $180°$。
• 任何多边形的外角加起来等于 $360°$,而每个内角 + 它的外角 = $180°$。
• 方位角从北顺时针测量并总是用三位数写(例如 $072°$)。

我们对质量(mass)(g、kg)、长度(length)(mm、cm、m、km)、面积(area)、体积(volume)和容量(capacity)(ml、升——一个容器里面的空间)使用公制(metric)单位。

要换算单位,对平方和立方要小心:

• 长度:$1\text{ m} = 100\text{ cm}$。
• 面积:$1\text{ m}^{2} = 100^{2} = 10\,000\text{ cm}^{2}$。
• 体积:$1\text{ m}^{3} = 100^{3} = 1\,000\,000\text{ cm}^{3}$。
• 容量:$1\text{ litre} = 1000\text{ cm}^{3}$,所以 $1\text{ m}^{3} = 1000$ 升。

Worked example. 把 $3\text{ m}^{2}$ 换算成 $\text{cm}^{2}$。

周长(perimeter)是绕一个形状一整圈的距离。面积是它里面平坦空间的量。这里 $b$ 是底(base)而 $h$ 是垂直高(height)。

Worked example. 一个梯形有平行边 $6\text{ cm}$ 和 $10\text{ cm}$,以及高 $4\text{ cm}$。求它的面积。

对于一个有半径(radius)$r$(和直径(diameter)$d = 2r$)的圆(circle):

圆周(circumference)是绕圆一圈的距离。

Worked example. 一个圆有半径 $7\text{ cm}$。求它的圆周和面积(在答案里保留 $\pi$)。

一个弧(arc)是圆周的一部分。一个扇形(sector)是两条半径之间的一个"披萨片"。若扇形角是 $\theta$,弧和扇形是整个圆的那个分数 $\dfrac{\theta}{360}$:

一个小的片是一个小扇形(minor sector);大的其余是一个大扇形(major sector)。

Worked example. 求一个角 $90^{\circ}$、半径 $8\text{ cm}$ 的扇形的弧长(arc length)和面积。

分数是 $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$,所以