微分方程

一个微分方程(differential equation)把一个函数与它的导数关联。许多真实的情况由一个率描述:"种群以与它的大小成比例的一个率增长"变成 $\dfrac{dP}{dt}=kP$。从一个文字描述设置方程——辨别什么变化以及它与什么成比例——是第一个技能。

一个解(solution)是满足方程的一个函数。要验证一个提出的解,求导它并代入方程,检查两侧一致。一个通解(general solution)包含一个常数 $C$;一个特解(particular solution)从一个条件确定 $C$。

一个斜率场(slope field)在许多点画一个短线段,每个带方程在那里给出的斜率 $\dfrac{dy}{dx}$。它描绘解曲线的族而不求解。要草绘一个,在每个网格点求右侧的值并画一个那个斜率的线段。

一条解曲线跟随这些线段,像一条船跟随一股水流。从一个斜率场你能草绘通过一个给定点的特解、描述长期行为,并定位解在哪里趋平(斜率接近零)——纯粹从图片推理解。

欧拉方法(Euler's method)通过沿着斜率场步进来数值地近似一个解。从一个已知点开始,取一个小步长 $\Delta x$ 并更新:

考试技能: 能够从一张表手工执行两三个欧拉步,并知道欧拉方法根据解的凹凸性低估或高估。

Worked example. 用步长 $\Delta x=0.5$ 为 $\dfrac{dy}{dx}=x+y$、$y(0)=1$ 近似 $y(1)$。第 1 步:$(0,1)$ 处的斜率是 $0+1=1$,所以 $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$。第 2 步:$(0.5,1.5)$ 处的斜率是 $0.5+1.5=2$,所以 $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$。

一个可分离(separable)微分方程能被写成所有 $y$ 在一侧而所有 $x$ 在另一侧,然后积分:

Worked example. 用 $y(0)=2$ 解 $\dfrac{dy}{dx}=xy$。分离,$\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ 给出 $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$,所以 $y=Ae^{x^2/2}$。条件 $y(0)=2$ 给出 $A=2$,所以 $y=2e^{x^2/2}$。

一个初始条件(initial condition)(一个已知点,例如 $y(0)=5$)确定常数 $C$。求通解、代入条件以求 $C$,然后写特解。注意定义域——一个特解只在包含初始点的区间上有效。

方程 $\dfrac{dy}{dt}=ky$ 说变化率与数量成比例——给出指数增长或衰减(exponential growth or decay)。分离变量产生

真实的增长受资源限制,所以逻辑斯蒂模型(logistic model)加上一个环境容纳量(carrying capacity)$L$:

Worked example. 对于 $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$,环境容纳量是 $L=2000$(种群在那里趋平),而增长在 $P=\dfrac{L}{2}=1000$ 时最快——两者都直接从方程读出,不需要求解。

• 通过把所有 $y$ 移到一侧而所有 $x$ 移到另一侧、然后积分两侧(加一次 $+C$)来解一个可分离方程。
• 用初始条件求 $C$(一个特解)。
• 草绘或读一个斜率场:小线段在每个点显示 $\tfrac{dy}{dx}$,而一条解曲线跟随它们。
• 辨认指数模型 $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$(增长/衰减)。
• 一个微分方程给出斜率——你必须积分以恢复函数。