积分与变化的累积

导数衡量一个率,而一个积分(integral)衡量一个累积(accumulation)——从一个率累积起来的一个总量。若一个变化率在一个区间上作用,它的图象和坐标轴之间的面积(area)给出净累积变化。这个"面积 = 总变化"的思想是积分学的基础。

一个黎曼和(Riemann sum)通过加起薄矩形的面积来估计一条曲线下的面积。把 $[a,b]$ 分成子区间并用每个的左端点、右端点或中点处的函数高度。一个梯形法(trapezoidal sum)改用梯形,对两个端点高度取平均——通常更准确。用更多、更薄的矩形,估计改善。

考试技能: 能够从一张表或图象计算左、右、中点和梯形估计,并基于函数是递增/递减还是上凹/下凹陈述每个是高估还是低估。

用求和记号(summation notation)$\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x$ 写一个黎曼和,并让矩形数量无界地增长,给出精确的面积——定积分(definite integral):

一个累积函数(accumulation function)$g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ 给出从 $a$ 到 $x$ 累积的面积。微积分基本定理(FTC)(Fundamental Theorem of Calculus)说它的导数是被积函数:

因为 $g'(x)=f(x)$,$f$ 的图象告诉你关于 $g$ 的一切:$g$ 在 $f>0$ 的地方递增、在 $f<0$ 的地方递减、在 $f$ 穿越零的地方有极值,而在 $f$ 递增的地方上凹。从一个 $f$ 的图象读出这些联系是一个经典的自由回答任务。

定积分遵循有用的规则:反转限使值取负($\int_b^a=-\int_a^b$)、一个零宽度区间上的积分是 $0$、它们在相邻区间上相加($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$),而常数提出。用这些来组合或拆分给定的积分值。

FTC 的求值形式用一个原函数(antiderivative)$F$(其中 $F'=f$)计算一个定积分:

Worked example. $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$:一个原函数是 $F(x)=x^2+x$,所以值是 $F(3)-F(1)=12-2=10$。

一个不定积分(indefinite integral)$\int f(x)\,dx=F(x)+C$ 是所有原函数的族(因此有积分常数(constant of integration)$C$)。反转每个求导规则:幂法则变成 $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$(对 $n\neq-1$),带 $\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C$,而 $e^x$、$\sin x$、$\cos x$ 和 $\sec^2 x$ 的原函数直接来自它们的导数。

u-换元(u-substitution)反转链式法则:选择 $u=g(x)$ 使得 $g'(x)$ 也出现,把 $\int f(g(x))g'(x)\,dx$ 变成 $\int f(u)\,du$。记得把 $dx$ 转换成 $du$,而对于一个定积分,要么把限改成 $u$ 值,要么在最后转换回 $x$。

当一个有理被积函数"头重"(分子次数 $\ge$ 分母次数)时,长除法(long division)把它重写为一个多项式加一个你能积分的真分数。在分母里配方法(completing the square)把它变成一个像 $u^2+a^2$ 的形式,引向一个反正切(arctangent)原函数 $\frac1a\arctan\frac{u}{a}+C$。

分部积分(integration by parts)反转乘积法则:

Worked example. 对于 $\int x e^x\,dx$,选择 $u=x$($du=dx$)和 $dv=e^x\,dx$($v=e^x$):

部分分式(partial fractions)把一个带一个可分解分母的有理函数拆分成更简单分数的一个和:

一个反常积分(improper integral)有一个积分的无穷限或被积函数里的一个无穷间断。把它作为一个极限求值:$\int_a^\infty f\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f\,dx$。若极限是一个有限数积分收敛(converges);否则它发散(diverges)。

Worked example. $\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^b=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1$,所以它收敛到 $1$。相比之下 $\int_1^\infty \frac1x\,dx$ 给出 $\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ 并发散——相同的被积函数形状能走任一条路。

BC 考试期望你辨认哪个方法适合:基本规则、换元(一个链式法则模式)、分部(一个乘积)、部分分式(一个可分解的有理式),或长除法/配方法。能够看一个积分并快速挑选正确的工具本身就是一个被考查的技能。

• 积分是反求导;用幂法则 $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ 并不要忘记 $+C$。
• 基本定理联系这两者:$\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$,而 $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$。
• 用黎曼和或从一张值表的梯形法则近似一个定积分。
• 一个定积分是一个有符号的面积(坐标轴下方算负的);在符号变化处拆分以求总面积。
• 用 u-换元并记得相应地改变限(或反代)。