微分在实际情境中的应用

一旦你能计算导数,你就用它们来描述现实世界。导数 $f'(x)$ 就是 $f$ 相对于它的输入的瞬时变化率。正确地读和报告这个率是一个评分的技能。

单位重要。 $f'(x)$ 的单位是 $f$ 的单位除以 $x$ 的单位。若 $C(t)$ 是英亩数而 $t$ 以周计,那么 $C'(t)$ 以英亩每周计。在考试上,"用正确的单位,解释 $g'(140)$ 的意义"想要一个完整的句子:值、量、率词"每",和时刻。例如:"$g'(140)=2.3$ 意味着在 $x=140$ 处,量以约 $2.3$ 单位每单位 $x$ 增加。"

对于在一条线上移动的一个质点,三个时间的函数由求导联系:

• 位置(position)$s(t)$;
• 速度(velocity)$v(t)=s'(t)$ ——有符号;它的符号给出方向;
• 加速度(acceleration)$a(t)=v'(t)=s''(t)$。

关键的读取(频繁的考试部分):

• 质点在 $v(t)=0$ 时静止(at rest)。
• 它在 $v(t)>0$ 时向右/上移动而在 $v(t)<0$ 时向左/下移动;它在 $v$ 改变符号的地方改变方向。
• 速率(speed)是 $|v(t)|$。速率增加当 $v$ 和 $a$ 有相同符号(质点在加速)时,而减少当它们有相反符号时。

仔细区分速度(有方向)和速率(没有)——考试考查这个确切的差别。

Worked example. 一个质点以 $s(t)=t^3-6t^2+9t$ 移动。那么 $v(t)=3(t-1)(t-3)$,所以它在 $t=1$ 和 $t=3$ 静止并在每个处改变方向。在 $t=2$,$v=-3<0$ 而 $a(2)=6(2)-12=0$;刚过后,$a>0$ 而 $v<0$,所以质点在那里减速。

相同的导数思想为任何变化的量建模:一个排水的水箱、一个扩散的种群、一杯冷却的水。每当一个问题说"……的速率"时,它就在描述一个导数。读单位以知道你有哪个量的率,然后在上下文里解释。

在一个相关变化率(related rates)问题里,几个量随时间一起变化,而你知道一些率但想要另一个。引擎是链式法则:对时间 $t$ 求导一个关系。每个变量变成 $t$ 的一个函数,所以每个导数拿到一个"$\,/\,dt$"因子。乘积和商法则也可能被需要。

一个可靠的程序——以及考试上一个满分的模板:

1. 命名变量并写下给定的率和未知的率(例如"$\dfrac{dh}{dt}=-2$ cm/day,求 $\dfrac{dV}{dt}$")。
2. 写一个方程关联这些量(常常是一个几何或体积公式)。
3. 对 $t$ 求导两侧(链式法则)——在代入数字之前。
4. 在感兴趣的瞬间代入已知值,并解未知的率。
5. 用单位和正确的符号陈述答案(一个减少的量有一个负的率)。

太早代入数字是经典的错误:先求导一般的关系,然后代入。

Worked example. 一个球形气球的体积以 $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$ 增长。从 $V=\tfrac43\pi r^3$,先求导:$\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$。在 $r=5$,$100=4\pi(25)\dfrac{dr}{dt}$,所以 $\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{1}{\pi}\approx0.32\ \text{cm/s}$。

在一个切点附近,一条光滑曲线看起来像它的切线——这是局部线性(local linearity)。所以切线给出函数在那个点附近的一个线性近似(linear approximation)(线性化):

高估还是低估? 答案来自凹凸性(concavity)。若图象在 $a$ 附近上凹(concave up)(它在它的切线上方弯曲),切线值是一个低估(underestimate)。若它下凹(concave down),切线位于曲线上方,给出一个高估(overestimate)。考试部分考查这个推理,所以用 $f''$ 的符号论证。

当极限之商的直接代入给出未定式(indeterminate form)$\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 时,你可以用洛必达法则(L'Hospital's Rule):

Worked example. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$ 给出 $\tfrac00$,所以求导顶部和底部:$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$。而 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}$ 也是 $\tfrac00$;它变成 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2e^{2x}}{1}=2$。

• 在运动问题里:速度是位置的导数、加速度是速度的导数;速率增加当速度和加速度共享一个符号时。
• 对于相关变化率,对时间求导关联方程,然后最后代入给定值。
• 在一个已知点附近用切线做一个线性近似;它只在附近准确。
• 读一个率的符号:正意味着量一起移动,负意味着相反。
• 总是陈述单位并在上下文里解释答案。