微分：定义与基本性质

第 1 单元构建了极限。第 2 单元用它来定义导数(derivative)——一个点处的精确变化率。

在一个区间上,平均变化率是一个差商(difference quotient)。两个等价的形式出现:

第一个用从 $a$ 的一个大小为 $h$ 的步长;第二个用两个点 $x$ 和 $a$。两者都在区间上计算 $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$。

$x=a$ 处的瞬时(instantaneous)变化率是随着区间收缩到零,差商所趋近的。这个极限就是 $a$ 处的导数,写作 $f'(a)$:

只要极限存在。

让点 $a$ 变化,导数就变成一个新函数:

这是导数的定义(有时叫"用定义求导"(by first principles))。它在每个 $x$ 处的值是那里的瞬时变化率。

$y=f(x)$ 导数的常见记号(notations)是:

导数能用图象、数值、解析式和文字表示——准备好在它们之间移动。

几何意义。 一个点处的导数是那里图象的切线(tangent line)的斜率(slope)。所以 $x=a$ 处的切线通过 $\big(a, f(a)\big)$,斜率为 $f'(a)$:

写这条线是一个常规的考试任务,所以把点斜式准备好。

你不总是有一个公式。当一个函数由一张表格(table)或一个图象给出时,用在 $a$ 周围一个小区间上的一个差商估计导数 $f'(a)$。一张在 $a$ 两侧都有值的表给出最好的估计:

技术(一个计算器)也能估计一个点处的一个导数。

考试技能(几乎每年出现)。 像"用 $M$ 在区间 $5 \le t \le 10$ 上的平均变化率近似 $M'(7.5)$"这样的问题正是要求这个差商。展示设置:

满分需要代入数字和正确的单位(units)(每输入单位的输出单位),因为这些来自现实世界的模型。

可导性比连续性更强。关键的关系:

若 $f$ 在一个点可导**(differentiable),那么 $f$ 在那里连续(continuous)。**

所以可导性蕴含连续性。反过来是假的:一个连续函数可以不可导。这发生的两种方式:

• 一个尖点(corner):左和右的差商极限不一致,如 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处。
• 一条垂直切线(vertical tangent):斜率是无穷的(没有实数),如 $f(x)=\sqrt[3]{x}$ 在 $x=0$ 处。

而且,$f$ 定义域之外的一个点不能在 $f'$ 的定义域里。在考试上用逆否命题:若 $f$ 在 $a$ 处不连续,那么 $f$ 在 $a$ 处不可导。

从这里我们每次用规则代替极限定义。幂法则(power rule)处理 $x$ 的任何幂:

它对整数幂、负幂($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$)和根式($\sqrt{x}=x^{1/2}$)都起作用——先重写为一个幂,然后应用规则。

这些规则让你逐项求导:

• 常数: $\dfrac{d}{dx}\,k = 0$(一个常数不变化)。
• 常数倍(constant multiple): $\dfrac{d}{dx}\big[k\,f(x)\big] = k\,f'(x)$。
• 和 / 差: $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big] = f'(x)\pm g'(x)$。

与幂法则结合,它们逐项求导任何多项式(polynomial)。例:

把这四个构建块导数记住:

注意余弦导数上的负号,以及 $e^{x}$ 是它自己的导数。

一个真的是一个导数的极限(LIM-3.A.1)。 有时一个极限秘密地是一个已知导数的定义。若你认出

对于一个你知道导数的函数 $f$,只需求 $f'(a)$。例如,$\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$。

两个函数的一个乘积不通过把导数相乘来求导。用乘积法则(product rule):

"第一个的导数乘第二个,加第一个乘第二个的导数。"例: 考试问题常常从给定的片段构建一个新函数,例如 $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$,并要求你在从一张表读值的同时组合规则。

对于一个商,用商法则(quotient rule):

"底部乘顶部的导数,减顶部乘底部的导数,全都除以底部的平方。"因为负号顺序重要,所以仔细地写分子。例:

其余的三角导数不被分别记忆——你用恒等式(identities)重写它们并应用商(或乘积)法则。例如,$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$,所以商法则给出

相同的方法(写 $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$、$\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$、$\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$)给出 $-\csc^2 x$、$\sec x\tan x$ 和 $-\csc x\cot x$。

高阶导数。 再次对 $f'$ 求导给出二阶导数(second derivative)$f''(x)$(或 $\tfrac{d^2y}{dx^2}$)——变化率的变化率。一个像"求 $k''(3)$"的考试部分只意味着求导两次,然后代入。你也能通过把平均变化率方法应用于 $f'$ 值来从一张表估计一个二阶导数。

Worked example. 用商法则 $\left(\tfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ 求 $g(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ 的导数:取 $u=\sin x$,$v=x$,得 $g'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}$。分子里保持顺序 $u'v-uv'$——交换这两项会翻转符号并丢分。

• 导数是切线的斜率——随着 $h\to0$ 割线斜率 $\tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 的极限。
• 记住规则:幂、乘积、商,以及 $\sin$、$\cos$、$e^x$ 和 $\ln x$ 的导数。
• 可导性蕴含连续性,但反之不然(一个尖点或尖角连续但不可导)。
• 区分平均变化率(一个区间上的割线斜率)和瞬时率(一个点处的导数)。
• 把一个切线方程给成 $y-f(a)=f'(a)(x-a)$。