医学物理

压电效应

一个压电(piezo-electric)晶体在它两端加上电势差时会略微改变形状,反过来也是:当它的形状被改变时,它在自身两端产生一个电动势(electromotive force,e.m.f.)。石英和 PZT 是常见的例子。两个相联系的效应:

• 加一个电势差 → 晶体改变形状(用来产生振动)。
• 改变形状(一个波挤压它)→ 出现一个电动势(用来探测振动)。

压电换能器

一个换能器(transducer)用这个效应既产生又探测 超声波(ultrasound)。

• 一个交流电势差(几 MHz)使晶体以相同的频率振动,发出高于 $20\ \text{kHz}$($1$–$10\ \text{MHz}$ 用于医学成像)的纵波(longitudinal)。
• 同一晶体然后探测:返回的超声波使它振动并产生一个电动势。

产生超声波(三分)。 (1) 在晶体两端加一个交变电势差。(2) 晶体改变形状,以电势差的频率膨胀和收缩,从而振动。(3) 电势差选在晶体的共振频率,所以振动很大,晶体的表面推动组织,发出该频率的纵波。探测超声波(两分)。 返回的波的压强变化改变晶体的形状;形状改变产生电动势,以波的频率交变,被放大并记录。同一晶体兼作两用,在发射和接收之间切换。

所以一个换能器既是发射器又是探测器,在发送和收听之间切换。

脉冲回波成像

要看身体内部(脉冲回波(pulse-echo)成像):

1. 换能器向身体发送一个短脉冲。
2. 在每个组织边界,一部分脉冲被反射,一部分继续前进。
3. 换能器探测每个反射的脉冲。
4. 时间延迟给出深度:$d = c t / 2$(往返)。回波的振幅给出反射的强度。

例题。 一个超声脉冲在发出后 $60\ \mu\text{s}$ 返回换能器。声音在组织中的速率是 $1500\ \text{m s}^{-1}$。求反射边界的深度。

脉冲往返传播,所以 $d = \dfrac{ct}{2}$:

5. 在身体上扫过就建立起一幅二维图像。

在换能器和皮肤之间涂上耦合剂(coupling gel)以挤出空气;没有它几乎所有的超声波都会在皮肤-空气边界反射,从不进入身体。

"概述用超声波获取诊断信息的方法"(四分)。 (1) 换能器用凝胶耦合到皮肤上,向身体发送一个超声脉冲。(2) 在组织之间的每个边界上,一部分脉冲被反射;反射的脉冲返回换能器并被探测。(3) 发射与回波之间的时间延迟,结合声速,给出边界的深度($d = ct/2$)。(4) 回波的强度由边界处声阻抗的变化决定,表明这是什么样的边界。扫动换能器或使用阵列就建立起图像。

为什么用脉冲,为什么用兆赫。 换能器发出一个短脉冲然后倾听:每个边界的回波必须在下一个脉冲发出之前到达,否则不同脉冲的回波无法区分,而且晶体不能同时发射和接收。频率是一种折中:更高的频率意味着更短的波长、更精细的细节(分辨率(resolution)),但衰减更强,所以深部器官需要比浅部更低的频率。典型的医学扫描用 $1$–$15\ \text{MHz}$,在组织中波长不到一毫米。

声阻抗

一种介质的声阻抗(specific acoustic impedance)是

其中 $\rho$ 是密度(density),$c$ 是声速。单位:$\text{kg m}^{-2}\ \text{s}^{-1}$。骨骼有大的 $Z$;空气有小的 $Z$;软组织介于两者之间。

例题。 求软组织的声阻抗。(密度 $1060\ \text{kg m}^{-3}$,声速 $1540\ \text{m s}^{-1}$。)

定义(两分)。 介质的声阻抗是它的密度与其中声速的乘积。 两个量都必须点名;"声音通过的难度"不得分。因为 $Z$ 结合了密度和速度,两种密度差异很大的介质仍可能有相近的 $Z$(水和软组织),决定反射多少声音的是 $Z$,而不是单独的密度。

边界处的反射

在阻抗为 $Z_{1}$ 和 $Z_{2}$ 的介质之间的边界处,强度反射系数(intensity reflection coefficient,被反射的比例)是

• 阻抗差异很大:几乎全部被反射(皮肤/空气——因此用耦合剂)。
• 阻抗很相近:几乎没有被反射,所以看不到边界。
• 成像最佳:差异足够大到给出回波,但又没有大到什么都不能继续前进。

例题(为什么用凝胶)。 空气:密度 $1.29\ \text{kg m}^{-3}$,声速 $343\ \text{m s}^{-1}$。凝胶:$Z = 1.50 \times 10^{6}\ \text{kg m}^{-2}\ \text{s}^{-1}$。软组织:$Z = 1.63 \times 10^{6}\ \text{kg m}^{-2}\ \text{s}^{-1}$。求空气–组织边界和凝胶–组织边界的强度反射系数。

$Z_{\text{air}} = 1.29 \times 343 = 442\ \text{kg m}^{-2}\ \text{s}^{-1}$。空气–组织:$\left(\dfrac{442 - 1.63 \times 10^{6}}{442 + 1.63 \times 10^{6}}\right)^{2} = 0.9989$:$99.9\%$ 的强度被反射,只有 $0.1\%$ 进入身体。凝胶–组织:$\left(\dfrac{1.50 - 1.63}{1.50 + 1.63}\right)^{2} = 0.0017$:只有 $0.2\%$ 被反射。所以阻抗接近皮肤的凝胶取代了本来会几乎全部反射的空气层,几乎全部脉冲进入身体(回波也能沿同一路径回来)。

例题。 水:密度 $1000\ \text{kg m}^{-3}$,声速 $1480\ \text{m s}^{-1}$。玻璃:密度 $2500\ \text{kg m}^{-3}$,声速 $5600\ \text{m s}^{-1}$。在水–玻璃边界处强度的多大比例被反射?

$Z_{\text{water}} = 1.48 \times 10^{6}$,$Z_{\text{glass}} = 1.40 \times 10^{7}\ \text{kg m}^{-2}\ \text{s}^{-1}$。系数 $= \left(\dfrac{1.48 - 14.0}{1.48 + 14.0}\right)^{2} = 0.65$:三分之二被反射,三分之一透射。用 $10^{6}$ 为单位计算保持算术简洁,因为重要的是比值。组织中的钢植入物($Z_{\text{steel}} = 4.7 \times 10^{7}$)给出 $0.87$:几乎全部脉冲从它的表面反射,所以它后面的东西无法成像,但植入物本身显得非常亮。

衰减

当超声波穿过组织时,它的强度随距离下降:

其中 $\mu$ 是衰减系数(attenuation coefficient,单位 $\text{m}^{-1}$)。同样的形式适用于 X 射线。

例题(回波的强度)。 强度为 $I_{0}$ 的脉冲穿过 $4.0\ \text{cm}$、衰减系数 $0.50\ \text{cm}^{-1}$ 的组织到达一个强度反射系数为 $0.010$ 的边界。求返回换能器的回波强度占 $I_{0}$ 的比例。

到边界:$e^{-\mu x} = e^{-0.50 \times 4.0} = 0.135$。反射:$\times 0.010$。再穿回同样的 $4.0\ \text{cm}$:再 $\times 0.135$。回波:$I/I_{0} = 0.135 \times 0.010 \times 0.135 = 1.8 \times 10^{-4}$,约 $0.02\%$。考官检查两点:组织被穿过两次,反射系数乘的是边界处的强度,不是 $I_{0}$。这就是深部边界的回波在显示前比浅部的放大更多的原因。

产生

X 射线来自一个 X 射线管(X-ray tube):

1. 一个加热的阴极(cathode)通过热电子发射(thermionic emission)发射电子。
2. 一个高电势差(几十到几百 kV)使电子穿过真空(vacuum)加速到一个金属靶(target,即阳极(anode),常常是钨(tungsten))。
3. 电子撞击靶并急剧减速。它们大部分动能(kinetic energy)变成热;一小部分作为 X 射线光子(photons)发射(轫致辐射(Bremsstrahlung),"刹车辐射")。一些电子把金属原子的内层电子打出来,重新填充时发射特征(characteristic)X 射线线。

"解释 X 射线是如何产生的"(四分)。 (1) 电子通过热电子发射从加热的灯丝(阴极)发出。(2) 它们在抽真空的管中经高电势差(几十 kV)加速射向金属靶(阳极)。(3) 撞击靶时它们急剧减速,并且 (4) 失去的动能以 X 射线光子的形式发出(其中大部分变成靶中的热,这就是阳极要冷却或旋转的原因)。

控制射线束。 强度(单位面积每秒的能量)由每秒撞击靶的电子数决定,所以由灯丝电流控制(更热的灯丝发出更多电子);硬度(hardness),即穿透能力,由光子能量决定,所以由加速电势差控制:更大的电势差给出能量更高、波长更短、穿透力更强的 X 射线。一块金属滤片除去最软的 X 射线,它们会在患者皮肤中被吸收而到不了探测器。

例题(靶的发热)。 在 $75\ \text{kV}$ 下运行的管中电子束电流为 $30\ \text{mA}$,电子能量的 $99\%$ 变成质量 $15\ \text{g}$ 的钨靶(比热容 $134\ \text{J kg}^{-1}\ \text{K}^{-1}$)中的热。若没有热量损失,求温度上升的速率。

输入功率 $= IV = 0.030 \times 75\,000 = 2250\ \text{W}$;发热功率 $= 0.99 \times 2250 = 2230\ \text{W}$。于是 $mc\,\Delta\theta/\Delta t = 2230$,所以 $\Delta\theta/\Delta t = 2230/(0.015 \times 134) = 1.1 \times 10^{3}\ \text{K s}^{-1}$。靶几秒内就会熔化,这就是曝光很短、阳极旋转以分散热量的原因。

最小波长

一个 X 射线光子能有的最大能量是一个被加速电子的全部动能,在单次事件中损失。对于加速电势差 $V$,动能是 $eV$,所以

这是短波长截止。连续的轫致辐射谱在 $\lambda_{\text{min}}$ 以上拖尾,带由靶金属决定的尖锐特征峰。

例题(最小波长)。 电子经 $75\ \text{kV}$ 加速。求 X 射线的最大光子能量和最小波长。

最大能量 $= eV = 75\ \text{keV} = 75\,000 \times 1.60 \times 10^{-19} = 1.2 \times 10^{-14}\ \text{J}$(或 $0.075\ \text{MeV}$)。于是 $\lambda_{\text{min}} = hc/(eV) = (6.63 \times 10^{-34})(3.00 \times 10^{8})/(1.2 \times 10^{-14}) = 1.7 \times 10^{-11}\ \text{m}$。最大光子动量为 $p = E/c = 4.0 \times 10^{-23}\ \text{N s}$。电势差加倍,最小波长减半。

解释谱的形状。 谱是连续的,因为每个电子可以在一次或几次减速中失去其能量的任意比例,所以产生了直到最大值的每种能量的光子。它在 $\lambda_{\text{min}}$ 处有一个陡的截止,因为一个光子携带的能量不能超过一个电子所具有的 $eV$,而这只在一个电子在单次事件中失去全部能量时发生。峰是靶金属的特征:入射电子把靶原子的一个内层电子撞出,一个外层电子落入空位,发出能量等于两个能级之差的光子(第 22 讲)。

用 X 射线成像

X 射线穿过患者到达一个探测器。衰减(attenuate)更多的组织(骨骼,高 $Z$)投下更强的阴影,看起来更亮;衰减更少的组织(软组织、肺)看起来更暗。

对比度(contrast)是各组织之间衰减的差异。可以给予一种造影剂(contrast medium,例如钡餐)使软组织突显出来。

清晰度与对比度。 清晰度(sharpness)是图像中结构边缘的清楚程度:小的 X 射线源(靶上的小点)、不动的患者和靠近患者的探测器都能改善它。对比度是图像中相邻区域之间变黑程度(或亮度)的差异,由衰减的差异产生。两者相互独立:图像可以清晰但对比度差,或者相反。

"解释为什么内部结构的 X 射线图像有好的对比度。" 骨和软组织的衰减系数差异很大,所以相等的厚度透射的强度非常不同,探测器在各自后面的曝光非常不同。当两种软组织的系数相近时(胃与其周围),就吞服或注射一种高衰减系数的造影剂(如钡)来勾勒其中一种。使用较低的电势差(较软的 X 射线)也能增大对比度,代价是更大的剂量。

例题。 X 射线在身体的一个区域穿过 $3.0\ \text{cm}$ 软组织($\mu = 0.20\ \text{cm}^{-1}$),在另一个区域穿过 $3.0\ \text{cm}$ 骨($\mu = 0.60\ \text{cm}^{-1}$)。比较透射强度。

软组织:$I/I_{0} = e^{-0.20 \times 3.0} = e^{-0.60} = 0.55$。骨:$e^{-0.60 \times 3.0} = e^{-1.80} = 0.17$。软组织区域得到的曝光是骨区域的三倍多,所以骨显白、组织显暗。曝光之比 $e^{(\mu_{\text{bone}} - \mu_{\text{tissue}})x}$ 随厚度增大:结构越厚对比度越好,但总衰减也越大。

衰减定律

能量更高的 X 射线穿透得更远(更小的 $\mu$);骨骼的 $\mu$ 比软组织大得多。要求给定比例所需的厚度,取对数:$x = \dfrac{1}{\mu} \ln\dfrac{I_{0}}{I}$。半值厚度(half-value thickness)$x_{1/2} = \ln 2 / \mu$ 使强度减半(像衰变中的半衰期)。

例题。 X 射线穿过衰减系数 $\mu = 40\ \text{m}^{-1}$ 的 $3.0\ \text{cm}$ 组织。求穿透过去的强度比例。

例题(吸收的百分比)。 X 射线穿过 $2.8\ \text{cm}$、衰减系数 $1.4\ \text{cm}^{-1}$ 的介质。X 射线能量的百分之多少被吸收?

透射比例 $e^{-1.4 \times 2.8} = e^{-3.92} = 0.020$,所以 $98\%$ 被吸收。题目问的是被吸收的,不是透过的:读两遍。这里的半值厚度是 $\ln 2/\mu = 0.50\ \text{cm}$,所以 $2.8\ \text{cm}$ 是 $5.6$ 个半值厚度,$(1/2)^{5.6} = 0.02$ 验证了答案。

例题(两层)。 强度为 $I_{0}$ 的射线束穿过 $2.0\ \text{cm}$ 的材料 P($\mu = 0.35\ \text{cm}^{-1}$),然后穿过 $1.5\ \text{cm}$ 的材料 Q($\mu = 0.90\ \text{cm}^{-1}$)。求透射强度。

指数相乘:$I = I_{0}\, e^{-0.35 \times 2.0}\, e^{-0.90 \times 1.5} = I_{0}\, e^{-(0.70 + 1.35)} = I_{0}\, e^{-2.05} = 0.13\, I_{0}$。把指数相加($\mu_{1}x_{1} + \mu_{2}x_{2}$);决不把厚度或系数相加。各层的顺序对总透射强度没有影响。

计算机断层扫描(CT)

一次计算机断层扫描(computed tomography,CT)建立一幅三维图像:

1. 管和探测器绕患者旋转,从不同角度对一个薄切片拍多幅图像。
2. 一台计算机把这些合成为该切片的一个二维横截面。
3. 患者被移动,对下一个切片成像。
4. 各切片被堆叠成一幅三维图像。

CT 显示的远多于单张 X 射线,因为重叠的软组织被多角度重建分开。

"解释 CT 扫描如何产生三维图像"(五分)。 (1) X 射线管(和一圈探测器)绕患者旋转,使得 (2) 从不同角度拍摄一个切片(截面)的许多 X 射线图像。(3) 计算机把它们合成为该切片的二维图像。(4) 移动患者,对相继的切片重复该过程。(5) 各切片合并成一幅三维图像,可以旋转并从任何角度观看。**目的:**对身体的一个截面成像,避免单张 X 射线中结构的重叠,显示原本被遮挡的结构及其深度位置。代价是比单张 X 射线大得多的剂量。

示踪剂

示踪剂(tracer)是一种放进身体、带放射性原子核的物质。它被所研究的组织更多地吸收(例如肿瘤由于其高代谢(metabolism)吸收更多带葡萄糖标记的示踪剂)。它的衰变从外部被探测。

在正电子发射断层扫描(positron emission tomography,PET)中,示踪剂是一个 $\beta^{+}$ 发射体——它放出一个正电子(positron)。一个常见的是葡萄糖类似物上的氟-18(FDG)。

"解释示踪剂是什么以及如何使用"(三分)。 示踪剂是一种含有放射性核(对 PET 是 $\beta^{+}$ 发射体,如氟-18)的物质,通常结合在葡萄糖这样的分子上,引入身体(注射或吞服),并被所研究的组织吸收;它发出的辐射离开身体并被探测,所以它的分布显示出该组织在哪里活跃。选择半衰期短的核素,使扫描期间活度高而之后患者的剂量小,但又不能短到还没到达组织就衰变完:氟-18($110$ 分钟)和氧-15($2$ 分钟,现场制备现场使用)是典型的。

湮灭

当一个粒子遇到它的反粒子(antiparticle)时它们湮灭(annihilate):它们的质量变成电磁能量。在 PET 中:

• 一个正电子在遇到一个电子(electron)之前传播几毫米。
• 它们湮灭。能量和动量(momentum)守恒。
• 由于总动量约为零,产生两个朝相反方向运动的光子,每个 $511\ \text{keV}$($= m_{e} c^{2}$)。

湮灭光子的能量

由能量守恒,总光子能量等于这一对的静止能量(energy):

每个光子有 $h f = m_{e} c^{2} \approx 8.2 \times 10^{-14}\ \text{J} \approx 0.51\ \text{MeV}$,$\lambda \approx 2.4 \times 10^{-12}\ \text{m}$。

解释湮灭(四分)。 (1) 示踪剂发出的正电子行进一小段距离后遇到组织中的一个电子。(2) 这一对湮灭:它们的质量转化为能量,(3) 以两个伽马射线光子发出,因为 (4) 动量必须守恒:这一对几乎没有动量,所以两个光子必须以相等的动量沿相反方向运动。每个光子携带一个粒子的静止能量 $0.51\ \text{MeV}$;单个光子不能满足动量守恒。

例题。 求一个正电子和一个电子在都缓慢运动时湮灭所释放的总能量,以及每个光子的波长。

$E = 2m_{\text{e}}c^{2} = 2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times (3.00 \times 10^{8})^{2} = 1.64 \times 10^{-13}\ \text{J}$($1.02\ \text{MeV}$),平分:每个 $8.2 \times 10^{-14}\ \text{J}$。$\lambda = hc/E = (6.63 \times 10^{-34})(3.00 \times 10^{8})/(8.2 \times 10^{-14}) = 2.4 \times 10^{-12}\ \text{m}$,一条伽马射线。若电子和正电子各以 $4.9 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$ 反向运动,每个的动能为 $\tfrac{1}{2}mv^{2} = 1.1 \times 10^{-15}\ \text{J}$,约为其静止能量的 $1\%$,光子各携带 $8.3 \times 10^{-14}\ \text{J}$:静止能量占主导,这就是湮灭光子总是能量几乎相同的原因。

重建图像

两个光子朝相反方向离开身体,击中患者周围的探测器环(detector rings)。记录两个同时到达(一次"符合")确定湮灭发生所在的直线。来自多个角度的许多次符合让计算机建立一幅示踪剂的三维图——显示代谢活动高的组织。比较两个到达时间可以细化沿那条直线的位置(飞行时间 PET)。

"解释如何用伽马光子形成图像"(四分)。 (1) 两个光子沿相反方向离开身体,被探测器环探测。(2) (几乎)同时到达的两个光子被认为来自同一次湮灭,因此它位于连接这两个探测器的直线上。(3) 到达时间的微小差异给出沿该直线的位置($d = c\,\Delta t/2$,从中点算起;$1\ \text{ns}$ 的差异对应 $15\ \text{cm}$,所以计时必须非常精确)。(4) 计算机收集许多这样的事件,绘出组织中示踪剂的浓度图,形成图像;浓度更高意味着更活跃的组织,如肿瘤。单独到达的光子(其伙伴在体内被吸收)被舍弃。

定义题按固定措辞评分。准确学会这些,只给一个答案。

• 超声波:脉冲进、回波回;深度 $= ct/2$(去和回);$Z = \rho c$;反射系数由两个阻抗求出;凝胶使阻抗与皮肤匹配。衰减是指数式的,回波穿过组织两次。
• X 射线:产生是加热的灯丝、高电势差、在靶处突然减速;强度由灯丝电流控制,硬度由电势差控制;$\lambda_{\text{min}} = hc/(eV)$;$I = I_{0}e^{-\mu x}$,多层时指数相加;对比度是 $\mu$ 的差异。
• CT:许多角度、一个切片、计算机、相继的切片、三维。五点都要说。
• PET:$\beta^{+}$ 示踪剂,与电子湮灭,两个 $0.51\ \text{MeV}$ 的光子沿相反方向(动量),符合给出直线,计时给出位置。
• 逐字记住三个"解释"答案:晶体如何产生和探测、X 射线如何产生、光子如何定位示踪剂。
• 每个阻抗($\text{kg m}^{-2}\ \text{s}^{-1}$)和系数($\text{cm}^{-1}$ 或 $\text{m}^{-1}$)都要写单位,只有当 $\mu$ 以 $\text{m}^{-1}$ 计时才把 $\text{cm}$ 换成 $\text{m}$。

常见错误

• 在反射边界的深度中忘记因子 2,或在回波强度中忘记第二次穿过组织。
• 把声阻抗定义为"对声音的阻力"而不是密度乘声速。
• 把凝胶–皮肤的反射系数说成"零";它很小,而这正是要点。
• 说电势差控制 X 射线束的强度,或说灯丝电流控制硬度;正好相反。
• 解释最小波长时不说一个电子把全部动能给了单个光子。
• 在应用 $e^{-\mu x}$ 之前把不同材料的厚度相加;应把乘积 $\mu x$ 相加。
• 把 CT 描述成"从几个角度拍的 X 射线"而没有计算机重建、切片或相继的切片。
• 湮灭给出一个光子,或两个同向的光子;动量守恒要求两个反向的光子。
• 混淆示踪剂半衰期的道理:短是为了剂量小,但要长到足以到达组织并完成扫描。