核物理

爱因斯坦的狭义相对论给出那个著名的关系(质能等价(mass-energy equivalence)):

其中 $c = 3.00 \times 10^{8}\ \text{m s}^{-1}$。一个质量 $m$ 对应一个能量(energy)$E$——两者可以相互转化。对于质量变化 $\Delta m$:

例题。 天狼星通过核聚变以 $1.09 \times 10^{11}\ \text{kg s}^{-1}$ 的速率损失质量。求它辐射的功率。

消失的每一千克都以能量的形式离开:$P = c^{2} \times (\text{每秒损失的质量}) = (3.00 \times 10^{8})^{2}(1.09 \times 10^{11}) = 9.8 \times 10^{27}\ \text{W}$。这就是恒星的光度(luminosity,第 25 讲);太阳的光度是 $3.8 \times 10^{26}\ \text{W}$,所以它每秒损失约 $4$ 百万吨。同样的想法反过来:一座以 $1\ \text{GW}$ 运行一年的电站转换的质量为 $E/c^{2} = 3.2 \times 10^{16}/9.0 \times 10^{16} = 0.35\ \text{kg}$,这就是燃料事后重量几乎不变的原因。

在核物理中质量很微小但 $c^{2}$ 极大,所以一个小的质量变化意味着一个大的能量。$1\ \text{u}$($1.661 \times 10^{-27}\ \text{kg}$)的质量变化对应 $\Delta E \approx 1.49 \times 10^{-10}\ \text{J}$。这给出一个你会一再用到的换算:

一个核反应(nuclear reaction)写成像

核子数(nucleon number)守恒(上面的数:$14 + 4 = 17 + 1$)且电荷守恒(下面的数:$7 + 2 = 8 + 1$)——这是电荷守恒(conservation of charge)。用这些来填入一个未知量:辨认出粒子种类,然后配平上下的数。

衰变方程。 α 衰变移走 $^{4}_{2}\text{He}$,所以 $A$ 减 4、$Z$ 减 2:$^{211}_{84}\text{Po} \to {}^{207}_{82}\text{Pb} + {}^{4}_{2}\text{He}$。β⁻ 衰变把一个中子变成质子,放出一个电子和一个反中微子:$^{15}_{6}\text{C} \to {}^{15}_{7}\text{N} + {}^{0}_{-1}\text{e} + \bar{\nu}$($A$ 不变,$Z$ 加 1)。β⁺ 衰变把一个质子变成中子,放出一个正电子(positron)和一个中微子(neutrino):$^{18}_{9}\text{F} \to {}^{18}_{8}\text{O} + {}^{0}_{+1}\text{e} + \nu$($Z$ 减 1)。γ 发射两个数都不改变。在一串衰变中只要记好账:一个核 W 先放出 $\beta^{-}$、再 $\alpha$、再 $\beta^{-}$,最后是 $A - 4$ 和 $Z + 1 - 2 + 1 = Z$,即 W 的同位素。你补全的每个方程都要检查两行,并记住中微子:评分方案包括它。

一个原子核(nucleus)的质量小于它分开的质子(protons)和中子(neutrons)的总质量。这个差是质量亏损(mass defect)$\Delta m$:

由 $E = mc^{2}$,这份"缺失的"质量在原子核形成时作为能量释放了。要把原子核完全拆开,你必须把那份能量放回去——即结合能(binding energy)$B$:

例题。 一个氦-4 原子核有质量亏损 $\Delta m = 0.0304\ \text{u}$。求它的结合能。($1\ \text{u}$ 对应 $931\ \text{MeV}$。)

一个束缚得更紧的原子核有更大的质量亏损和更大的结合能。比结合能(binding energy per nucleon)是 $B/A$(通常以每核子 MeV 计)——每个核子被束缚得多紧的一个量度,对比较核素很有用。

两分定义。 原子核的质量亏损是它分开的核子的总质量与原子核质量之差。 结合能是把原子核分离成各个核子所需的最小能量(等价地,由分开的核子形成原子核时释放的能量)。要说"分开的核子"或"各个质子和中子";"把原子核束缚在一起的能量"不得分。结合能是被释放的,不是储存的:原子核的能量比它的各部分少。

例题。 质量为:质子 $1.007\,276\ \text{u}$,中子 $1.008\,665\ \text{u}$,钋-212 核 $211.945\,4\ \text{u}$。求 $^{212}_{84}\text{Po}$ 的质量亏损和比结合能。

$Z = 84$ 个质子和 $N = 212 - 84 = 128$ 个中子:总计 $84 \times 1.007\,276 + 128 \times 1.008\,665 = 84.611\,2 + 129.109\,1 = 213.720\,3\ \text{u}$。质量亏损 $\Delta m = 213.720\,3 - 211.945\,4 = 1.774\,9\ \text{u}$。结合能 $= 1.774\,9 \times 931.5 = 1653\ \text{MeV}$,所以每核子 $1653/212 = 7.80\ \text{MeV}$,处于曲线的下降段。相减之前保留每一位小数:亏损是两个大数的小差值。

比结合能对核子数

$B/A$ 对 $A$ 的图有一个典型的形状:

• 对于轻核($A < 20$),$B/A$ 迅速上升(在非常稳定的 $^{4}_{2}\text{He}$ 处有一个尖峰)。
• 在 $A \sim 56$(铁)附近,$B/A$ 达到约 $8.8\ \text{MeV}$ 的最大值。铁-56 是最稳定的原子核。
• 对于重核($A > 100$),$B/A$ 缓慢下降,到铀约为 $7.5\ \text{MeV}$。

所以曲线是圆顶形的,上升到铁然后下降。

画曲线。 考试给出空白坐标($A$ 从 1 到 250,$B/A$ 到约 $9\ \text{MeV}$),评分点是:从 $A = 1$ 处接近零陡然上升,在 $A = 56$ 附近达到约 $8.8\ \text{MeV}$ 的最大值,然后缓慢、平缓地下降到 $A = 238$ 处约 $7.5\ \text{MeV}$。不要让曲线恰好从原点开始(氢-1 没有结合能,但只是一个点),不要把下降画得和上升一样陡,也不要让曲线在右侧降到零。被要求标出发生 α 衰变的核时,把 X 放在最右边,$A > 200$;发生聚变的核放在最左边,$A < 10$;两者都在低 $B/A$ 处,反应时沿曲线向上移动。

当原子核朝铁峰移动时——通过连接轻核或分裂重核——能量被释放。

核聚变

核聚变(nuclear fusion)把两个轻核连成一个较重的核:

产物的比结合能比反应物大,所以能量被释放。聚变为恒星提供能量。它需要极高的温度(数百万开尔文),使原子核有足够的动能(kinetic energy)战胜它们的静电(electrostatic)排斥,靠得足够近让强核力(strong nuclear force)接管。

核裂变

核裂变(nuclear fission)把一个重核分成两个较轻的核:

产物的比结合能比 $^{235}$U 高,所以能量被释放。多出的中子可以引起更多的裂变——在足够大的一份燃料(临界质量(critical mass))中形成一个链式反应(chain reaction)。这是核电和核武器的基础。

"描述裂变和聚变的区别。" 裂变:一个重核(大 $A$)分裂成两个质量大致相近的较轻的核,通常在吸收一个中子之后,并释放出更多中子。聚变:两个轻核(小 $A$)结合成一个较重的核;它需要极高的温度和压强来克服核之间的静电斥力。两者都释放能量,但每千克燃料聚变释放得更多。

"参照曲线解释为什么释放能量。" 在两种过程中产物都比反应物处于比结合能曲线的更高处:每个核子最终束缚得更紧,所以总结合能增大。多出的结合能被释放(作为产物的动能和光子),产物的总质量比反应物少 $\Delta E/c^{2}$。靠近峰值(铁)的核用哪种过程都不能释放能量,这就是恒星的聚变止于铁的原因。

计算释放的能量

1. 求反应物的总质量。
2. 求产物的总质量。
3. 质量变化 $\Delta m = m_{\text{reactants}} - m_{\text{products}}$(释放能量时为正)。
4. 释放的能量 $\Delta E = c^{2} \Delta m$。

以 kg 计给出焦耳;以原子质量单位计用 $\Delta E\ (\text{MeV}) = \Delta m\ (\text{u}) \times 931$。

例题。 在一个核反应中总质量减少了 $0.020\ \text{u}$。求释放的能量。

例题(聚变)。 氘 $^{2}_{1}\text{H}$ 的质量亏损为 $0.002\,388\ \text{u}$,氦-4 的为 $0.030\,377\ \text{u}$。求两个氘核聚变成一个氦-4 核时释放的能量。

释放的能量 $=$(产物的结合能)$-$(反应物的结合能)$= [0.030\,377 - 2 \times 0.002\,388] \times 931.5 = 0.025\,601 \times 931.5 = 23.8\ \text{MeV}$($3.82 \times 10^{-12}\ \text{J}$)。质量亏损可以像这样直接使用,因为两边的核子数相同;亏损之差就是被转换的质量。每千克氘这是 $5.7 \times 10^{14}\ \text{J}$,约为化学燃料的一百万倍。

例题(裂变)。 $^{235}_{92}\text{U} + {}^{1}_{0}\text{n} \to {}^{141}_{56}\text{Ba} + {}^{92}_{36}\text{Kr} + 3\,{}^{1}_{0}\text{n}$。质量:U-235 $235.043\,9\ \text{u}$,n $1.008\,665\ \text{u}$,Ba-141 $140.914\,4\ \text{u}$,Kr-92 $91.926\,2\ \text{u}$。求释放的能量。

反应物:$235.043\,9 + 1.008\,665 = 236.052\,6\ \text{u}$。产物:$140.914\,4 + 91.926\,2 + 3 \times 1.008\,665 = 235.866\,6\ \text{u}$。$\Delta m = 0.186\,0\ \text{u}$,所以每次裂变 $\Delta E = 0.186\,0 \times 931.5 = 173\ \text{MeV} = 2.8 \times 10^{-11}\ \text{J}$。数清右边的三个中子和左边的一个:漏掉一个会使答案改变整整一个核子的质量。

例题(α 衰变与动量)。 一个静止的 $^{238}_{92}\text{U}$ 核放出一个 α 粒子衰变为 $^{234}_{90}\text{Th}$;释放的总动能为 $4.27\ \text{MeV}$。求 α 粒子的动能。

动量守恒且母核原来静止,所以 α 与钍核的动量 $p$ 等大反向。由 $E_{\text{K}} = p^{2}/2m$,能量与质量成反比:$E_{\alpha}/E_{\text{Th}} = m_{\text{Th}}/m_{\alpha} = 234/4$。所以 $E_{\alpha} = 4.27 \times 234/238 = 4.20\ \text{MeV}$,钍核的反冲(recoil)只占 $0.07\ \text{MeV}$。给定衰变放出的 α 粒子都具有这一个能量,这是能量只在两个物体之间分配的标志。

例题(放射性电源)。 一个空间探测器由 $0.874\ \text{kg}$ 的钚-238 供电,半衰期 $87.7$ 年,每次衰变释放 $5.59\ \text{MeV}$。求发射时可用的功率。

核的数目:$N = 0.874/(238 \times 1.661 \times 10^{-27}) = 2.21 \times 10^{24}$。衰变常数:$\lambda = 0.693/(87.7 \times 3.156 \times 10^{7}) = 2.50 \times 10^{-10}\ \text{s}^{-1}$。活度:$A = \lambda N = 5.53 \times 10^{14}\ \text{Bq}$。功率 $= A \times E = 5.53 \times 10^{14} \times 5.59 \times 1.60 \times 10^{-13} = 490\ \text{W}$,$87.7$ 年后降到一半。半衰期更短的核素每千克给出更多功率,但撑不完任务;钋-210($138$ 天)起初功率大得多,两年内就没用了。

随机的且自发的

放射性衰变是:

• 自发的(spontaneous)——它在没有外部触发的情况下发生,速率不因温度、压强或化学状态而改变;以及
• 随机的(random)——你无法预测某个原子核何时衰变,只能预测它在一段时间内衰变的概率。

随机性的证据:计数率涨落。一个源旁边的盖革计数器(Geiger counter)以不均匀的间隔咔嗒作响——从不是稳定的一串——尽管长期的平均速率是明确的。

两分定义。 放射性衰变是不稳定原子核自发且随机地放出一个粒子(α 或 β)或一个光子(γ)。 自发意味着衰变不受外界因素影响:温度、压强、化学状态或其他核的存在。随机意味着无法预测哪个核将下一个衰变,或给定的核何时衰变;只能给出概率。随机性的证据:即使源的活度在实验期间没有变化,计数率也在相邻间隔之间涨落。

活度和衰变常数

对于一种放射性核素(radionuclide)的 $N$ 个未衰变原子核,衰变速率是

• $A$ 是活度(activity)——每单位时间的衰变数。单位:贝克勒尔(becquerel,Bq)$= \text{s}^{-1}$。
• $\lambda$ 是衰变常数(decay constant)——一个原子核每单位时间衰变的概率。单位:$\text{s}^{-1}$。

$\lambda$ 对一种核素是固定的;较大的样品(较大的 $N$)有成比例较大的活度。

一分定义。 活度是单位时间内(原子核)衰变的数目,或衰变速率。衰变常数是一个(给定)核在单位时间内衰变的概率。 不是"衰变速率":那是活度。注意单位相同,都是 $\text{s}^{-1}$,但 $A$ 数的是事件,$\lambda$ 是每秒的概率。

例题。 氟-18 的半衰期为 $110$ 分钟。证明它的衰变常数为 $1.05 \times 10^{-4}\ \text{s}^{-1}$,并求 $2.1 \times 10^{-12}\ \text{kg}$ 氟-18 的活度。

$\lambda = 0.693/(110 \times 60) = 1.05 \times 10^{-4}\ \text{s}^{-1}$。核的数目是质量除以一个核的质量:$N = 2.1 \times 10^{-12}/(18 \times 1.661 \times 10^{-27}) = 7.0 \times 10^{13}$。所以 $A = \lambda N = 1.05 \times 10^{-4} \times 7.0 \times 10^{13} = 7.4 \times 10^{9}\ \text{Bq}$。极小的质量给出巨大的活度,因为半衰期短;同样质量的铀-238(半衰期 $4.5 \times 10^{9}$ 年)只会给出约 $10^{-5}\ \text{Bq}$。

指数衰减

由于 $\lambda$ 是分数衰变速率,$\dfrac{dN}{dt} = -\lambda N$,它的解是一个指数衰减(exponential decay):

因为 $A = \lambda N$,活度(以及与它成正比的任何计数率(count rate))以同样的方式衰减:

为什么是指数?对每个原子核,$\lambda$ 是每单位时间的固定概率,与其他原子核和原子核的年龄无关。所以每个时间间隔内衰变相同的分数,这给出指数衰减。

写出解释(三分)。 (1) 衰变常数是衰变的单位时间概率,对该核素的每个核都相同,与年龄无关。(2) 所以衰变速率即活度与存在的未衰变核数成正比:$A = \lambda N$。(3) 变化率与量本身成正比给出指数变化;等价地,在每个相等的时间间隔内剩余核的相同比例衰变,所以数目永远不到零,但每个半衰期减半。

半衰期

半衰期(half-life)$t_{1/2}$ 是未衰变原子核数目(或活度,或计数率)降到一半所需的时间。由 $N = N_{0} e^{-\lambda t}$ 且 $N = N_{0}/2$:

例题。 一种放射性同位素的半衰期是 $6.0$ 小时。求它的衰变常数。

把半衰期换成秒:$6.0\ \text{h} = 21\,600\ \text{s}$。然后

较大的衰变常数意味着较短的半衰期。$n$ 个半衰期后存活的分数是 $(1/2)^{n}$;5 个半衰期后只剩约 3%。

半衰期的定义。 样品中未衰变核的数目(或活度)降到其初始值一半所需的时间。 "一半的原子衰变"可以接受;"一半的样品消失"不行,因为衰变了的核仍作为子产物存在。

读两种同位素的图。 当 X 衰变为稳定的 Y 时,$N_{\text{Y}} = N_{0} - N_{\text{X}} = N_{0}(1 - e^{-\lambda t})$。半衰期是曲线相交的时刻($N_{\text{X}} = N_{\text{Y}} = N_{0}/2$),或 $N_{\text{X}}$ 减半的时间。若图给出初始数目 $N_{0}$ 和初始质量 $m$,核子数由 $m = N_{0} A u$ 得出:对 $m = 7.3 \times 10^{-4}\ \text{kg}$ 和 $N_{0} = 2.0 \times 10^{21}$,$A = m/(N_{0} u) = 7.3 \times 10^{-4}/(2.0 \times 10^{21} \times 1.661 \times 10^{-27}) = 220$。

例题。 一个单一放射性同位素的样品在 $t = 0$ 时活度为 $180\ \text{Bq}$,在 $t = 8.4$ 分钟时为 $45\ \text{Bq}$。求半衰期和衰变常数,以及再过 $8.4$ 分钟后的活度。

$45/180 = 1/4 = (1/2)^{2}$:$8.4$ 分钟内两个半衰期,所以 $t_{1/2} = 4.2\ \text{min} = 252\ \text{s}$,$\lambda = 0.693/252 = 2.8 \times 10^{-3}\ \text{s}^{-1}$。再过两个半衰期活度为 $45/4 = 11\ \text{Bq}$。当比值不是整齐的 2 的幂时,用 $t = \ln(A_{0}/A)/\lambda$:活度从 $180$ 降到 $50\ \text{Bq}$ 需要 $\ln(3.6)/2.75 \times 10^{-3} = 466\ \text{s}$。若活度以贝克勒尔计,求 $\lambda$ 之前总是先把半衰期换成秒。

从数据求 $\lambda$

给定 $A_{0}$ 和时间 $t$ 时的 $A$:

对 $A = A_{0} e^{-\lambda t}$ 取对数给出 $\ln A = \ln A_{0} - \lambda t$,所以 $\ln A$ 对 $t$ 的图是一条斜率为 $-\lambda$ 的直线。用几个数据点来做这个。

计数率不是活度。 探测器只记录到达它并在其中被吸收的辐射:比例由它覆盖的立体角、空气和源本身的吸收以及它的效率决定。所以测得的计数率小于活度,但与它成正比,从计数率图得到的半衰期是正确的。取比值或对数之前先从每个读数中减去本底辐射(background radiation,移走源后测得);未减本底会使曲线变平,半衰期显得过长。

医学中的示踪剂。 氟-18 和氧-15 是 $\beta^{+}$ 发射体,用作 PET 扫描(第 24 讲)中的示踪剂(tracers):正电子与电子湮灭,产生两个反向离开的伽马光子,揭示示踪剂所在的位置。选择短半衰期($110$ 分钟、$2$ 分钟)是为了扫描后活度迅速下降、患者受到的剂量保持很小,代价是必须在医院附近制备该同位素并立即使用。

定义题按固定措辞评分。准确学会这些,只给一个答案。

• $E = mc^{2}$,$1\ \text{u} = 931.5\ \text{MeV}$:核反应用 u 和 MeV 计算,只在要求时才换成焦耳($1\ \text{MeV} = 1.60 \times 10^{-13}\ \text{J}$)。
• 释放的能量 $=$(反应前总质量 $-$ 反应后总质量)$\times c^{2}$,或(反应后的结合能 $-$ 反应前的结合能)。核子数不变时质量亏损可以直接相减。
• 曲线:陡升,在 $A = 56$ 附近峰值 $8.8\ \text{MeV}$,平缓下降。产物在曲线上更高意味着释放能量;聚变在左边,裂变(和 α 衰变)在右边。
• 每个方程平衡两次:上面的核子数,下面的质子数;β 衰变带有中微子或反中微子。
• $A = \lambda N$,$\lambda = 0.693/t_{1/2}$,$t_{1/2}$ 以秒计;由质量求 $N$:$N = m/(A u)$。比值 $1/2$、$1/4$、$1/8$ 表示整数个半衰期;否则用 $t = \ln(x_{0}/x)/\lambda$。
• 解释题按用词评分:恒定概率、速率与数目成正比、每个间隔相同比例;随机性用计数率涨落;自发性用不受外界条件影响。

常见错误

• 把结合能定义为"把原子核束缚在一起的能量"或"储存在原子核中的能量";它是把核子分开所需的能量。
• 质量相减方向反了而报出负的能量释放,或漏掉裂变方程一侧的中子。
• 把结合能曲线的下降画得和上升一样陡,或在大 $A$ 处降到零。
• 用以分钟或年计的半衰期配以贝克勒尔计的活度;先换成秒。
• 混淆衰变常数(每秒的概率)与活度(每秒的衰变数)。
• 把半衰期说成"一半的样品消失",或说两个半衰期后什么也不剩。
• 把"随机"说成"它随时可能发生"而没有"无法预测哪个核或何时",或说"自发"时没有"不受外界因素影响"。
• 把计数率当作活度,或忘记减去本底。
• 假设 α 粒子和反冲核平分能量;它们平分的是动量。