- understand the equivalence between energy and mass as represented by $E = mc^2$ and recall and use this equation
- represent simple nuclear reactions by nuclear equations of the form $^{14}_{7}\text{N} + ^{4}_{2}\text{He} \rightarrow ^{17}_{8}\text{O} + ^{1}_{1}\text{H}$
- define and use the terms mass defect and binding energy
- sketch the variation of binding energy per nucleon with nucleon number
- explain what is meant by nuclear fusion and nuclear fission
- explain the relevance of binding energy per nucleon to nuclear reactions, including nuclear fusion and nuclear fission
- calculate the energy released in nuclear reactions using $E = c^2 \Delta m$
核物理
A-Level 物理 · 第 23 主题
23.1
质量亏损与核结合能
大纲
来源:剑桥国际大纲
爱因斯坦的狭义相对论给出那个著名的关系(质能等价(mass-energy equivalence)):
$$E = m c^{2},$$
其中 $c = 3.00 \times 10^{8}\ \text{m s}^{-1}$。一个质量 $m$ 对应一个能量(energy)$E$——两者可以相互转化。对于质量变化 $\Delta m$:
$$\Delta E = c^{2} \Delta m.$$
在核物理中质量很微小但 $c^{2}$ 极大,所以一个小的质量变化意味着一个大的能量。$1\ \text{u}$($1.661 \times 10^{-27}\ \text{kg}$)的质量变化对应 $\Delta E \approx 1.49 \times 10^{-10}\ \text{J}$。这给出一个你会一再用到的换算:
$$1\ \text{u} \ \longleftrightarrow\ 931\ \text{MeV}.$$
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| mass-energy equivalence | 质能等价 | zhì néng děng jià |
| energy | 能量 | néng liàng |
23.1
核反应
一个核反应(nuclear reaction)写成像
$$^{14}_{7}\text{N} + {}^{4}_{2}\text{He} \to {}^{17}_{8}\text{O} + {}^{1}_{1}\text{H},$$
核子数(nucleon number)守恒(上面的数:$14 + 4 = 17 + 1$)且电荷守恒(下面的数:$7 + 2 = 8 + 1$)——这是电荷守恒(conservation of charge)。用这些来填入一个未知量:辨认出粒子种类,然后配平上下的数。
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| nuclear reaction | 核反应 | hé fǎn yìng |
| nucleon number | 核子数 | hé zǐ shù |
| conservation of charge | 电荷守恒 | diàn hè shǒu héng |
23.1
质量亏损与结合能
一个原子核(nucleus)的质量小于它分开的质子(protons)和中子(neutrons)的总质量。这个差是质量亏损(mass defect)$\Delta m$:
$$\Delta m = (Z m_{\text{p}} + N m_{\text{n}}) - m_{\text{nucleus}}.$$
由 $E = mc^{2}$,这份"缺失的"质量在原子核形成时作为能量释放了。要把原子核完全拆开,你必须把那份能量放回去——即结合能(binding energy)$B$:
$$B = \Delta m \cdot c^{2}.$$
例题。 一个氦-4 原子核有质量亏损 $\Delta m = 0.0304\ \text{u}$。求它的结合能。($1\ \text{u}$ 对应 $931\ \text{MeV}$。)
$$B = \Delta m \cdot c^{2} = 0.0304 \times 931 \approx 28\ \text{MeV}.$$
一个束缚得更紧的原子核有更大的质量亏损和更大的结合能。比结合能(binding energy per nucleon)是 $B/A$(通常以每核子 MeV 计)——每个核子被束缚得多紧的一个量度,对比较核素很有用。
比结合能对核子数
$B/A$ 对 $A$ 的图有一个典型的形状:
- 对于轻核($A < 20$),$B/A$ 迅速上升(在非常稳定的 $^{4}_{2}\text{He}$ 处有一个尖峰)。
- 在 $A \sim 56$(铁)附近,$B/A$ 达到约 $8.8\ \text{MeV}$ 的最大值。铁-56 是最稳定的原子核。
- 对于重核($A > 100$),$B/A$ 缓慢下降,到铀约为 $7.5\ \text{MeV}$。
所以曲线是圆顶形的,上升到铁然后下降。
探索
Mass defect energy lab
E = delta m c^2
Change mass defect and see binding energy rise with E = mc^2.
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| nucleus | 原子核 | yuán zǐ hé |
| proton | 质子 | zhì zi |
| neutron | 中子 | zhōng zi |
| mass defect | 质量亏损 | zhì liàng kuī sǔn |
| binding energy | 结合能 | jié hé néng |
| binding energy per nucleon | 比结合能 | bǐ jié hé néng |
23.1
核聚变与核裂变
当原子核朝铁峰移动时——通过连接轻核或分裂重核——能量被释放。
核聚变
核聚变(nuclear fusion)把两个轻核连成一个较重的核:
$$^{2}_{1}\text{H} + {}^{3}_{1}\text{H} \to {}^{4}_{2}\text{He} + {}^{1}_{0}\text{n} + \text{energy}.$$
产物的比结合能比反应物大,所以能量被释放。聚变为恒星提供能量。它需要极高的温度(数百万开尔文),使原子核有足够的动能(kinetic energy)战胜它们的静电(electrostatic)排斥,靠得足够近让强核力(strong nuclear force)接管。
核裂变
核裂变(nuclear fission)把一个重核分成两个较轻的核:
$$^{235}_{92}\text{U} + {}^{1}_{0}\text{n} \to {}^{141}_{56}\text{Ba} + {}^{92}_{36}\text{Kr} + 3\, {}^{1}_{0}\text{n} + \text{energy}.$$
产物的比结合能比 $^{235}$U 高,所以能量被释放。多出的中子可以引起更多的裂变——在足够大的一份燃料(临界质量(critical mass))中形成一个链式反应(chain reaction)。这是核电和核武器的基础。
计算释放的能量
- 求反应物的总质量。
- 求产物的总质量。
- 质量变化 $\Delta m = m_{\text{reactants}} - m_{\text{products}}$(释放能量时为正)。
- 释放的能量 $\Delta E = c^{2} \Delta m$。
以 kg 计给出焦耳;以原子质量单位计用 $\Delta E\ (\text{MeV}) = \Delta m\ (\text{u}) \times 931$。
例题。 在一个核反应中总质量减少了 $0.020\ \text{u}$。求释放的能量。
$$\Delta E = \Delta m\ (\text{u}) \times 931 = 0.020 \times 931 \approx 19\ \text{MeV}.$$
探索
Nuclear fission chain reaction
A neutron splits a heavy nucleus, releasing energy and more neutrons — which split more nuclei.
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| nuclear fusion | 核聚变 | hé jù biàn |
| kinetic energy | 动能 | dòng néng |
| electrostatic | 静电 | jìng diàn |
| strong nuclear force | 强核力 | qiáng hé lì |
| nuclear fission | 核裂变 | hé liè biàn |
| chain reaction | 链式反应 | liàn shì fǎn yìng |
| critical mass | 临界质量 | lín jiè zhì liàng |
23.2
放射性衰变
大纲
- understand that fluctuations in count rate provide evidence for the random nature of radioactive decay
- understand that radioactive decay is both spontaneous and random
- define activity and decay constant, and recall and use $A = \lambda N$
- define half-life
- use $\lambda = 0.693 / t_{\frac{1}{2}}$
- understand the exponential nature of radioactive decay, and sketch and use the relationship $x = x_0 e^{-\lambda t}$, where $x$ could represent activity, number of undecayed nuclei or received count rate
来源:剑桥国际大纲
随机的且自发的
放射性衰变是:
- 自发的(spontaneous)——它在没有外部触发的情况下发生,速率不因温度、压强或化学状态而改变;以及
- 随机的(random)——你无法预测某个原子核何时衰变,只能预测它在一段时间内衰变的概率。
随机性的证据:计数率涨落。一个源旁边的盖革计数器(Geiger counter)以不均匀的间隔咔嗒作响——从不是稳定的一串——尽管长期的平均速率是明确的。
活度和衰变常数
对于一种放射性核素(radionuclide)的 $N$ 个未衰变原子核,衰变速率是
$$A = \lambda N.$$
- $A$ 是活度(activity)——每单位时间的衰变数。单位:贝克勒尔(becquerel,Bq)$= \text{s}^{-1}$。
- $\lambda$ 是衰变常数(decay constant)——一个原子核每单位时间衰变的概率。单位:$\text{s}^{-1}$。
$\lambda$ 对一种核素是固定的;较大的样品(较大的 $N$)有成比例较大的活度。
指数衰减
由于 $\lambda$ 是分数衰变速率,$\dfrac{dN}{dt} = -\lambda N$,它的解是一个指数衰减(exponential decay):
$$N = N_{0} e^{-\lambda t}.$$
因为 $A = \lambda N$,活度(以及与它成正比的任何计数率(count rate))以同样的方式衰减:
$$A = A_{0} e^{-\lambda t}.$$
为什么是指数?对每个原子核,$\lambda$ 是每单位时间的固定概率,与其他原子核和原子核的年龄无关。所以每个时间间隔内衰变相同的分数,这给出指数衰减。
半衰期
半衰期(half-life)$t_{1/2}$ 是未衰变原子核数目(或活度,或计数率)降到一半所需的时间。由 $N = N_{0} e^{-\lambda t}$ 且 $N = N_{0}/2$:
$$\ln 2 = \lambda t_{1/2}, \qquad \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \approx \frac{0.693}{t_{1/2}}.$$
例题。 一种放射性同位素的半衰期是 $6.0$ 小时。求它的衰变常数。
把半衰期换成秒:$6.0\ \text{h} = 21\,600\ \text{s}$。然后
$$\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{21\,600} \approx 3.2 \times 10^{-5}\ \text{s}^{-1}.$$
较大的衰变常数意味着较短的半衰期。$n$ 个半衰期后存活的分数是 $(1/2)^{n}$;5 个半衰期后只剩约 3%。
从数据求 $\lambda$
给定 $A_{0}$ 和时间 $t$ 时的 $A$:
$$\lambda = \frac{1}{t} \ln\frac{A_{0}}{A}, \qquad t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}.$$
对 $A = A_{0} e^{-\lambda t}$ 取对数给出 $\ln A = \ln A_{0} - \lambda t$,所以 $\ln A$ 对 $t$ 的图是一条斜率为 $-\lambda$ 的直线。用几个数据点来做这个。
探索
Decay equations (α, β, γ)
Choose a decay type; the daughter nuclide is fixed so the nucleon number A and the proton number Z both balance.
探索
Half-life — watch the nuclei decay
Each nucleus has a fixed chance of decaying, at random. Move time forward: about half the remaining nuclei decay every half-life — so the count halves, then halves again.
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| spontaneous | 自发 | zì fā |
| random | 随机 | suí jī |
| Geiger counter | 盖革计数器 | gài gé jì shù qì |
| radionuclide | 放射性核素 | fàng shè xìng hé sù |
| activity | 活度 | huó dù |
| becquerel | 贝克勒尔 | bèi kè lēi ěr |
| decay constant | 衰变常数 | shuāi biàn cháng shù |
| exponential decay | 指数衰减 | zhǐ shù shuāi jiǎn |
| count rate | 计数率 | jì shù lǜ |
| half-life | 半衰期 | bàn shuāi qī |
23.2
考试技巧
- $E = mc^2$;质量亏损是核子结合时损失的质量,作为结合能释放。
- 比结合能在铁附近达到峰值——聚变(轻核)和裂变(重核)都朝它移动并释放能量。
- 活度 $A = \lambda N$;衰变是指数式的 $N = N_0 e^{-\lambda t}$;半衰期 $t_{1/2} = \ln 2 / \lambda$。
- 通过守恒核子数和质子数来配平核方程。
本主题的互动课程
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