量子物理

电磁辐射既像波、也像粒子。电磁辐射的粒子是光子(photons)——以光速传播的电磁能量小包("量子"(quanta))。

光子的能量

一个频率(frequency)为 $f$ 的光子有能量

其中 $h = 6.63 \times 10^{-34}\ \text{J s}$ 是普朗克常量(Planck constant)。用 $c = f\lambda$:

例题。 求波长 $500\ \text{nm}$ 的绿光光子的能量。($h = 6.63 \times 10^{-34}\ \text{J s}$,$c = 3.0 \times 10^{8}\ \text{m s}^{-1}$。)

频率越高(波长(wavelength)越短)的光子携带越多的能量:一个 $\gamma$ 射线光子携带的远多于一个无线电光子。

电子伏特

电子伏特(electronvolt,eV)是原子尺度上一个方便的能量单位:

它是一个电子(electron)通过 1 V 的电势差(potential difference)所获得的动能(kinetic energy)。例如,一个可见光光子($\lambda \approx 500\ \text{nm}$)有能量 $\approx 2.5\ \text{eV}$。eV → J 乘以 $1.60 \times 10^{-19}$;J → eV 除以它。

光子的动量

光子还携带动量(momentum):

它有零静止质量,但有一个非零的动量 $E/c$。辐射压强(光子推压一个表面)由此而来。

当频率足够高的电磁辐射击中一块金属时,电子被发射出来。这些是光电子(photoelectrons),这个效应是光电效应(photoelectric effect)。

极限频率和逸出功

每种金属有一个最低的光子频率,即极限频率(threshold frequency)$f_{0}$,在它以下不会有电子出来,无论光多亮。逸出功(work function)$\Phi$ 是从表面释放一个电子所需的最小能量:

不同的金属有不同的逸出功(约 $2$–$5\ \text{eV}$)。

爱因斯坦光电方程

一个光子把它全部的能量给一个电子。如果光子能量 $hf$ 大于逸出功,电子以直到一个最大值的动能逃逸:

例题。 一块金属的逸出功是 $2.0\ \text{eV}$。由能量 $3.5\ \text{eV}$ 光子组成的光照在它上面。求光电子的最大动能。

所以光电子的最大动能与频率线性相关,而不是与亮度。

为什么波动模型失败

波动模型预言亮度应当决定电子的动能,而且只要有足够的时间,任何频率都应当发生发射。但实验表明:

• 在极限频率以下没有发射,无论多亮。
• 在极限频率处或以上立即发射,即使很暗。
• 最大动能取决于频率,而不是亮度。
• 光电子的数目(电流)取决于亮度。

光子模型解释了这一点:光作为每个能量为 $hf$ 的光子到来。一次光子-电子相互作用要么有足够的能量释放电子($hf \geq \Phi$),要么没有。

为什么最大动能固定但电流随亮度增长

相同频率的更亮的束有每秒更多的光子,但每个仍携带 $hf$。所以任何电子的最大动能是 $hf - \Phi$(只由 $f$ 决定),而发射速率(电流)随光子数目增长,即随亮度增长。亮度翻倍使电流翻倍,但不改变最大动能。

光电效应是光的粒子性的有力证据。但干涉(interference,杨氏双缝、衍射光栅(diffraction grating))和衍射(diffraction)显示它的波性。所以光同时有波和粒子两面——这就是波粒二象性(wave–particle duality)。

德布罗意假说

如果波能像粒子那样行事,也许粒子能像波那样行事。德布罗意提出任何运动的粒子有一个德布罗意波长(de Broglie wavelength):

其中 $p = mv$。例子:一个 $v = 4.9 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$ 的电子有 $p = 4.46 \times 10^{-23}\ \text{kg m s}^{-1}$,所以 $\lambda = 1.49 \times 10^{-11}\ \text{m} \approx 0.015\ \text{nm}$——接近原子间距。

电子衍射

当电子射向一个晶格(crystal lattice,例如薄石墨)时,它们在屏上形成一个亮环的衍射图样——正是波长为 $\lambda = h/p$ 的波会做的。这是粒子的波性(电子衍射(electron diffraction))的直接证据:只有波会衍射,而电子会。

更快的电子有更大的动量,所以有更短的德布罗意波长,衍射得更少——环靠得更近。使电子变慢会把环分得更开。计算:$p = \sqrt{2 m E_{\text{K}}}$,对于通过电势差 $V$ 加速的电子,$E_{\text{K}} = eV$,所以 $\lambda = h/\sqrt{2m_{e} e V}$。

例题。 一个电子从静止通过 $2500\ \text{V}$ 的电势差加速。求它的德布罗意波长。($m_{e} = 9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg}$,$e = 1.6 \times 10^{-19}\ \text{C}$,$h = 6.63 \times 10^{-34}\ \text{J s}$。)

它的动能是 $E_{\text{K}} = eV$,所以 $\lambda = \dfrac{h}{\sqrt{2 m_{e} e V}}$:

这接近晶体中原子之间的间距,这就是为什么电子在石墨上衍射。

在一个孤立的原子中,电子只能位于某些分立(discrete)的能级(energy levels)上——决不在其间。最低的是基态(ground state);其余的是激发态(excited states)。

按惯例,能量写成负值,一个刚好脱离原子的电子取 $E = 0$。对于氢,基态是 $E_{1} = -13.6\ \text{eV}$;更高的态趋近零。

发射光谱

当一个电子从较高的能级 $E_{2}$ 落到较低的能级 $E_{1}$ 时,它发射一个能量为下式的光子

(两个能量都是负的;它们的差是正的。)因为能级是分立的,只有某些光子能量——因而某些波长——会出来。发射光谱(emission spectrum)是暗背景上的一组尖锐亮线,每一次跃迁(transition)对应一条线。这个图样是该元素的"指纹"。

吸收光谱

当白光穿过一团冷气体时,能量恰好匹配一次向上跃迁的光子被吸收。光于是显示出亮背景上的暗线——吸收光谱(absorption spectrum)。暗线位于与同一气体的发射线相同的波长处。

计算

对于两个已知能级之间的跃迁:

用一致的单位——在以米求 $\lambda$ 之前把 eV 换成焦耳(× $1.60 \times 10^{-19}$),或用 $hc \approx 1240\ \text{eV nm}$ 作快速估算。

• 光子能量 $E = hf = hc/\lambda$;光电方程是 $hf = \Phi + \frac{1}{2}mv_{max}^2$。
• 光电效应表明光是量子化的:在极限频率以下,无论强度多大都不发射电子。
• 德布罗意 $\lambda = h/p$ 给粒子一个波长;电子衍射是证据。
• 能级是分立的;一个发射光子的能量等于两个能级之间的差。