交流电

交流电(alternating current,a.c.)不断反转方向。市电供应是正弦交流:$I$ 或 $V$ 随时间遵循一条正弦波:

(对于纯电阻负载,电压(voltage)和电流(current)同相,这是本大纲中的情形。)

关键术语

• 周期(period)$T$——一个完整周期的时间。单位:s。
• 频率(frequency)$f$——每秒的周期数;$f = 1/T$。市电常常是 $50\ \text{Hz}$ 或 $60\ \text{Hz}$。
• 角频率(angular frequency)$\omega = 2\pi f = 2\pi/T$。
• 峰值(peak value)$I_{0}$ 或 $V_{0}$——一个周期内的最大值(也叫振幅)。
• 峰峰值(peak-to-peak value)$2 I_{0}$——从 $+I_{0}$ 到 $-I_{0}$。读示波器时有用。

两分定义。 交流电的频率是单位时间内完整周期的数目(要说"每秒"或"每单位时间",以及"完整周期"或"振荡")。周期是一个完整周期所需的时间,峰值是一个周期内电流或电压的最大值。注意正弦电流在一个周期内的平均值为零,这正是需要均方根值来描述它的原因。

读方程。 在 $V = V_{0} \sin(\omega t)$ 中,前面的数是峰值,乘 $t$ 的数是 $\omega = 2\pi f$;角 $\omega t$ 以弧度(radians)计,所以求值前把计算器设为弧度模式。用 $\cos$ 而不是 $\sin$ 写的电源是同一个波,只是从峰值而不是从零开始。

例题。 某电源的输出为 $V = 320 \sin(100\pi t)$(伏,秒)。求峰值、频率、周期和均方根值,以及 $t = 0$ 后 $V = 160\ \text{V}$ 的第一个时刻。

峰值 $V_{0} = 320\ \text{V}$。$\omega = 100\pi\ \text{rad s}^{-1}$,所以 $f = \omega/2\pi = 50\ \text{Hz}$,$T = 1/f = 0.020\ \text{s}$。$V_{\text{r.m.s.}} = 320/\sqrt{2} = 226\ \text{V}$。对 $V = 160\ \text{V}$:$\sin(100\pi t) = 0.5$,所以 $100\pi t = \pi/6$,$t = 1/600 = 1.7 \times 10^{-3}\ \text{s}$。(对 $V = 18\cos(40\pi t)$,同样的读法给出 $V_{0} = 18\ \text{V}$,$f = 20\ \text{Hz}$,$T = 50\ \text{ms}$,以及一条从 $+18\ \text{V}$ 开始的草图。)

读示波器图线

与任何波(主题 7)一样,用示波器(cathode-ray oscilloscope):

• 水平格数 × 时基(time-base)→ 周期 $T$,所以 $f = 1/T$。
• 竖直格数 × $y$ 增益 → 峰值电压 $V_{0}$(从中心量到峰,或量峰峰值再减半)。

对于电阻负载 $R$,瞬时功率(power)是 $P(t) = I(t)^{2} R$。用 $I = I_{0}\sin(\omega t)$:

它总是正的,峰值为 $I_{0}^{2} R$、最小为零,以 $I$ 频率的两倍振荡。$\sin^{2}(\omega t)$ 在一个周期内的平均值是 $\tfrac{1}{2}$,所以平均功率是

电阻中的平均交流功率是峰值功率的一半。

"通过计算证明平均功率是峰值功率的一半。" 一个峰值 $12\ \text{V}$ 的电源驱动一个 $680\ \Omega$ 的电阻。峰值功率:$P_{0} = V_{0}^{2}/R = 12^{2}/680 = 0.212\ \text{W}$,即电压处于峰值那一刻的瞬时功率。平均功率:用均方根值,$V_{\text{r.m.s.}} = 12/\sqrt{2} = 8.49\ \text{V}$,所以 $\langle P \rangle = V_{\text{r.m.s.}}^{2}/R = 8.49^{2}/680 = 0.106\ \text{W}$,恰好一半。两个计算必须分别写出;写"$0.212$ 的 $\tfrac{1}{2}$"不得分,因为那正是要证明的东西。这个 $\tfrac{1}{2}$ 就是 $(1/\sqrt{2})^{2}$:均方根因子的平方。

均方根电流 $I_{\text{r.m.s.}}$ 是在同一电阻(resistance)$R$ 中给出相同平均功率的那个稳定的直流。由 $\langle P \rangle = I_{\text{r.m.s.}}^{2} R = \tfrac{1}{2} I_{0}^{2} R$:

例题。 一个交流电源的峰值电压是 $12\ \text{V}$。求它的均方根电压。

$\sqrt{2}$ 来自均方根(root-mean-square)这个名字:$I_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\langle I^{2} \rangle}$ 且 $\langle \sin^{2}\rangle = \tfrac{1}{2}$。(只需要正弦情形。)

两分定义。 交流电的均方根值是在同一电阻中耗散相同(平均)功率的直流(稳恒)电流的值。 "参照热效应"指的正是这句话:同一电阻、相同功率(或相同热效应)、直流电。只说"$I_{0}/\sqrt{2}$"的定义不得分,因为那个公式只对正弦波成立。

例题(非正弦)。 通过电阻的电流在每个周期的前一半为 $+2.0\ \text{A}$,后一半为 $-1.0\ \text{A}$,是一个方波(square wave)。求它的均方根值和 $10\ \Omega$ 电阻中的平均功率。

把电流平方:一半时间为 $4.0\ \text{A}^{2}$,另一半为 $1.0\ \text{A}^{2}$,所以均方是 $(4.0 + 1.0)/2 = 2.5\ \text{A}^{2}$,$I_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{2.5} = 1.6\ \text{A}$。平均功率 $= I_{\text{r.m.s.}}^{2} R = 2.5 \times 10 = 25\ \text{W}$。电流的符号对发热无关紧要(平方后消失),而 $I_{0}/\sqrt{2}$ 会给出错误答案 $1.4\ \text{A}$:那条捷径只适用于正弦波。

为什么均方根重要

标注的交流值是均方根值。"$230\ \text{V}$ 市电"意味着 $V_{\text{r.m.s.}} = 230\ \text{V}$,峰值 $V_{0} = 230\sqrt{2} \approx 325\ \text{V}$。元件必须按峰值而不是均方根来标定额定值。平均功率于是取直流形式:

例题。 一个电阻为 $50\ \Omega$ 的加热器接到 $230\ \text{V}$ 均方根的市电上。求均方根电流和耗散的平均功率。

例题。 均方根值 $4.2\ \text{V}$、频率 $50\ \text{kHz}$ 的正弦电源接在 $150\ \Omega$ 的电阻两端。求峰值电流、平均功率,并写出电流的方程。

$V_{0} = 4.2\sqrt{2} = 5.9\ \text{V}$,所以 $I_{0} = V_{0}/R = 5.9/150 = 0.040\ \text{A}$(或 $I_{\text{r.m.s.}} = 4.2/150 = 0.028\ \text{A}$ 再 $\times\sqrt{2}$)。平均功率 $= V_{\text{r.m.s.}}^{2}/R = 4.2^{2}/150 = 0.12\ \text{W}$。由 $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 5.0 \times 10^{4} = 3.1 \times 10^{5}\ \text{rad s}^{-1}$:$I = 0.040 \sin(3.1 \times 10^{5} t)$(安,秒)。把两类量分开:峰值进入方程和元件额定值;均方根值进入功率。

整流(rectification)用二极管(diodes,只在一个方向导通)把一个交流电压变成单方向(类似直流)的电压。

"说明整流是什么意思。" 把交流电(或电压)转换为直流电(或电压):只沿一个方向流动的电流,不论它如何变化。二极管只有在正向偏置(forward-biased)时才导通,即它的阳极(符号中三角形的平边端)比阴极(横杠)电势高;否则它反向偏置,表现得像一个断开的开关。把它当作理想的:一个方向零电阻,另一个方向无穷大。

半波整流

一个与负载串联的单个二极管只让每个周期的正半通过;在负半时二极管反向偏置(reverse-biased),没有电流流过。这就是半波整流(half-wave rectification)。

输出:带平的零间隙的正半波。平均输出是 $V_{0}/\pi \approx 0.32 V_{0}$。缺点:一半的输入被浪费,而且输出很不均匀。

补全电路。 "补全电路图以产生半波整流"需要一个二极管串联在电源和负载之间,三角形指向输出电流必须流动的方向,$V_{\text{OUT}}$ 取自负载两端。若要用电容器平滑输出,它要接在负载两端(并联);串联的电容器会把直流完全阻断。

全波整流(桥式整流器)

桥式整流器(bridge rectifier)用四个二极管排列成:无论哪个交流端子为正,通过负载的电流总是朝同一方向——全波整流(full-wave rectification)。在每个半周期,不同的一对二极管导通,但负载总是看到相同的方向。

解释桥式电路(标准四分题)。 当端子 P 为正时,电流从 P 出发,经过背离 P 的二极管到达负载的顶端,向下流过负载,再经过指向 Q 的二极管回到 Q;另外两个二极管反向偏置,不导电。当 Q 为正时另一对导通,但它们的布置使电流仍从顶端进入负载:两个半周期中负载电流方向相同。要说出每个半周期中哪几个二极管导通,以及负载的哪一端为正。

补全桥式电路。 给出缺二极管的桥时,记住对每个二极管的规则:传统电流沿三角形的方向流过它。接到正输出端的两个二极管都必须指向它;接到负输出端的两个都必须背离它。一个二极管接反的桥要么在一个半周期中把电源短路,要么什么也不通过。

输出:一串连续的正半波(无间隙),频率是输入的两倍。平均输出是 $2V_{0}/\pi \approx 0.64 V_{0}$——是半波值的两倍。它用上全部输入,更平滑、更容易滤波。

画图

• 半波:交流源——单个二极管——负载 $R$,串联。
• 全波桥:四个二极管作为"菱形"的四臂;交流输入接到一对相对的角,负载 $R$ 跨接另一对。二极管的方向使负载端子对任一输入极性都保持相同的极性。

"说明半波整流与全波整流的区别。" 在半波整流中每个输入周期只有一半出现在输出端,另一半被阻断(输出有一半时间为零);在全波整流中两半都出现,其中一半被翻转,所以没有间隙,输出频率是输入的两倍。草图应表明:半波是被等长的平的零段隔开的正隆起;全波是在零线处相接的正隆起。

整流器的输出仍是起伏的。要平滑它,把一个电容器(capacitor)$C$ 与负载 $R$ 并联。

它如何工作

• 在每个脉冲的上升部分,电容器充电到接近峰值。
• 在下降部分(以及任何间隙),二极管反向偏置,所以电容器通过负载放电,维持电流流动。电压以时间常数(time constant)$RC$(主题 19)下降。
• 在下一个峰值,电容器再次充电,循环重复。

现在输出停在接近峰值处、带小的凹陷。凹陷的大小是纹波(ripple)(这整个步骤叫作平滑(smoothing))。

例题。 由 $50\ \text{Hz}$ 电源供电的半波整流器在其 $1.2\ \text{k}\Omega$ 负载(load)两端接一个 $470\ \mu\text{F}$ 的电容器。估算峰值之间输出下降的比例,并说明换成桥式整流器后它如何变化。

峰值相隔 $T = 1/50 = 20\ \text{ms}$(半波:每周期一个峰)。时间常数为 $RC = (1.2 \times 10^{3})(470 \times 10^{-6}) = 0.56\ \text{s}$。峰值之间电容器放电到 $V_{0} e^{-t/RC} = V_{0} e^{-0.020/0.56} = 0.965\,V_{0}$,下降约 $3.5\%$。用全波整流时峰值相隔 $10\ \text{ms}$,下降只有 $1.8\%$;电容加倍会再减半。因为 $t \ll RC$,下降近似为 $V_{0}\, t/(RC)$:纹波与峰值间的时间成正比,与 $R$ 和 $C$ 都成反比。(输出端的电容器网络在用于此处之前先按第 19 讲的规则合成。)

什么减小纹波

• 更大的 $C$ → 更多储存的电荷 → 峰值之间更小的凹陷 → 更小的纹波。
• 更大的 $R$ → 更小的负载电流 → 更慢的放电 → 更小的纹波。
• 更高的整流频率(全波是输入的两倍)→ 峰值之间放电的时间更少 → 更小的纹波。

简言之,与峰值之间的时间相比大的 $RC$ 给出更平滑的输出。

画平滑后的输出。 先淡淡地画出未平滑的隆起。平滑曲线碰到每个峰,然后沿一条平缓的曲线下降(峰后紧接着最陡),直到下一个隆起上升与它相遇,在那里它急转向上并沿隆起到达峰值。它决不降到零,也决不高于峰值。对半波整流,衰减还要持续过缺失的那半个周期,所以同样的 $RC$ 下纹波约为全波的两倍。若题目改变 $C$ 或 $R$,在同一坐标上重画:更大的 $RC$ 更贴近峰值线;更小的 $RC$ 下垂更多。

目的小结

平滑电容器减小纹波,给出适合灵敏电子设备的更稳定的直流电压。

定义题按固定措辞评分。准确学会这些,只给一个答案。

• $V = V_{0} \sin\omega t$,$\omega = 2\pi f$,单位为弧度每秒:直接从方程读出 $V_{0}$ 和 $\omega$;任何时间计算都用弧度模式。
• $I_{\text{r.m.s.}} = I_{0}/\sqrt{2}$ 和 $V_{\text{r.m.s.}} = V_{0}/\sqrt{2}$ 只对正弦波成立;否则平方、平均、开方。标注的市电值是均方根值;元件按峰值定额定值。
• 电阻中的平均功率为 $I_{\text{r.m.s.}}^{2}R = V_{\text{r.m.s.}}^{2}/R = \tfrac{1}{2} I_{0}^{2} R$,是峰值功率的一半;平均电流为零,平均功率不为零。
• 一个串联二极管给出半波整流;四二极管桥给出全波,负载电流始终同向,输出频率是输入的两倍。
• 平滑:电容器接在负载两端;纹波随更大的 $C$、更大的 $R$(更小的负载电流)和更高的整流频率而减小,因为峰值间的衰减是 $V_{0}e^{-t/RC}$。
• 草图按形状评分:碰到峰值线的隆起、决不到零的衰减、半波有平的零间隙、全波没有。

常见错误

• 在功率计算中用峰值,或在 $V = V_{0}\sin\omega t$ 中把均方根值当振幅。
• 写 $\omega = f$ 或 $\omega = 2\pi/f$;应是 $2\pi f = 2\pi/T$。
• 把均方根值定义为"峰值除以 $\sqrt{2}$",或漏掉"相同功率"和"同一电阻"。
• 把 $I_{0}/\sqrt{2}$ 用于方波或三角波。
• 二极管画反,或桥中接到同一输出端的两个二极管指向相反。
• 把平滑电容器与负载串联。
• 画的平滑输出在峰值之间降到零,或高于峰值。
• 说更大的负载电阻给出更大的纹波;更大的 $R$ 意味着更小的电流、更慢的放电和更小的纹波。
• 声称全波整流给出稳定的直流;没有电容器时它是一串纹波很大的隆起。