交流电

交流电(alternating current,a.c.)不断反转方向。市电供应是正弦交流:$I$ 或 $V$ 随时间遵循一条正弦波:

(对于纯电阻负载,电压(voltage)和电流(current)同相,这是本大纲中的情形。)

关键术语

• 周期(period)$T$——一个完整周期的时间。单位:s。
• 频率(frequency)$f$——每秒的周期数;$f = 1/T$。市电常常是 $50\ \text{Hz}$ 或 $60\ \text{Hz}$。
• 角频率(angular frequency)$\omega = 2\pi f = 2\pi/T$。
• 峰值(peak value)$I_{0}$ 或 $V_{0}$——一个周期内的最大值(也叫振幅)。
• 峰峰值(peak-to-peak value)$2 I_{0}$——从 $+I_{0}$ 到 $-I_{0}$。读示波器时有用。

读示波器图线

与任何波(主题 7)一样,用示波器(cathode-ray oscilloscope):

• 水平格数 × 时基(time-base)→ 周期 $T$,所以 $f = 1/T$。
• 竖直格数 × $y$ 增益 → 峰值电压 $V_{0}$(从中心量到峰,或量峰峰值再减半)。

对于电阻负载 $R$,瞬时功率(power)是 $P(t) = I(t)^{2} R$。用 $I = I_{0}\sin(\omega t)$:

它总是正的,峰值为 $I_{0}^{2} R$、最小为零,以 $I$ 频率的两倍振荡。$\sin^{2}(\omega t)$ 在一个周期内的平均值是 $\tfrac{1}{2}$,所以平均功率是

电阻中的平均交流功率是峰值功率的一半。

均方根电流 $I_{\text{r.m.s.}}$ 是在同一电阻(resistance)$R$ 中给出相同平均功率的那个稳定的直流。由 $\langle P \rangle = I_{\text{r.m.s.}}^{2} R = \tfrac{1}{2} I_{0}^{2} R$:

例题。 一个交流电源的峰值电压是 $12\ \text{V}$。求它的均方根电压。

$\sqrt{2}$ 来自均方根(root-mean-square)这个名字:$I_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\langle I^{2} \rangle}$ 且 $\langle \sin^{2}\rangle = \tfrac{1}{2}$。(只需要正弦情形。)

为什么均方根重要

标注的交流值是均方根值。"$230\ \text{V}$ 市电"意味着 $V_{\text{r.m.s.}} = 230\ \text{V}$,峰值 $V_{0} = 230\sqrt{2} \approx 325\ \text{V}$。元件必须按峰值而不是均方根来标定额定值。平均功率于是取直流形式:

例题。 一个电阻为 $50\ \Omega$ 的加热器接到 $230\ \text{V}$ 均方根的市电上。求均方根电流和耗散的平均功率。

整流(rectification)用二极管(diodes,只在一个方向导通)把一个交流电压变成单方向(类似直流)的电压。

半波整流

一个与负载串联的单个二极管只让每个周期的正半通过;在负半时二极管反向偏置(reverse-biased),没有电流流过。这就是半波整流(half-wave rectification)。

输出:带平的零间隙的正半波。平均输出是 $V_{0}/\pi \approx 0.32 V_{0}$。缺点:一半的输入被浪费,而且输出很不均匀。

全波整流(桥式整流器)

桥式整流器(bridge rectifier)用四个二极管排列成:无论哪个交流端子为正,通过负载的电流总是朝同一方向——全波整流(full-wave rectification)。在每个半周期,不同的一对二极管导通,但负载总是看到相同的方向。

输出:一串连续的正半波(无间隙),频率是输入的两倍。平均输出是 $2V_{0}/\pi \approx 0.64 V_{0}$——是半波值的两倍。它用上全部输入,更平滑、更容易滤波。

画图

• 半波:交流源——单个二极管——负载 $R$,串联。
• 全波桥:四个二极管作为"菱形"的四臂;交流输入接到一对相对的角,负载 $R$ 跨接另一对。二极管的方向使负载端子对任一输入极性都保持相同的极性。

整流器的输出仍是起伏的。要平滑它,把一个电容器(capacitor)$C$ 与负载 $R$ 并联。

它如何工作

• 在每个脉冲的上升部分,电容器充电到接近峰值。
• 在下降部分(以及任何间隙),二极管反向偏置,所以电容器通过负载放电,维持电流流动。电压以时间常数(time constant)$RC$(主题 19)下降。
• 在下一个峰值,电容器再次充电,循环重复。

现在输出停在接近峰值处、带小的凹陷。凹陷的大小是纹波(ripple)(这整个步骤叫作平滑(smoothing))。

什么减小纹波

• 更大的 $C$ → 更多储存的电荷 → 峰值之间更小的凹陷 → 更小的纹波。
• 更大的 $R$ → 更小的负载电流 → 更慢的放电 → 更小的纹波。
• 更高的整流频率(全波是输入的两倍)→ 峰值之间放电的时间更少 → 更小的纹波。

简言之,与峰值之间的时间相比大的 $RC$ 给出更平滑的输出。

目的小结

平滑电容器减小纹波,给出适合灵敏电子设备的更稳定的直流电压。

• 对于正弦电流 $I_{rms} = I_0/\sqrt{2}$;功率用均方根值($P = I_{rms}^2 R$)。
• 电阻中的平均功率 $=$ 峰值功率的 $\frac{1}{2}$。
• 解释整流(二极管或桥)以及平滑电容器如何减小纹波。