电容

电容器(capacitor)储存电荷。最简单的一种是两块平行的导体(conductor)板,之间夹着一个绝缘体(insulator,一个电介质(dielectric),或者只是真空(vacuum)/空气)。接到电池上时,一块板上积累电荷 $+Q$、另一块上 $-Q$,间隙两端有一个电势差(potential difference)$V$。

板是如何带电的。 把两板接到电池上,电子经由电池从接正接线端(terminal)的板流到接负接线端的板。一块板留下电荷 $+Q$,另一块得到 $-Q$:两板电荷总是等量异号,所以电容器整体保持中性。当两板间的电势差等于电池的电动势时流动停止。没有任何东西穿过间隙;正是绝缘体使电荷保持分离。

任何电容器(或任何孤立导体)的电容(capacitance)$C$ 是

这适用于:

• 一个在电势 $V$(无穷远处为零)下持有电荷 $Q$ 的孤立球。对于半径 $r$,$V = Q/(4\pi\varepsilon_{0}r)$,所以 $C = 4\pi\varepsilon_{0} r$。
• 一个平行板电容器:板上电荷 $\pm Q$,之间电势差 $V$。

单位:法拉(farad,F)$= \text{C V}^{-1}$。一法拉极大,所以真实电容器从 $\text{pF}$ 到 $\text{mF}$。

对给定的电容器电容是恒定的(由它的尺寸和电介质决定)。电荷翻倍使电压翻倍,所以 $C = Q/V$ 保持不变。

两分定义。 对平行板电容器:一块板上的电荷与两板间电势差之比。 对孤立球(或任何孤立导体):导体上的电荷与其电势之比。 考官要看到"每单位电势差的电荷"(或"每单位电势"),对板来说,电荷是一块板上的电荷,电势差是两板之间的电势差。"储存的电荷"可以接受;"两板上的总电荷"不行,因为那个总量为零。

什么决定电容。 对平行板,电容与板的面积成正比,与间距 $x$ 成反比($C \propto 1/x$:间隙减半,电容加倍),并在用电介质取代空气时增大。一道说"$C$ 与 $x$ 成反比"、然后在电荷恒定下把板拉开的题目,问的是 $V = Q/C \propto x$:电势差按比例上升。在电势差恒定(仍接在电源上)时,下降的反而是电荷。

例题。 一个 $100\ \mu\text{F}$ 的电容器充电到 $12\ \text{V}$。求储存的电荷。

例题。 一个半径 $15\ \text{cm}$ 的孤立金属球被充电到 $9.0 \times 10^{3}\ \text{V}$ 的电势。求它的电容和电荷。然后它通过一个 $120\ \text{M}\Omega$ 的电阻对地放电:求放电的时间常数。

时间常数是 $RC = (1.2 \times 10^{8})(1.67 \times 10^{-11}) = 2.0 \times 10^{-3}\ \text{s}$:即使通过巨大的电阻,球也在几毫秒内失去电荷,因为它的电容太小了。注意 $4\pi\varepsilon_{0} = 1/(8.99 \times 10^{9})$,所以 $C = r/(8.99 \times 10^{9})$,$r$ 以米计。

合成电容器

并联的电容器共享相同的电势差 $V$。总电荷是各部分之和:

一个并联组合的电容比任何单个电容器大。

串联的电容器载相同的电荷 $Q$。总电势差是各部分之和:

一个串联组合的电容比任何单个电容器小。

注意:这些规则与电阻的相反(电阻串联相加;电容器并联相加),因为 $C = Q/V$ 的分母是 $V$,而 $R = V/I$ 的分母是 $I$。

推导两条规则

"推导合成电容的表达式"是一道证明题,评分方案要的是把物理说清楚,而不只是代数。

• 串联。 各电容器载相同的电荷 $Q$:接正接线端的板把电子失给下一个电容器的远板,所以链中每块板都持有 $\pm Q$。电势差相加:$V = V_{1} + V_{2}$。用 $V_{1} = Q/C_{1}$ 和 $V_{2} = Q/C_{2}$,并由 $V = Q/C$ 定义组合,两边除以 $Q$ 得 $1/C = 1/C_{1} + 1/C_{2}$。
• 并联。 各电容器有相同的电势差 $V$,因为每个都直接接在电源两端。电荷相加:$Q = Q_{1} + Q_{2} = C_{1}V + C_{2}V$,而组合满足 $Q = CV$,所以 $C = C_{1} + C_{2}$。

两个串联的电容器总是小于其中较小的那个;两个相等的电容器 $C$ 串联给出 $C/2$,并联给出 $2C$。

例题。 一个 $6.0\ \mu\text{F}$ 的电容器与一对并联的 $2.0\ \mu\text{F}$ 和 $4.0\ \mu\text{F}$ 串联。求总电容,以及在网络两端加 $12\ \text{V}$ 时每个电容器上的电荷。

并联对:$2.0 + 4.0 = 6.0\ \mu\text{F}$。与 $6.0\ \mu\text{F}$ 串联:$1/C = 1/6.0 + 1/6.0$,所以 $C = 3.0\ \mu\text{F}$。总电荷 $Q = CV = (3.0 \times 10^{-6})(12) = 3.6 \times 10^{-5}\ \text{C}$:这是 $6.0\ \mu\text{F}$ 电容器上的电荷(串联,电荷相同),并由并联对按电容之比分担(电势差相同,各 $6.0\ \text{V}$):$2.0\ \mu\text{F}$ 的持有 $1.2 \times 10^{-5}\ \text{C}$,$4.0\ \mu\text{F}$ 的持有 $2.4 \times 10^{-5}\ \text{C}$。检验:相加为 $3.6 \times 10^{-5}\ \text{C}$。

例题。 电容均为 $C$ 的电容器 X 和 Y 串联接在电压为 $V$ 的电源上;电容均为 $C$ 的电容器 P 和 Q 并联接在相同的电源上。比较从各电源取出的电荷和各种接法储存的能量。

串联:$C_{\text{s}} = C/2$,电荷 $Q_{\text{s}} = CV/2$,能量 $\tfrac{1}{2} C_{\text{s}} V^{2} = CV^{2}/4$。并联:$C_{\text{p}} = 2C$,电荷 $2CV$,能量 $CV^{2}$。并联接法取出四倍的电荷、储存四倍的能量,因为在相同电源电压下能量是 $\tfrac{1}{2} C V^{2}$ 而电容大四倍。被问到对给定电源哪种接法储存更多能量,答案总是并联。

把电容器从 $0$ 充到 $Q$ 需要做功,因为每一点额外的电荷都要顶着已经存在的电势差被推上去。当电荷是 $q$ 时,电势差是 $V(q) = q/C$,所以添加一小份电荷 $dq$ 需要功 $V\,dq$。总功是

用 $V = Q/C$,这就是储存的能量(energy):

例题。 求一个充电到 $12\ \text{V}$ 的 $100\ \mu\text{F}$ 电容器中储存的能量。

例题。 某电容器的电荷 $Q$ 对电势差 $V$ 的图是一条过原点、经过 $(10\ \text{V},\ 1.2 \times 10^{-3}\ \text{C})$ 的直线。求电容和 $10\ \text{V}$ 时储存的能量,再求电势差升到 $12\ \text{V}$ 时额外储存的能量。

$Q$ 对 $V$ 的斜率是 $C = 1.2 \times 10^{-3}/10 = 1.2 \times 10^{-4}\ \text{F} = 120\ \mu\text{F}$。能量是线下的面积:$\tfrac{1}{2}QV = \tfrac{1}{2}(1.2 \times 10^{-3})(10) = 6.0 \times 10^{-3}\ \text{J}$。在 $12\ \text{V}$:$\tfrac{1}{2}CV^{2} = \tfrac{1}{2}(1.2 \times 10^{-4})(12)^{2} = 8.6 \times 10^{-3}\ \text{J}$,所以额外能量是 $2.6 \times 10^{-3}\ \text{J}$。不要用额外电荷按 $\tfrac{1}{2}(\Delta Q)V$ 求额外能量:能量与电荷不成正比,所以要把两个面积相减。

读 $Q$–$V$ 图

$V$ 对 $Q$ 的图是一条过原点、斜率为 $1/C$ 的直线。储存的能量是线下方直到给定电荷 $Q$ 的面积,即三角形 $\tfrac{1}{2} Q V$。因子 $\tfrac{1}{2}$ 在那里是因为充电过程中的平均电势差是 $V/2$(它从零增长到 $V$),而不是 $V$。

为什么充电"半效率"

用一根导线把电容器 $C$ 接到一个电动势为 $V$ 的理想电池上。电容器储存 $\tfrac{1}{2} C V^{2}$,但电池在电动势 $V$ 下供给电荷 $Q = CV$,放出 $QV = CV^{2}$。另一半在导线中作为热损失掉——无论导线的电阻是多少。

电容器之间的电荷分配

一个充满电的电容器 X(电容 $C$,电势差 $V$,电荷 $Q = CV$)从电源断开,接到一个未充电、电容为 $3C$ 的电容器 Y 两端。电荷流动直到两个电势差相等。两条原理决定一切:

1. 电荷守恒。 总电荷仍为 $Q$,现在分布在总电容为 $4C$ 的并联对上,所以共同的电势差是 $V' = Q/(4C) = V/4$。X 保留 $Q/4$,Y 取得 $3Q/4$(电荷按电容之比分配,因为电势差相同)。
2. 能量不守恒。 之前:$\tfrac{1}{2} C V^{2}$。之后:$\tfrac{1}{2}(4C)(V/4)^{2} = \tfrac{1}{8} C V^{2}$。四分之三的能量消失了:它在电荷移动时作为热在连接导线中耗散(dissipated)(以及作为火花或电磁辐射),不论电阻多小。

例题。 一个充电到 $9.0\ \text{V}$ 的 $220\ \mu\text{F}$ 电容器接到一个未充电的 $440\ \mu\text{F}$ 电容器两端。求最终电势差和损失的能量。

$Q = CV = (220 \times 10^{-6})(9.0) = 1.98 \times 10^{-3}\ \text{C}$;总电容 $660\ \mu\text{F}$,所以 $V' = 1.98 \times 10^{-3}/(660 \times 10^{-6}) = 3.0\ \text{V}$。之前的能量:$\tfrac{1}{2}(220 \times 10^{-6})(9.0)^{2} = 8.9 \times 10^{-3}\ \text{J}$;之后:$\tfrac{1}{2}(660 \times 10^{-6})(3.0)^{2} = 3.0 \times 10^{-3}\ \text{J}$;损失:$5.9 \times 10^{-3}\ \text{J}$,原来的三分之二。一个电容器接到另一个电容为 $kC$ 的电容器时,总是损失 $k/(k+1)$ 的比例。

一个充电到 $V_{0}$ 的电容器 $C$ 通过一个开关接到一个电阻(resistance)为 $R$ 的电阻器(resistor)上。当开关在 $t = 0$ 闭合时,电容器放电。

建立方程

由绕回路的基尔霍夫第二定律(Kirchhoff's second law),$V_{C} = V_{R}$。用 $V_{C} = Q/C$、$V_{R} = IR$ 和 $I = -dQ/dt$:

它的解是一个时间常数为 $RC$ 的指数衰减(exponential decay)。

放电方程

电荷 $Q$、电势差 $V$ 和电流 $I$ 都以相同的时间常数指数衰减:

其中 $I_{0} = V_{0}/R$。

读三张图。 三条曲线形状相同、时间常数相同,所以从任一条量出一次 $\tau$ 就得到 $RC$。电流在开关闭合的瞬间最大,$I_{0} = V_{0}/R$,因为此时全部电势差 $V_{0}$ 都加在电阻上;它随电势差下降而下降。$I$–$t$ 图下的面积是已流过的电荷,所以总面积是 $Q_{0} = CV_{0}$,而第一个时间常数内流过的电荷是 $Q_{0}(1 - e^{-1}) = 0.63\,Q_{0}$。$Q$–$t$ 图的斜率是 $-I$:开始时最陡,随电流消失而变平。(通过电阻充电时,电流有同样的衰减形状,而 $V$ 和 $Q$ 按 $V_{0}(1 - e^{-t/RC})$ 上升,是放电曲线的镜像。)

时间常数

是时间常数(time constant,以秒计:$\Omega \cdot \text{F} = \text{s}$)。它是一个衰减量降到它起始值的 $1/e \approx 0.37$(约 37%)所需的时间。$2\tau$ 后它约为 13.5%;$5\tau$ 后低于 1%。

例题。 一个充电到 $12\ \text{V}$ 的 $100\ \mu\text{F}$ 电容器通过一个 $47\ \text{k}\Omega$ 的电阻放电。求时间常数和一个时间常数后的电压。

一个时间常数后电压降到它起始值的 $1/e$:$V = 12 \times 0.37 \approx 4.4\ \text{V}$。

例题。 一个 $470\ \mu\text{F}$ 的电容器充电到 $24\ \text{V}$,然后通过一个 $5.6\ \text{k}\Omega$ 的电阻放电。求 (a) 初始电荷和能量,(b) 时间常数和初始电流,(c) $4.0\ \text{s}$ 后的电势差,(d) 电势差降到 $6.0\ \text{V}$ 所需的时间。

(a) $Q_{0} = CV_{0} = (470 \times 10^{-6})(24) = 1.1 \times 10^{-2}\ \text{C}$;$W = \tfrac{1}{2}CV_{0}^{2} = \tfrac{1}{2}(470 \times 10^{-6})(24)^{2} = 0.135\ \text{J}$。 (b) $\tau = RC = (5.6 \times 10^{3})(470 \times 10^{-6}) = 2.6\ \text{s}$;$I_{0} = V_{0}/R = 24/5600 = 4.3\ \text{mA}$。 (c) $V = V_{0} e^{-t/RC} = 24\, e^{-4.0/2.63} = 24 \times 0.219 = 5.3\ \text{V}$。 (d) 用对数变形:$t = -RC \ln(V/V_{0}) = -2.63 \ln(6.0/24) = 2.63 \times 1.386 = 3.6\ \text{s}$。

在计算中保留未舍入的时间常数($2.632\ \text{s}$),只对答案舍入。(d) 中的变形是最常被问到、也最常出错的:$\ln(V/V_{0})$ 为负,所以 $t$ 得出正值。

例题。 从一条放电图看出,一个 $2200\ \mu\text{F}$ 电容器两端的电势差在 $4.5\ \text{s}$ 内从 $6.0\ \text{V}$ 降到 $2.2\ \text{V}$。求电阻的阻值。

$2.2/6.0 = 0.367 \approx 1/e$,所以 $4.5\ \text{s}$ 是一个时间常数:$R = \tau/C = 4.5/(2200 \times 10^{-6}) = 2.0 \times 10^{3}\ \Omega$。若不是降到 $1/e$,就用 $RC = -t/\ln(V/V_{0})$;两种方法答案相同。

要从一条曲线求 $\tau$:读出降到起始值 $1/e$ 所需的时间。或者取对数:$\ln(V/V_{0}) = -t/(RC)$,所以 $\ln V$ 对 $t$ 的图是一条斜率为 $-1/(RC)$ 的直线。

使用对数图。 在实验中,把 $\ln V$(或 $\ln I$)作为 $y$ 轴对 $t$ 作图。各点应落在一条直线上:它的斜率是 $-1/(RC)$,所以 $RC = -1/\text{斜率}$,它在 $\ln V$ 轴上的截距(intercept)是 $\ln V_{0}$。直线是衰减确实为指数式的检验;弯曲意味着不是。斜率要从最佳拟合线上相距很远的两点取,而不是从两个数据点取,并以秒为单位给出 $RC$。

放电过程中的读图

• $Q$ 对 $V_{C}$:因为始终 $Q = C V$,这是一条过原点、斜率为 $C$ 的直线。放电把点从 $(V_{0}, Q_{0})$ 降到 $(0,0)$。
• $I$ 对 $V_{C}$:因为 $I = V_{C}/R$,这是一条过原点、斜率为 $1/R$ 的直线,所以你可以求出 $R$。

常见考题

给定一条放电曲线 $V(t)$ 或 $Q(t)$:

• 在 $t = 0$ 读起始值 $V_{0}$ 或 $Q_{0}$。
• 读降到 $V_{0}/e$ 所需的时间 → 时间常数 $\tau = RC$。
• 给定 $R$,求 $C = \tau / R$(或反过来)。
• 用指数公式预测一个较晚的值。

电容器作为平滑元件

整流器(rectifier)(第 21 讲)把交变电压变成一系列正的隆起。接在负载两端的电容器把它们平滑。在每个峰值(peak)附近二极管导通,电容器充电到峰值电压;当电源电压回落时二极管停止导通,电容器通过负载电阻放电,把输出托住,直到下一个隆起升到它之上并给电容器再次充电。因此输出在峰值之间只下降一点点;剩下的起伏就是纹波(ripple)。

下降多少取决于放电的时间常数 $RC$ 与峰值之间的时间之比。更大的电容,或更大的负载电阻(更小的负载电流),给出更大的 $RC$、更慢的衰减和更小的纹波;负载很重(小 $R$)的电源纹波更大。被要求画平滑后的输出时,让它碰到每个峰值,在峰值之间略微下降,并且决不降到零。

定义题按固定措辞评分。准确学会这些,只给一个答案。

• $C = Q/V$ 定义电容;对孤立球 $C = 4\pi\varepsilon_{0} r$。储存的能量 $W = \tfrac{1}{2}QV = \tfrac{1}{2}CV^{2} = Q^{2}/2C$:选用已知量对应的形式,并记住能量与电荷不成正比。
• 合成电容器的方式与电阻相反(并联相加,串联取倒数),网络一步一步化简。
• 电荷分配:电荷守恒,能量不守恒。先由总电荷和总电容求共同电势差,再求能量。
• 放电:$Q$、$V$、$I$ 都满足 $x = x_{0} e^{-t/RC}$;$t = -RC \ln(x/x_{0})$;$\tau = RC$ 以秒计($\Omega \cdot \text{F} = \text{s}$),是降到 $37\%$ 的时间,不是降到零。
• 图像:初始电流是 $V_{0}/R$;$I$–$t$ 下的面积是电荷;$Q$–$t$ 的斜率是 $-I$;$\ln V$ 对 $t$ 是斜率为 $-1/(RC)$、截距为 $\ln V_{0}$ 的直线。
• 相乘前先换算 $\mu\text{F}$ 和 $\text{k}\Omega$:$\text{k}\Omega \times \mu\text{F}$ 给出毫秒,不是秒。

常见错误

• 把电容定义为"储存的电荷"或"两板上的电荷"。它是一块板上的电荷与两板间电势差之比。
• 把串联的电容器当电阻那样相加,或最后忘记把倒数和再取倒数。
• 电荷分配之后,在 $\tfrac{1}{2}CV^{2}$ 里用电源电压而不是新的共同电势差,或声称能量守恒。
• 把放电电流从零画起。它从最大值 $V_{0}/R$ 开始。
• 把 $\tau$ 当作完全放电的时间;$5\tau$ 后还剩约 $1\%$。
• 丢掉 $t = -RC \ln(V/V_{0})$ 中的负号,报出负的时间。
• 只用额外电荷求升高电势差时的额外能量:要把两个面积(或两个 $\tfrac{1}{2}CV^{2}$)相减。
• 画的平滑输出在峰值之间降到零,或说更大的负载电阻给出更大的纹波。