电容

A-Level 物理 · 第 19 主题

训练

讲义词汇表

19.1

电容器与电容

大纲

define capacitance, as applied to both isolated spherical conductors and to parallel plate capacitors
recall and use $C = Q/V$
derive, using $C = Q/V$, formulae for the combined capacitance of capacitors in series and in parallel
use the capacitance formulae for capacitors in series and in parallel

来源:剑桥国际大纲

电路板上的电解电容器 — 电容器在电路中储存电荷。

电容器(capacitor)储存电荷。最简单的一种是两块平行的导体(conductor)板,之间夹着一个绝缘体(insulator,一个电介质(dielectric),或者只是真空(vacuum)/空气)。接到电池上时,一块板上积累电荷 $+Q$、另一块上 $-Q$,间隙两端有一个电势差(potential difference)$V$。

一个平行板电容器:一块带电荷 +Q 的板和一块带电荷 -Q 的板由一层绝缘电介质隔开,接到一个在间隙两端给出电势差 V 的电池上 — 一个平行板电容器:两块板上等量异号的电荷,间隙两端有电势差 $V$

任何电容器(或任何孤立导体)的电容(capacitance)$C$ 是

$$C = \frac{Q}{V}.$$

这适用于:

一个在电势 $V$(无穷远处为零)下持有电荷 $Q$ 的孤立球。对于半径 $r$,$V = Q/(4\pi\varepsilon_{0}r)$,所以 $C = 4\pi\varepsilon_{0} r$。
一个平行板电容器:板上电荷 $\pm Q$,之间电势差 $V$。

单位:法拉(farad,F)$= \text{C V}^{-1}$。一法拉极大,所以真实电容器从 $\text{pF}$ 到 $\text{mF}$。

对给定的电容器电容是恒定的(由它的尺寸和电介质决定)。电荷翻倍使电压翻倍,所以 $C = Q/V$ 保持不变。

例题。 一个 $100\ \mu\text{F}$ 的电容器充电到 $12\ \text{V}$。求储存的电荷。

$$Q = CV = (100 \times 10^{-6})(12) = 1.2 \times 10^{-3}\ \text{C}\ (= 1.2\ \text{mC}).$$

几个尺寸差异很大的真实电容器:四个大的金属电解罐直立着,下方一排小得多的薄膜和陶瓷电容器,带一把尺子作比例 — 真实电容器从大的电解罐(高电容)到微小的薄膜和陶瓷型——从 pF 到 mF

合成电容器

并联的电容器共享相同的电势差 $V$。总电荷是各部分之和:

$$Q_{\text{total}} = C_{1} V + C_{2} V + \ldots, \qquad\text{so}\qquad C_{\text{parallel}} = C_{1} + C_{2} + \ldots$$

一个并联组合的电容比任何单个电容器大。

两个电容器 C1 和 C2 并排接在相同的电势差 V 上,电荷 q1 和 q2 相加为 Q,等效于一个单一电容器 C — 并联的电容器共享相同的电势差;电荷相加

串联的电容器载相同的电荷 $Q$。总电势差是各部分之和:

$$V_{\text{total}} = \frac{Q}{C_{1}} + \frac{Q}{C_{2}} + \ldots, \qquad\text{so}\qquad \frac{1}{C_{\text{series}}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \ldots$$

一个串联组合的电容比任何单个电容器小。

两个电容器 C1 和 C2 排成一列载相同的电荷 Q,电势差 V1 和 V2 相加为 V,等效于一个单一电容器 C — 串联的电容器载相同的电荷;电势差相加

注意:这些规则与电阻的相反(电阻串联相加;电容器并联相加),因为 $C = Q/V$ 的分母是 $V$,而 $R = V/I$ 的分母是 $I$。

探索

Capacitance

Q = C·V

Charge stored is proportional to voltage — the gradient is the capacitance C.

词汇表训练

英文	中文	拼音
capacitor	电容器	diàn róng qì
conductor	导体	dǎo tǐ
insulator	绝缘体	jué yuán tǐ
dielectric	电介质	diàn jiè zhì
vacuum	真空	zhēn kōng
potential difference	电势差	diàn shì chà
capacitance	电容	diàn róng
farad	法拉	fǎ lā

练习卷

19.2

电容器储存的能量

大纲

determine the electric potential energy stored in a capacitor from the area under the potential–charge graph
recall and use $W = \frac{1}{2}QV = \frac{1}{2}CV^2$

来源:剑桥国际大纲

把电容器从 $0$ 充到 $Q$ 需要做功,因为每一点额外的电荷都要顶着已经存在的电势差被推上去。当电荷是 $q$ 时,电势差是 $V(q) = q/C$,所以添加一小份电荷 $dq$ 需要功 $V\,dq$。总功是

$$W = \int_{0}^{Q} \frac{q}{C}\, dq = \frac{Q^{2}}{2 C}.$$

用 $V = Q/C$,这就是储存的能量(energy):

$$W = \tfrac{1}{2} Q V = \tfrac{1}{2} C V^{2} = \frac{Q^{2}}{2C}.$$

例题。 求一个充电到 $12\ \text{V}$ 的 $100\ \mu\text{F}$ 电容器中储存的能量。

$$W = \tfrac{1}{2}CV^{2} = \tfrac{1}{2}(100 \times 10^{-6})(12)^{2} = 7.2 \times 10^{-3}\ \text{J}\ (= 7.2\ \text{mJ}).$$

读 $Q$–$V$ 图

$V$ 对 $Q$ 的图是一条过原点、斜率为 $1/C$ 的直线。储存的能量是线下方直到给定电荷 $Q$ 的面积,即三角形 $\tfrac{1}{2} Q V$。因子 $\tfrac{1}{2}$ 在那里是因为充电过程中的平均电势差是 $V/2$(它从零增长到 $V$),而不是 $V$。

一张电势差对电荷的图:一条过原点的直线,它下方直到电荷 Q0 的三角形被涂上阴影,作为储存的能量二分之一 Q0 V0 — 储存的能量是电势差-电荷线下方的面积(三角形 $\tfrac{1}{2}QV$)

为什么充电"半效率"

用一根导线把电容器 $C$ 接到一个电动势为 $V$ 的理想电池上。电容器储存 $\tfrac{1}{2} C V^{2}$,但电池在电动势 $V$ 下供给电荷 $Q = CV$,放出 $QV = CV^{2}$。另一半在导线中作为热损失掉——无论导线的电阻是多少。

探索

Energy in a capacitor

E = ½C·V²

Stored energy grows with the square of the voltage.

词汇表训练

英文	中文	拼音
energy	能量	néng liàng

练习卷

19.3

电容器的放电

大纲

analyse graphs of the variation with time of potential difference, charge and current for a capacitor discharging through a resistor
recall and use $\tau = RC$ for the time constant for a capacitor discharging through a resistor
use equations of the form $x = x_0 e^{-(t/RC)}$ where $x$ could represent current, charge or potential difference for a capacitor discharging through a resistor

来源:剑桥国际大纲

一个充电到 $V_{0}$ 的电容器 $C$ 通过一个开关接到一个电阻(resistance)为 $R$ 的电阻器(resistor)上。当开关在 $t = 0$ 闭合时,电容器放电。

一个电路,一个电动势为 V0 的电源,一个有 A 和 B 位置的双向开关,中间支路一个电容器,与一个电流表串联的一个电阻;位置 A 给电容器充电,位置 B 让它通过电阻放电 — 电容器通过开关 A 充电,然后通过开关 B 经电阻放电

建立方程

由绕回路的基尔霍夫第二定律(Kirchhoff's second law),$V_{C} = V_{R}$。用 $V_{C} = Q/C$、$V_{R} = IR$ 和 $I = -dQ/dt$:

$$\frac{Q}{C} = -R \frac{dQ}{dt}.$$

它的解是一个时间常数为 $RC$ 的指数衰减(exponential decay)。

放电方程

电荷 $Q$、电势差 $V$ 和电流 $I$ 都以相同的时间常数指数衰减:

$$Q = Q_{0} e^{-t / (RC)}, \qquad V = V_{0} e^{-t / (RC)}, \qquad I = I_{0} e^{-t / (RC)},$$

其中 $I_{0} = V_{0}/R$。

放电过程中电荷对时间的图:一条从 Q0 开始的指数衰减曲线,在等于 RC 的时间降到 Q0/e — 放电过程中电荷指数衰减,在一个时间常数 $RC$ 后降到 $Q_0/e$

时间常数

$$\tau = RC$$

是时间常数(time constant,以秒计:$\Omega \cdot \text{F} = \text{s}$)。它是一个衰减量降到它起始值的 $1/e \approx 0.37$(约 37%)所需的时间。$2\tau$ 后它约为 13.5%;$5\tau$ 后低于 1%。

例题。 一个充电到 $12\ \text{V}$ 的 $100\ \mu\text{F}$ 电容器通过一个 $47\ \text{k}\Omega$ 的电阻放电。求时间常数和一个时间常数后的电压。

$$\tau = RC = (47 \times 10^{3})(100 \times 10^{-6}) = 4.7\ \text{s}.$$

一个时间常数后电压降到它起始值的 $1/e$:$V = 12 \times 0.37 \approx 4.4\ \text{V}$。

要从一条曲线求 $\tau$:读出降到起始值 $1/e$ 所需的时间。或者取对数:$\ln(V/V_{0}) = -t/(RC)$,所以 $\ln V$ 对 $t$ 的图是一条斜率为 $-1/(RC)$ 的直线。

放电过程中电压的自然对数对时间的图:数据落在一条斜率为负一除以 RC 的直线上,用来求时间常数 — $\ln V$ 对时间的图是一条斜率为 $-1/(RC)$ 的直线

放电过程中的读图

$Q$ 对 $V_{C}$:因为始终 $Q = C V$,这是一条过原点、斜率为 $C$ 的直线。放电把点从 $(V_{0}, Q_{0})$ 降到 $(0,0)$。
$I$ 对 $V_{C}$:因为 $I = V_{C}/R$,这是一条过原点、斜率为 $1/R$ 的直线,所以你可以求出 $R$。

常见考题

给定一条放电曲线 $V(t)$ 或 $Q(t)$:

在 $t = 0$ 读起始值 $V_{0}$ 或 $Q_{0}$。
读降到 $V_{0}/e$ 所需的时间 → 时间常数 $\tau = RC$。
给定 $R$,求 $C = \tau / R$(或反过来)。
用指数公式预测一个较晚的值。

探索

Charge / discharge curve

The voltage rises (or decays) exponentially with time constant τ = RC.

探索

Discharging a capacitor

Q = Q₀·bᵗ

Charge decays exponentially through the resistor.

词汇表训练

英文	中文	拼音
resistor	电阻器	diàn zǔ qì
resistance	电阻	diàn zǔ
Kirchhoff's second law	基尔霍夫第二定律	jī ěr huò fū dì èr dìng lǜ
exponential decay	指数衰减	zhǐ shù shuāi jiǎn
time constant	时间常数	shí jiān cháng shù

练习卷

19.3

考试技巧

$C = Q/V$;储存的能量 $W = \frac{1}{2}QV = \frac{1}{2}CV^2$($\frac{1}{2}$ 是 $Q$-$V$ 图下方的面积)。
合成电容器的方式与电阻相反(并联相加,串联取倒数)。
放电是指数式的:$Q = Q_0 e^{-t/RC}$;时间常数 $\tau = RC$ 是电荷降到 $37\%$ 的时刻。

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