- understand that a gravitational field is an example of a field of force and define gravitational field as force per unit mass
- represent a gravitational field by means of field lines
引力场
A-Level 物理 · 第 13 主题
13.1
引力场
大纲
来源:剑桥国际大纲
定义
重力场(gravitational field)是一个质量(mass)会感受到来自其他质量的力(force)的区域。某点的重力场强度(gravitational field strength)$g$ 是放在那里的一个小检验质量(test mass)所受的每单位质量的重力:
$$g = \frac{F}{m}.$$
单位:$\text{N kg}^{-1}$(与 $\text{m s}^{-2}$ 相同——场中自由落体的加速度)。$g$ 是一个矢量(vector),指向力作用的方向——朝向源质量。
场线
一个重力场用指向力对检验质量作用方向的场线(field lines)来画:
- 在一个质点(point mass)或一个均匀球(从外部看当作质点)周围,场线是径向的(radial),指向内。
- 在地球表面附近的一小片区域上,场线近似平行且等间距,笔直向下——一个匀强场(uniform field)。
场线越密表示场越强。
探索
A radial field
Change the mass. The field lines point inward and get denser close in, where the field is stronger — a radial field around a point mass.
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| gravitational field | 重力场 | zhòng lì chǎng |
| mass | 质量 | zhì liàng |
| force | 力 | lì |
| gravitational field strength | 重力场强度 | zhòng lì chǎng qiáng dù |
| test mass | 检验质量 | jiǎn yàn zhì liàng |
| vector | 矢量 | shǐ liàng |
| field line | 场线 | chǎng xiàn |
| point mass | 质点 | zhì diǎn |
| radial | 径向 | jìng xiàng |
| uniform field | 匀强场 | yún qiáng chǎng |
13.2 13.3
质点间的引力
大纲
- understand that, for a point outside a uniform sphere, the mass of the sphere may be considered to be a point mass at its centre
- recall and use Newton's law of gravitation $F = Gm_1m_2 / r^2$ for the force between two point masses
- analyse circular orbits in gravitational fields by relating the gravitational force to the centripetal acceleration it causes
- understand that a satellite in a geostationary orbit remains at the same point above the Earth's surface, with an orbital period of 24 hours, orbiting from west to east, directly above the Equator
- derive, from Newton's law of gravitation and the definition of gravitational field, the equation $g = GM/r^2$ for the gravitational field strength due to a point mass
- recall and use $g = GM/r^2$
- understand why $g$ is approximately constant for small changes in height near the Earth's surface
来源:剑桥国际大纲
对于相距 $r$ 的两个质点 $m_{1}, m_{2}$,每个所受的力是
$$F = \frac{G m_{1} m_{2}}{r^{2}},$$
沿连线把它们拉到一起。这就是万有引力定律(Newton's law of gravitation)。常数 $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\ \text{kg}^{-2}$ 是万有引力常量(universal gravitational constant)。
把球当作质点
对于一个均匀球(例如行星或恒星),外部任何一点的场都与位于中心、质量等于总质量的一个质点相同。所以从表面上方来看,你可以把地球当作位于其中心的一个质点。(球内部的点是不同的,不在大纲内。)
质点的场强
把距离质点 $M$ 为 $r$ 处的检验质量 $m$ 所受的重力代入 $g = F/m$:
$$F = \frac{G M m}{r^{2}}, \qquad g = \frac{G M}{r^{2}}.$$
所以你离开源越远,$g$ 就按 $1/r^{2}$ 衰减。
例题。 求地球表面的重力场强度。(地球质量 $M = 6.0 \times 10^{24}\ \text{kg}$,半径 $R = 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$,$G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\ \text{kg}^{-2}$。)
$$g = \frac{GM}{R^{2}} = \frac{(6.67 \times 10^{-11})(6.0 \times 10^{24})}{(6.4 \times 10^{6})^{2}} \approx 9.8\ \text{N kg}^{-1}.$$
为什么在地球表面附近 $g$ 几乎恒定
地球半径是 $R \approx 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$。上升到高度 $h$ 使离中心的距离从 $R$ 变到 $R + h$。对于 $h \ll R$(任何建筑或山),$(R + h)/R \approx 1$,所以 $g$ 几乎不变——从 $5\ \text{m}$ 升到 $10\ \text{m}$ 高使 $r$ 改变约百万分之一。在实验室里,$g$ 实际上是恒定的。
探索
Newton's law of gravitation
F ∝ Mm / r²
Gravity pulls inward and weakens with the square of the distance.
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| Newton's law of gravitation | 万有引力定律 | wàn yǒu yǐn lì dìng lǜ |
| universal gravitational constant | 万有引力常量 | wàn yǒu yǐn lì cháng liàng |
13.2 13.3
引力场中的轨道运动
对于一个质量为 $m$ 的卫星(satellite)在半径为 $r$ 的圆轨道(orbit)上绕一个质量为 $M$ 的天体运行,重力提供向心力(centripetal force):
$$\frac{G M m}{r^{2}} = \frac{m v^{2}}{r}.$$
约去 $m$(轨道速率不取决于卫星的质量):
$$v = \sqrt{\frac{G M}{r}}.$$
例题。 一颗卫星在半径 $r = 7.0 \times 10^{6}\ \text{m}$ 的圆轨道上绕地球运行。求它的轨道速率。(对地球,$GM = 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^{3}\ \text{s}^{-2}$。)
$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{4.0 \times 10^{14}}{7.0 \times 10^{6}}} \approx 7.6 \times 10^{3}\ \text{m s}^{-1}.$$
周期(period)由 $T = 2\pi r / v$ 得到:
$$T = 2\pi \sqrt{\frac{r^{3}}{G M}}, \quad\text{so}\quad T^{2} = \frac{4\pi^{2}}{G M} \cdot r^{3}.$$
这是圆轨道的开普勒第三定律(Kepler's third law):$T^{2} \propto r^{3}$。$T^{2}$ 对 $r^{3}$ 的图是过原点、斜率为 $4\pi^{2}/(GM)$ 的直线,所以轨道数据给出中心天体的质量。
地球同步轨道
一颗地球同步(geostationary)卫星:
- 停在地球上同一点的正上方(所以固定的天线总是指向它),
- 周期为 24 小时(与地球自转相同),
- 自西向东运行(与地球转动方向相同),
- 必须在赤道(equator)正上方。
它必须与地球有相同的角速度(angular speed)、相同的方向,在赤道平面内(否则它会在一天内南北漂移)。由 $T = 24\ \text{h}$ 和 $T^{2} = 4\pi^{2} r^{3}/(GM)$,半径为 $r \approx 4.2 \times 10^{7}\ \text{m}$(在表面上方约 $3.6 \times 10^{7}\ \text{m}$)。
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| satellite | 卫星 | wèi xīng |
| orbit | 轨道 | guǐ dào |
| centripetal force | 向心力 | xiàng xīn lì |
| period | 周期 | zhōu qī |
| Kepler's third law | 开普勒第三定律 | kāi pǔ lēi dì sān dìng lǜ |
| geostationary | 地球同步 | dì qiú tóng bù |
| equator | 赤道 | chì dào |
| angular speed | 角速度 | jiǎo sù dù |
13.4
引力势
大纲
- define gravitational potential at a point as the work done per unit mass in bringing a small test mass from infinity to the point
- use $\phi = -GM/r$ for the gravitational potential in the field due to a point mass
- understand how the concept of gravitational potential leads to the gravitational potential energy of two point masses and use $E_P = -GMm/r$
来源:剑桥国际大纲
某点的引力势(gravitational potential)$\phi$ 是把一个小检验质量从无穷远(infinity)带到那一点所做的每单位质量的功:
$$\phi = \frac{W}{m}.$$
单位:$\text{J kg}^{-1}$。
势取为在无穷远处为零。当检验质量朝源落入时,重力替你做功,所以除无穷远处外 $\phi$ 处处为负。对于距离 $r$ 处的质点 $M$:
$$\phi = -\frac{G M}{r}.$$
$\phi$ 是一个标量(scalar)。对于几个质量,把势相加。
两个质点的重力势能
如果一个检验质量 $m$ 位于势为 $\phi$ 的地方,这一对的重力势能(gravitational potential energy)是
$$E_{\text{P}} = m \phi = -\frac{G M m}{r}.$$
与势一样,$E_{\text{P}}$ 为负,只有在无穷远分离时才达到零。靠得越近的质量势能越负(束缚得越紧)。
与 $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$ 的联系
对于表面附近的小高度变化,$r$ 几乎不变,所以 $\Delta E_{\text{P}} \approx mg\Delta h$。对于大的变化(卫星移到更高的轨道),在每个半径处用 $-GMm/r$ 并取差:
$$\Delta E_{\text{P}} = GMm\left(\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}}\right) \quad (r_{2} > r_{1}),$$
它是正的(必须提供能量才能把卫星升高)。
逃逸速度(由能量守恒)
要从半径 $r$ 逃逸到无穷远,一个物体的动能(kinetic energy)必须等于它重力势能的大小:
$$\tfrac{1}{2} m v_{\text{esc}}^{2} = \frac{G M m}{r}, \qquad v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2 G M}{r}}.$$
在地球表面,逃逸速度(escape velocity)$\approx 11\ \text{km s}^{-1}$。它不取决于物体的质量。
例题。 求从地球表面的逃逸速度。(对地球,$GM = 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^{3}\ \text{s}^{-2}$,$R = 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$。)
$$v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{\frac{2 (4.0 \times 10^{14})}{6.4 \times 10^{6}}} \approx 1.1 \times 10^{4}\ \text{m s}^{-1}\ (= 11\ \text{km s}^{-1}).$$
探索
Gravitational potential
V = −GM / r
Potential ∝ −1/r — deep near the mass, flattening with distance.
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| gravitational potential | 引力势 | yǐn lì shì |
| infinity | 无穷远 | wú qióng yuǎn |
| scalar | 标量 | biāo liàng |
| gravitational potential energy | 重力势能 | zhòng lì shì néng |
| kinetic energy | 动能 | dòng néng |
| escape velocity | 逃逸速度 | táo yì sù dù |
13.4
考试技巧
- 万有引力定律 $F = GMm/r^2$(平方反比);场强 $g = GM/r^2$。
- 区分引力势($\phi = -GM/r$,总为负,在无穷远处为零)和场强。
- 对于轨道,令重力 $=$ 向心力得到 $T^2 \propto r^3$;地球同步轨道有 $T = 24\ \text{h}$。
本主题的互动课程
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