进阶纯数学2

悬链线需要恰当的曲线

在重力作用下，单位长度重量均匀的自由悬挂柔性链条形成 catenary 悬链线。其形状由 hyperbolic functions 双曲函数描述。平移与缩放后的模型为 $y=a\cosh((x-h)/a)+k$，其中 $a>0$ 为参数。最低点位于 $(h,a+k)$。$\cosh x$ 的图像为标准归一化示例；一般悬挂链条未必经过 $(0,1)$。

由指数函数构建全部六个双曲函数

Exponential 指数表达式使用 $e^x>0$。定义如下：

三个 reciprocals 倒数分别为：

求和 $e^x+e^{-x}$ 恒为正数。差值仅在 $x=0$ 处为零。因此 sinh、cosh、tanh 和 sech 对任意实数输入均有定义；cosech 和 coth 则排除零。

Worked example. 在 $x=\ln2$ 处，两个指数函数的值分别为 $2$ 和 $1/2$。由此可得 $\sinh x=3/4$、$\cosh x=5/4$ 和 $\tanh x=3/5$。倒数对应值为 $\operatorname{cosech}x=4/3$、$\operatorname{sech}x=4/5$ 和 $\coth x=5/3$。在零点处，sinh 和 tanh 为零；cosh 和 sech 为一；cosech 和 coth 无定义。

草绘定义域、值域及渐近线

Domain 定义域列出允许的输入值；Range 值域列出实际取到的输出值。利用截距、对称性及 asymptotes 渐近线绘制完整草图。

• Sinh 是 odd function 奇函数，且在 $(0,0)$ 处单调递增。其值域为全体实数。无水平渐近线。
• Cosh 是 even function 偶函数。在 $(0,1)$ 之前单调递减，之后单调递增。其最小值决定值域为 $[1,\infty)$；无 x 轴截距，也无水平渐近线。
• tanh 是奇函数，在 $(0,0)$ 处递增。其值域为 $(-1,1)$。水平渐近线 $y=-1$ 和 $y=1$ 均不可达。

对于倒数图象：

• sech 是偶函数，恒为正，定义域为全体实数。其最大值为 $(0,1)$，值域为 $(0,1]$，水平渐近线为 $y=0$。
• 双曲余割函数是奇函数，有垂直渐近线 $x=0$ 和水平渐近线 $y=0$。其值域为 $\mathbb R\setminus\{0\}$。各分支均单调递减。
• Coth 是奇函数，在$x=0$处有垂直渐近线。当$x\to\infty$趋近时它趋于$1$，当$x\to-\infty$趋近时趋于$-1$。其值域为$(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$；每一支单调递减。

从指定起点证明恒等式

恒等式 对其变量的每一个允许取值均成立。展开指数平方项得

分子分母同除 $\cosh^2x>0$ 得 $1-\tanh^2x=\operatorname{sech}^2x$。分子分母同除 $\sinh^2x$ 得 $\coth^2x-\operatorname{cosech}^2x=1$（适用于 $x\ne0$）。该限制条件仍属于恒等式的一部分。

若题目要求使用指数定义，请从这些定义出发而非引用推导出的恒等式。从一侧开始推导，并始终保持同一变量。

例题。 从定义出发，

分母对任意实数 $u$ 均不为零。直接引用待证结论来证明自身则构成循环论证。

推导加法定理与倍角公式

将指数定义相乘得

例如，cosh 公式右侧为

这是$\cosh(u+v)$的定义。交叉项相互抵消。利用奇函数sinh和偶函数cosh的减法公式，将$v$替换为$-v$。

令两个自变量均等于$x$，可得

与余弦加法公式不同，双曲余弦加法公式中两个乘积之间是加号。

求解方程并验证两个交点

利用恒等式将方程化为关于sinh或cosh的多项式。或者代入$t=e^x>0$，消去非零分母后解出$t$。舍去不在代换取值范围内的根。

例题。 求解$\cosh2x=4\sinh^2x$。由于$\cosh2x=1+2\sinh^2x$，

两种符号均有效。利用下方的反函数公式可得

两条曲线均为偶函数，且两个交点的纵坐标均为$2$。但它们的极小值不同：$(0,1)$对应$\cosh2x$，$(0,0)$对应$4\sinh^2x$。这有助于检查共用横轴的草图。

另一种代换法。 对于$2\cosh x+3\sinh x=1$，令$t=e^x>0$。方程变为

根为$(1\pm\sqrt6)/5$，但仅正号选择为正。因此$x=\ln((1+\sqrt6)/5)$。对于实数$x$，负二次根不可能等于$e^x$。

在推导公式前先定义反函数

反函数 反函数逆转一一映射函数。其图像关于$y=x$对称，交换定义域与值域。反双曲函数 反双曲函数可写成 对数形式 对数形式。

sinh在所有实数输入上为一一映射。tanh为一一映射，值域为$(-1,1)$。cosh需要 主值分支 主值分支：选取原输入非负。因此$\cosh^{-1}x$接受$x\ge1$作为输入，输出$\ge0$。

记号$\sinh^{-1}x$表示反sinh，而非$1/\sinh x$。此外，$\cosh^{-1}(\cosh x)=|x|$适用于实数$x$；负的原输入无法由非负的主反函数返回。

通过正指数函数推导反sinh

设$y=\sinh^{-1}x$。则$x=(e^y-e^{-y})/2$。令$t=e^y>0$：

由于 $\sqrt{x^2+1}>|x|$，仅正根为正。因此

即使当 $x<0$ 时，对数真数仍为正。例如，$\sinh^{-1}(-3/4)=\ln(1/2)=-\ln2$。反双曲正弦的值域为全体实数。

在分支条件下推导反双曲余弦

设 $y=\cosh^{-1}x\ge0$。则 $x\ge1$ 且 $t=e^y\ge1$。该二次方程为

对于 $x>1$，两根均为正，但负根低于 $1$。这将导致负值 $y$，超出所选分支范围。在 $x=1$ 处，两根均等于 $1$。因此

对于 $x=5/4$，反函数值为 $\ln2$。相比之下，完整方程 $\cosh y=5/4$ 包含 $y=\pm\ln2$。更一般地，$\cosh y=k$ 对于 $k<1$ 无实数解，对于 $k=1$ 有一个解，对于 $k>1$ 有两个解。

在其开区间上推导反双曲正切

设 $y=\tanh^{-1}x$，其中 $-1<x<1$。将其指数定义乘以 $e^y/e^y$ 可得

在此区间内，$1+x$ 和 $1-x$ 均为正。取对数得

例如，$\tanh^{-1}(3/5)=\tfrac12\ln4=\ln2$。其反函数输出为全体实数，但不包括输入 $\pm1$。未达到的水平渐近线不是有限反函数输入。

谨慎使用倒数函数的反函数

对于主值反双曲正割，选择原始分支 $y\ge0$：

反双曲余割在其两个符号分离的分支上是一一映射，给出

对于反双曲余切，倒数输入必须位于 $(-1,1)$ 内部：

例如，$\operatorname{sech}^{-1}(3/5)=\ln3$，但 $\operatorname{sech}y=3/5$ 具有两种符号 $y=\pm\ln3$。此外，$\operatorname{cosech}^{-1}(-3/4)=-\ln3$ 和 $\coth^{-1}2=\tfrac12\ln3$。函数的倒数与其反函数执行不同的运算。

检查原始限制条件

在使用反函数前，声明实数定义域和所选分支。若完整方程允许，保留两种符号。将每个多项式根代入如 $t=e^x>0$ 的检验中验证。

对于证明题，从所需定义出发并展示代数推导；对于草图题，标出实际截距、对称性、排除的输入及极限直线。精确的对数答案仍需满足原始双曲方程。

一个映射，多次重复操作

矩阵可描述模型中的单次变化。重复该变化需使用幂次如 $A^{20}$；连续乘二十次会掩盖结构特征。 本课将三个工具结合：求解矩阵方程，寻找特殊向量，然后简化幂和逆。注意解或逆存在的条件。

将三个方程合并为一个矩阵

按顺序将$x,y,z$的系数放入每一行。右侧是一个列向量，而非系数矩阵的另一行。 要还原矩阵方程，需将每一行与未知数列相乘。缺失变量的系数为零。

找到并验证唯一交点

此处$\det C=1\ne0$，因此$C$是非奇异 非奇异的：存在唯一解。逆矩阵乘法有效，但此处消元法更简便。 用第二个方程减去第一个方程得到$y=2$。由第一个方程得$x+z=4$，由第三个方程得$2x+3z=11$；故$(x,y,z)=(1,2,3)$。

检查所有三个原始方程：$1+2+3=6$、$1+4+3=8$和$2+2+9=13$。几何上，三个平面相交于一点。仅检查两个平面是不够的。

零行列式需要额外检查

奇异 奇异的系数矩阵行列式为零。方程组可能相容 相容（至少有一个解）或不相容 不相容（无解）；奇异并不意味着无解。 对于$x+y+z=3$和$x+2y+z=4$，相减得$y=1$、$x+z=2$。第三个方程$2x+3y+2z=7$未增加新约束：公共直线为$(x,y,z)=(2-t,1,t)$、$t\in\mathbb R$。

仅将第三个等式右边改为$8$。用第三个方程减去前两个方程得$0=1$，因此没有点位于所有三个平面上。两两相交并不能证明存在公共交点。重合平面也可能出现；三个相同方程留下整个平面的解集。

每个面板使用由前两个方程确定的y值。其余线条表示x和z所满足的条件。

分离特殊的参数值

对于下方方程组，用第1行分别减去第2和第3行。行列式为$(a-1)(a+1)$，因此仅当$a=1,-1$时需单独进行相容性检查。 若$a\ne\pm1$，则$y=1/(a-1)$、$z=0$和$x=3-1/(a-1)$。在分离零情况之前，切勿除以$a-1$或$a+1$。

在$a=1$处，$0=1$不可能。在$a=-1$处，$y=-1/2$但$z=t$是自由的，给出公共直线$(x,y,z)=(7/2-t,-1/2,t)$。两个系数矩阵都是奇异的；只有第二个方程组是一致的。

特殊向量保持在其直线上

特征向量 是一个非零向量$\mathbf e$，满足$A\mathbf e=\lambda\mathbf e$。其特征值 是标量 $\lambda$。$\mathbf e$的任意非零倍数都是对应同一值的另一个特征向量。 正特征值可拉伸 拉伸或缩短向量。负值还会使其反向；零值将其映射至原点，此时方向未定义。零向量永远不是特征向量，尽管它满足该方程。

求两个特征值及其对应向量

当 $\det(A-\lambda I)=0$ 时，$(A-\lambda I)\mathbf e=\mathbf0$ 存在非零解。这是特征方程 特征方程；使用 $\det(\lambda I-A)=0$ 会得到相同的根。 对于下方矩阵，$\lambda=1$给出$u+v=0$，故选$(1,-1)^T$。对于$\lambda=3$，$u-v=0$，故选$(1,1)^T$。通过乘以$A$逐一验证。

将方法推广到三维

三角矩阵的特征值即为其对角线元素：其特征行列式等于对角因子的乘积。不要通过对原矩阵进行行变换来求特征值；普通行变换不一定能保持特征值不变。 对下方每个根，求解 $(B-\lambda I)\mathbf e=0$。在 $\lambda=3$ 处，第一行给出 $-u+v=0$，第三行给出 $w=0$，因此 $(1,1,0)^T$。

证明幂运算下的性质

从$A\mathbf e=\lambda\mathbf e$开始，而非向量的逆。然后$A^2\mathbf e=A(\lambda\mathbf e)=\lambda^2\mathbf e$；对正整数$n$重复此操作可得$A^n\mathbf e=\lambda^n\mathbf e$。 同样有 $(A+cI)\mathbf e=(\lambda+c)\mathbf e$。若 $A$ 可逆，则 $\lambda\ne0$ 与 $A^{-1}$ 的乘积得到 $A^{-1}\mathbf e=\lambda^{-1}\mathbf e$。正次幂不要求可逆性。

For $B$, the vector $(0,0,1)^T$ has eigenvalue $-1$. Under $B^2$ its eigenvalue is $1$, under $B^3$ it is $-1$, and under $B^{-1}$ it is $-1$. The vector remains non-zero in all these cases.

将每列与其特征值匹配

对角化 写作 $B=QDQ^{-1}$，其中 $D$ 是对角矩阵。将对角矩阵的对角线元素放在 $Q$ 的列中，并将对应的特征值按相同顺序排列在 $D$ 上。 $BQ=QD$ 同时验证了所有三个特征向量方程。各列必须 线性无关，以确保 $Q^{-1}$ 存在。在课程要求的案例中，实数且互异的特征值保证这一点；切勿假设所有矩阵都可对角化。

无需反复乘法即可计算幂

在$(QDQ^{-1})(QDQ^{-1})$中，中间项$Q^{-1}Q$相互抵消。因此$B^n=QD^nQ^{-1}$：仅将$D$的对角元素取幂即可。 对于 $n=0$，这给出 $I$；由于 $B$ 可逆，该公式同样适用于负整数。其上右块说明了为何直接对 $B$ 的各个元素取幂是错误的。

对于之前的$2\times2$矩阵$A$，选取$Q_A=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}$和$D_A=\operatorname{diag}(1,3)$。则

复用向量以应对矩阵变化

多项式$f(B)$具有相同的特征向量，其特征值为$f(\lambda)$。因此$f(B)=Qf(D)Q^{-1}$；不要因为题目询问的是平移或平方矩阵而更改$Q$。 对于 $(B+I)^2$，使用 $D'=\operatorname{diag}(9,16,0)$ 配合相同的 $Q$。它是奇异矩阵但仍可对角化。反复变换后的特征值也不会使原本可逆的 $Q$ 失效。

对于 $(B-2I)^3$，对角线变为 $\operatorname{diag}(0,1,-27)$。对于 $B^{-1}$，它变为 $\operatorname{diag}(1/2,1/3,-1)$。在所有情况下，请保留构建 $Q$ 时使用的顺序 $2,3,-1$。

从特征向量重构矩阵

已知特征向量后，构造 $Q$ 和 $D$，然后计算 $QDQ^{-1}$。各列可以非零常数分别缩放，而不改变所得矩阵。 若 $(1,1)^T$ 具有特征值 $4$ 且 $(1,-1)^T$ 具有特征值 $2$，下方计算得出 $R$。请检查 $R(1,1)^T=4(1,1)^T$ 和 $R(1,-1)^T=2(1,-1)^T$。

矩阵满足自身的方程

凯莱–哈密顿定理 指出方阵满足其特征方程。将变量替换为该矩阵，并将每个标量常数替换为该常数乘以 $I$。 对于$B$，展开三个因式得到$\lambda^3-4\lambda^2+\lambda+6=0$。因此$B^3-4B^2+B+6I=0$，或$B^3=4B^2-B-6I$。

使用题目中指定的矩阵的特征方程。书写$B^3-4B^2+B+6=0$省略了单位矩阵并添加了标量至矩阵上。该定理并非指整个矩阵是特征值。

将高次幂降为低次幂

将$B^3$的恒等式乘以$B$，然后再次替换$B^3$。答案变为仅含$B^2,B,I$的组合，无需再次对角化。 平移后的立方体可以展开，因为$B$和$I$可交换。展开后，利用凯莱-哈密顿定理将三次及以上的所有幂次降阶。

从凯莱-哈密顿定理求逆矩阵

$\det B=-6\ne0$，因此将特征恒等式乘以$B^{-1}$并整理。这给出了关于$B$的多项式形式的逆矩阵；在验证其存在之前，不要先乘以逆矩阵。 对于$2\times2$矩阵$A$，$A^2-4A+3I=0$给出$A^{-1}=(4I-A)/3$。Cayley–Hamilton定理适用于所有矩阵阶数。

逆平方可进一步简化。将$B^3$的恒等式乘以$B^{-2}$： $B-4I+B^{-1}+6B^{-2}=0$. 将$B^{-1}$的表达式代入可得 $B^{-2}=(B^2-10B+25I)/36$.

选择并论证方法

对于三个方程：构造系数矩阵，分离奇异参数值，然后求解、证明不相容性并描述几何形状。对于特征向量：声明非零，求解特征方程并将每个向量与其对应的根匹配。 对于幂次或逆矩阵：选择对角化或凯莱-哈密顿定理，展示中间恒等式并检查结果。仅给出行列式、根列表或最终矩阵可能无法充分解释大部分解题过程。

$C\mathbf x=\mathbf b$ 描述联立方程。$A\mathbf e=\lambda\mathbf e$, $\mathbf e\ne0$ 描述特殊方向。$A=QDQ^{-1}$ 需要可逆的特征向量矩阵。凯莱-哈密顿定理可降低矩阵幂次，当矩阵非奇异时还可求其逆矩阵。

追踪由时间记录的曲线

移动工具可能遵循由$x(t)$和$y(t)$给出的曲线。其斜率是$y$相对于$x$的变化率，而非简单对应于时间$t$的变化率。 微分 提供斜率及其变化率。在$x=0$附近，一个短多项式可以匹配曲线的函数值、斜率和弯曲度，而无需描述整条曲线。

对六个双曲函数求导

对指数定义求导以获得$(\sinh x)'=\cosh x$和$(\cosh x)'=\sinh x$。与普通余弦不同，此处双曲余弦没有负号。 使用商法则或倒数法则对其他四个双曲函数求导。实数域仍排除分母为零的点。

例如$(\tanh x)'=(\cosh^2x-\sinh^2x)/\cosh^2x=\operatorname{sech}^2x$。cosech和coth的导数适用于$x\ne0$。

推导反三角函数的导数

在$y=\sin^{-1}x$中，写出$\sin y=x$并求导：$\cos y\,y'=1$。主值分支具有$\cos y\ge0$，因此$y'=1/\sqrt{1-x^2}$对应$-1<x<1$。 对于$y=\cos^{-1}x$，$-\sin y\,y'=1$，以及在其主值分支上的$\sin y\ge0$。导数为负。同时保留熟悉的反正切导数公式。

这里的上标$-1$表示反函数，而非倒数。反正弦和反余弦函数在$\pm1$处有端点值，但此处无有限导数。

推导反双曲函数的导数

对于$y=\sinh^{-1}x$，对$\sinh y=x$求导得$\cosh y\,y'=1$。由于$\cosh y>0$，使用$\cosh y=\sqrt{1+x^2}$。 反双曲余弦选择$y\ge0$，因此$\sinh y=\sqrt{x^2-1}$。反双曲正切使用$1-\tanh^2y=1-x^2$。记录有限导数存在的开区间。

反双曲余弦在 x=1 处有定义，值为零。其有限导数公式仅适用于 x 大于 1 的情况。

保留内层导数和定义域

链式法则 给出$\dfrac{d}{dx}f(u(x))=f'(u(x))u'(x)$。若不包含内层函数的导数，外层公式即为不完整。 对于$\cosh^{-1}(2x)$，函数需要$x\ge1/2$，但下方的有限差商需要$x>1/2$。对于$\sin^{-1}(2x)$，有限差商需要$|x|<1/2$。

隐式关系一次求导

隐式 关系混合了$x$和$y$。将$y$视为$x$的函数：通过乘积法则对$(y^2)'=2yy'$和$(xy)'=y+xy'$求导。 对于$x^2+xy+y^2=7$，在除法之前收集所有包含$y'$的项。在$(1,2)$处，分母为$5\ne0$且$y'=-4/5$。

再次对隐式关系求导

二阶导数 是$y''=d^2y/dx^2$。再次对未简化的第一个关系式求导；这通常可以避免复杂的商式运算。 对$2x+y+xy'+2yy'=0$求导得到下式。在$(1,2)$处，仅在建立二阶导数方程后代入$y'=-4/5$。

$yy'$ 的导数是 $(y')^2+yy''$，而不仅仅是 $yy''$。斜率公式中的分母为零需要单独分析；它并不能自动证明原曲线在该点不存在。

组合反函数与隐式乘积

对于$y^2-\sinh^{-1}(xy)=1-\ln2$，点$(3/4,1)$位于曲线上因为$\sinh^{-1}(3/4)=\ln2$。设置$p=y'$和$S=\sqrt{1+x^2y^2}$以组织计算。 下式中的第一个关系式在点处给出$p=4/7$。对于二阶导数，先求导再代入：$(y+xp)'=2p+xy''$和$S'=xy(y+xp)/S$。

在 $(3/4,1)$ 处，$S=5/4$ 和 $p=4/7$。第二个关系式变为

平方根因子也包含变量 $y$。若将其仅视为 $x$ 的函数，会丢失一个链式法则项。

将参数导数转换为斜率

参数 描述使用$x=x(t)$和$y=y(t)$。当$x'(t)\ne0$时，$dy/dx=y'(t)/x'(t)$。此处的一撇必须指代你指定的变量。 对于$x=t^2-4$，$y=e^t$，$t>0$，斜率为$e^t/(2t)$。在$x=0$处，所选分支具有$t=2$，因此该点为$(0,e^2)$且其斜率为$e^2/4$。

二阶导数也除以 dx over dt

关于$t$对$dy/dx$求导还不是关于$x$的二阶导数。将该结果再除以$dx/dt$一次。 在工作曲线中，额外因子改变了分母。在$t=2$处，结果为$e^2/32$，而非参数导数$e^2/8$。

根据零点处的导数构造多项式

麦克劳林级数使用对 $x$ 的求导，并在 $x=0$ 处取值。其 $x^n$ 系数为 $f^{(n)}(0)/n!$；不要遗漏阶乘。 要获取到 $x^2$ 项，需在代入前求出 $f(0),f'(0),f''(0)$。对于 $e^x$，这些值均为 $1$，因此前几项为 $1+x+x^2/2$。

匹配导数描述局部行为。这本身并不能证明无穷级数在每一点都等于该函数。

通过微分获得复合展开式

设 $f(x)=e^{1/(x+3)}$ 并写出 $E=e^{1/3}$。链式法则给出 $f'=-(x+3)^{-2}f$；随后需用乘积法则处理 $f''$。 在零点处，$f(0)=E$、$f'(0)=-E/9$ 和 $f''(0)=7E/81$。将最后一个值除以 $2!$ 以获得二次项系数。

对于 $f(x)=\ln(1+x)$，零点处的值涵盖至三阶导数为 $0,1,-1,2$。因此前三项非零项为 $x-x^2/2+x^3/3$。保留阶乘：$2/3!=1/3$。

使用逐次隐函数导数处理 tan

对于 $y=\tan x$，从 $y'=\sec^2x=1+y^2$ 开始。在 $x=0$ 处，$y=0$ 和 $y'=1$；该关系式使后续导数仅用 $y$ 及其导数表示。 接下来的两个导数分别给出 $y''(0)=0$ 和 $y'''(0)=2$。因此 $\tan x=x+x^3/3+\cdots$；不存在常数项或二次项。此处无需一般系数公式。

在参数曲线展开前先定位 x 零点

麦克劳林展开以 $x=0$ 为中心，这并不一定意味着 $t=0$。对于 $x=t^2-4$、$y=e^t$、$t>0$，请使用 $t=2$ 及已获得的导数。 此处 $y(0)=e^2$、$y_x'(0)=e^2/4$ 和 $y_{xx}''(0)=e^2/32$。二次项系数是 $e^2/64$，而非 $e^2/32$。

若缺少分支 $t>0$，$t=\pm2$ 将对应两个具有相同 $x=0$ 的不同点。在赋予单一值 $y(0)$ 之前，需先确定局部分支。

将双曲参数与局部展开联系起来

对于$x=\sinh t$和$y=2t+\cosh t$，一阶导数为$(2+\sinh t)/\cosh t$。由于$\cosh t>0$，对所有实数$t$除以$dx/dt$均有效。 应用商法则，然后再次除以 $\cosh t$。在 $x=0$ 处，$t=0$，故 $y=1$、$dy/dx=2$ 和 $d^2y/dx^2=1$。

区分近似与收敛性

有限Taylor多项式是局部近似；无穷级数需要收敛区间。对于$\ln(1+x)$，该区间为$-1<x\le1$；对于$e^x$及正弦、余弦函数，其为全体实数$x$。 在收敛区间外，级数可能 发散，因此增加项未必能改善近似效果。即使在收敛区间内，收敛本身也不保证每一步有限项都能改进近似精度。

图中绘制的误差为有限和与 ln(1+x) 之间的绝对差值。两个函数值均有定义；仅当 x=0.5 时位于级数收敛区间内。

在微分前选定变量

对于反函数，需说明其分支和有限导数域，再应用内部导数。对于隐式关系，需保留每个 $y'$ 因子，并对 $y''$ 再次使用乘积法则。 对于参数曲线，针对每个关于 $x$ 的导数除以 $dx/dt$。对于麦克劳林展开，定位 $x=0$，计算所需导数，并除以阶乘。

反函数可能在有限导数不存在处存在取值。参数值不必等于横坐标。二阶参数导数不必等于 $d^2y/dx^2$。辨析这些区别可避免在错误点套用正确公式。

长度与面积是不同的积分

弯曲条带需要沿其长度铺设材料；绕轴旋转则生成需粉刷的表面。这两者都不简单地等同于其图像下的面积。 首先确定所测量的量。然后选择原函数、标准形式或代换，并注意保留积分限及任何符号限制。

积分双曲函数

逆向已知导数来积分双曲函数。不定积分需加上常数$C$；当对数的真数可能为负时，使用绝对值。 对假设的答案求导以验证。参数中的因子同样重要：$\int\cosh(3x)\,dx=\sinh(3x)/3+C$。

coth 和 cosech 的公式适用于排除 $x=0$ 的区间。有用的乘积形式包括 $\int\operatorname{sech}^2x\,dx=\tanh x+C$ 和 $\int\operatorname{sech}x\tanh x\,dx=-\operatorname{sech}x+C$。

匹配三种平方根形式

针对$a>0$，在选择反函数之前先匹配平方根下的表达式。带有正号的根式使用反双曲正弦函数；交换符号会同时改变反函数和实数定义域。 下方的反双曲余弦答案使用了正分支$x>a$。在任一实数区间$|x|>a$上，对数表达式$\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$给出的是原函数。

代换前先配方

配方法揭示出标准形式。此处$x^2+4x+13=(x+2)^2+9$，因此通过平移可使反双曲正弦形式显现。 如果$x^2$的系数不为1，也要仔细提取公因式。通过对最终答案求导来检查外部乘数。

使用双曲代换处理根式

针对$\sqrt{x^2+4}$，令$x=2\sinh u$。此时$dx=2\cosh u\,du$且非负平方根为$2\cosh u$，因为$\cosh u>0$。 使用$\cosh^2u=(1+\cosh2u)/2$并返回到$x$。对于定积分，可以转换两个积分限，或者在求值前返回到$x$。

从$x=0$到$x=3/2$，新限值为$u=0$和$u=\ln2$。精确积分为$2\ln2+15/8$。

选择合适的三角函数分支

三角代换$x=2\sin\theta$得到$\sqrt{4-x^2}=2|\cos\theta|$。选择$-\pi/2\le\theta\le\pi/2$使得$\cos\theta\ge0$成立，然后再去掉绝对值。 对于下方的定积分，$x=0,1$变为$\theta=0,\pi/6$。倍角公式用于积分$\cos^2\theta$。

复用分部积分法和半角公式

对于$I=\int e^x\sin x\,dx$，两次分部积分可回到$I$。请收集该重复出现的积分项，而非从头开始相同的计算。 对于正弦和余弦的有理表达式，$t=\tan(x/2)$给出$\sin x=2t/(1+t^2)$、$\cos x=(1-t^2)/(1+t^2)$和$dx=2dt/(1+t^2)$。请在不穿过$\pi$奇数倍数的分支上进行运算。

推导三角函数递推公式

递推公式 linking an integral to one with a smaller index. 对于$I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^nx\,dx$，在分部积分中取用$u=\sin^{n-1}x$和$dv=\sin x\,dx$。 对于$n\ge2$，边界项为零。将$\cos^2x$替换为$1-\sin^2x$会同时引入$I_{n-2}$和$I_n$；请在除法之前先收集后者。

基础情形为$I_0=\pi/2$和$I_1=1$。因此$I_4=(3/4)(1/2)I_0=3\pi/16$。偶数下标与奇数下标对应不同的基础情形。

保留非零边界项

对于$J_n=\int_0^1x^ne^{2x}\,dx$，对$e^{2x}$进行积分并对$x^n$进行微分。在$x=1$处，边界项为$e^2/2$，而非零。 下方的递推关系需要$n\ge1$作为基础。请直接计算$J_0$：下界端点贡献了$-1/2$。若在$n=0$处应用递推关系则会丢失该项。

两次分部积分可减少指数两级

设定$K_n=\int_0^2(2-x)^n\sinh x\,dx$。第一次分部积分得到$-2^n+n\int_0^2(2-x)^{n-1}\cosh x\,dx$。 对于$n\ge2$，第二次分部积分的边界项为零并给出$K_n=-2^n+n(n-1)K_{n-2}$。基础积分仍需直接计算。

提示可能建议对$\tan x\sec^{n-2}x$求导。其导数为$(n-1)\sec^nx-(n-2)\sec^{n-2}x$。从$0$到$\pi/4$积分可得，对于$n\ge2$，

此处$H_0=\pi/4$、$H_2=1$和$H_4=4/3$。端点项至关重要。

选择不等式前先画出矩形

对于正的递减函数，左端点矩形高估积分值，右端点矩形低估积分值。每个矩形的面积为高乘以宽；仅有高度并非其面积。 对于$f(x)=1/(1+x)$在$[0,2]$上取四个矩形的情形，有$\Delta x=1/2$。下方求和式夹逼精确积分$\ln3$。

区分单位宽度与收缩宽度的求和

在$1/x$下，单位宽度矩形对于整数$n\ge2$和$\ln(n+1)<\sum_{r=1}^n1/r<1+\ln n$分别给出相应结果。对于上界，保持首项$1$独立，并将项$r=2,\ldots,n$与来自$r-1$至$r$的条带进行比较。 当$n$在$[0,1]$上等分时，宽度变为$1/n$。对于连续函数，黎曼和 tends to the integral; 需同时识别宽度和采样点。

对于递增函数，左右不等号方向相反。切勿在未检查实际区间上的导数或单调性之前照搬递减函数的示意图。

重写求和式为高乘宽的形式

将每个分母除以$n^2$以暴露采样点$r/n$。下方求和式是右端点矩形求和，而非$n$乘以极限积分。 由于$f(x)=1/(4+x^2)$在$[0,1]$上递减，有限和小于积分值。左和与右和之间的间隙为$(f(0)-f(1))/n=1/(20n)$，且趋于零。

从 ds 求笛卡尔弧长

微小位移的长度为$ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$。对于单次遍历且$x$递增的情况，弧长 为$L=\int_a^b\sqrt{1+(dy/dx)^2}\,dx$；它并非$\int y\,dx$。 对于 $y=\cosh x$、$0\le x\le\ln2$、$\sqrt{1+\sinh^2x}=\cosh x>0$。因此 $L=[\sinh x]_0^{\ln2}=3/4$。

对于 $y=x^2$，$0\le x\le1$，在 $\int_0^1\sqrt{1+4x^2}\,dx$ 中使用双曲代换可得 $L=\sqrt5/2+\sinh^{-1}(2)/4$。端点之间的直线距离为 $\sqrt2$，该值更小。

使用速度计算参数曲线

对于 $x=x(t)$ 和 $y=y(t)$，有 $ds=\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}\,dt$。请验证所选参数区间是否恰好描绘出所需弧线一次。 对于 $x=3(t-\sin t)$、$y=3(1-\cos t)$、$0\le t\le\pi$，由于半角正弦值非负，其速率为 $3\sqrt{2-2\cos t}=6\sin(t/2)$。

对于 $x=\ln(\cosh2t)$，$y=\tan^{-1}(\sinh2t)$，$0\le t\le\ln2$，导数分别为 $2\tanh2t$ 和 $2\operatorname{sech}2t$。利用恒等式 $\tanh^2+\operatorname{sech}^2=1$ 可将速率化为 $2$，因此 $L=2\ln2$。

在极坐标弧长中包含两项

对于极坐标曲线 $r=r(\theta)$，径向和切向变化分别贡献：$ds^2=dr^2+r^2d\theta^2$。因此 $L=\int_\alpha^\beta\sqrt{r^2+(dr/d\theta)^2}\,d\theta$，其中角度单位为弧度。 对于 $r=2(1+\cos\theta)$ 在 $0\le\theta\le\pi$ 上，平方根结果为 $4|\cos(\theta/2)|=4\cos(\theta/2)$。该区间恰好描绘上半圆一次；其长度为 $8$。

求旋转曲面面积前先确定半径

旋转曲面面积 的窄带面积为$2\pi\rho\,ds$，其中$\rho\ge0$为到旋转轴的距离。绕$x$轴旋转使用$|y|$；绕$y$轴旋转使用$|x|$。 对于 $y=x+1$、$0\le x\le2$、$ds=\sqrt2\,dx$。即使弧线相同，改变旋转轴也会改变半径。

$\pi\int y^2\,dx$ 是体积公式，而非表面积公式。负坐标不会导致负面积。教学大纲要求掌握笛卡尔坐标系和参数形式的曲面，而非直接以极坐标形式给出的曲面。

在曲面积分中保留参数和速率

对于参数弧线，使用 $S_x=2\pi\int|y(t)|\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt$ 或将 $|y(t)|$ 替换为 $|x(t)|$ 以对应 $y$-轴。平方根形式的速率可处理坐标递减的情况，而不会产生负长度。 对于 $x=2\cos t$、$y=2\sin t$、$0\le t\le\pi/2$，其速率为 $2$。绕 $x$-轴旋转得到半径为 $2$ 的半球体；绕 $y$-轴旋转结果相同。

代换方向反转时更改积分限

曲面积分在几何设定后可能仍需进一步代换。对于$y=\tanh x$，将$0\le x\le\tanh^{-1}(1/3)$绕$x$轴旋转得到$2\pi\int\tanh x\sqrt{1+\operatorname{sech}^4x}\,dx$。 代入 $u=\sqrt{1+\operatorname{sech}^4x}$。然后对 $x>0$ 取 $du/dx=-2\operatorname{sech}^4x\tanh x/u<0$。反转变换后的积分限可消除负号。

在上限 $x$ 处，$\tanh x=1/3$，因此 $\operatorname{sech}^2x=8/9$ 和 $u=\sqrt{145}/9$。在积分前拆分 $u^2/(u^2-1)=1+1/(u^2-1)$。变换后的积分为正值。

建立表达式、化简、计算并检验

对于代换与化简步骤，需展示变换后的微分、端点项及有效索引范围。对于矩形法，应画出比较图并在取极限前包含矩形宽度。 对于弧长或表面积，先写出$ds$，选定参数区间和非负半径，然后积分。一个合理的原函数无法弥补错误的几何设定。

通过求导验证不定积分结果。在允许的最低索引处验证递推公式。将级数结果与其示意图对照。尽可能将长度与弦长对比，将表面积与简单几何案例对比。

重复旋转与缩放变换

想象一支箭头在每一步之后都会发生旋转和长度变化。非零复数的乘法结合了这两种变化；幂运算则重复这些变换。 棣莫弗定理将这些幂与角度联系起来。它还能帮助将三角恒等式、多项式方程或两个实级数转化为一次复数计算。

乘以 i 保持长度不变。一般的非零乘数可以同时改变长度和角度。

模长相乘，辐角相加

将一个非零数写成极坐标形式 $z=r\operatorname{cis}\theta$，其中$\operatorname{cis}\theta=\cos\theta+i\sin\theta$。其模为$r>0$，其辐角在模$2\pi$意义下定义。 乘法使模相乘且辐角相加；除法使模相除且辐角相减。根据题目要求调整最终角度至指定区间。

应用正整数与负整数次幂

对于整数$n$，$z^n=r^n\operatorname{cis}(n\theta)$。负指数需要$z\ne0$；取倒数会反转角度并将模替换为其倒数。 对于$z=1+i=\sqrt2\operatorname{cis}(\pi/4)$，$z^6=8\operatorname{cis}(3\pi/2)=-8i$。此外$z^{-2}=(1/2)\operatorname{cis}(-\pi/2)=-i/2$也成立。

幂运算使辐角相乘，而非分别对实部和虚部进行乘方。零没有辐角：其正整数次幂可直接处理，但零的负整数次幂未定义。

通过数学归纳法证明正整数定理

Use mathematical induction 数学归纳法. The claim is true at $n=1$. Assume $(\operatorname{cis}\theta)^k=\operatorname{cis}(k\theta)$ for an arbitrary positive integer $k$. 将此假设等式乘以$\operatorname{cis}\theta$。利用角度加法公式可得下一情形，因此基础情形与归纳步骤证明了所有正整数情形。

当$m>0$时，$(\operatorname{cis}\theta)^{-m}=1/\operatorname{cis}(m\theta)=\operatorname{cis}(-m\theta)$。此结论将已证结果推广至负整数，但并未声称归纳过程本身覆盖了负数。

比较实部与虚部

Expand $(c+is)^n$ with $c=\cos\theta$, $s=\sin\theta$, then compare real parts with $\cos n\theta$ and imaginary parts 虚部 with $\sin n\theta$. 对于五次幂，在实部中将$s^2$替换为$1-c^2$，在虚部中将$c^2$替换为$1-s^2$。展示代入过程而非直接引用最终恒等式。

立方体的实部同理给出$\cos3\theta=c^3-3cs^2=4c^3-3c$。

通过作比得到正切公式

若$t=\tan\theta$，则将$(\cos\theta+i\sin\theta)^3$的虚部除以其实部，再将分子和分母同除以$\cos^3\theta$。 两个正切值必须均有意义。因此$\cos\theta\ne0$且分母$1-3t^2\ne0$；通过交叉相乘得到的方程仍需进行上述验证。

用多个角表示幂

代入$z=\operatorname{cis}\theta$，得到$z+z^{-1}=2\cos\theta$和$z-z^{-1}=2i\sin\theta$。展开幂次并将$z^m$与$z^{-m}$配对。 下方的四次方展开将$\sin^4\theta$转化为常数加多角余弦的形式。当幂为奇数时保留$i^n$的符号。

五次幂给出$16\sin^5\theta=\sin5\theta-5\sin3\theta+10\sin\theta$。仅在推导此式后，方可取倒数：对于$\sin\theta\ne0$，

将多项式转化为角度方程

对于$32x^5-40x^3+10x-1=0$，代入$x=\cos\theta$。五倍角恒等式给出$2\cos5\theta-1=0$。 选择$0\le\theta\le\pi$，此处余弦函数是一一对应的。在$[0,5\pi]$中求解$5\theta=\pm\pi/3+2k\pi$，得到以下五个不同的根。五个互异且已验证的根足以确定一个五次多项式。

在较大区间上使用正弦函数列出五个角度，并不自动产生五个互异根。需核对实际的正弦/余弦值及多项式次数；应剔除重复项，而非有效但不同的根。

处理倒数三角函数的根

要用正割表示根，设 $x=\sec\theta$，从而得到 $1/x=\cos\theta$。仅在从原多项式中排除 $x=0$ 之后，才除以 $x$ 的幂。 对于$x^5-10x^4+40x^2-32=0$，零不是根。除以$x^5$得到$1-2\cos5\theta=0$，因此根是前一步骤中相同五个角度的正割值。

有理指数需要分支约定

对于$z=r\operatorname{cis}\theta\ne0$及互质整数$p,q$与$q>0$，有理指数的复数分支在使用所有等价辐角后，再将其除以$q$。 指定的主值选择一个分支；求解方程以获取所有根时必须保留所有$q$的值。负数$p$也需要$z\ne0$。不要使用未约分的分数来决定分支数量。

对于$z=8$和指数$2/3$，三个解对应$w^3=64$：它们分别是$4\operatorname{cis}(0)$、$4\operatorname{cis}(2\pi/3)$和$4\operatorname{cis}(4\pi/3)$。其中熟悉的实数值$4$即为其中之一。

求非单位数的根

为了解$w^n=R\operatorname{cis}\Theta$关于$R>0$的方程，使用模$R^{1/n}$和辐角$(\Theta+2k\pi)/n$、$k=0,\ldots,n-1$。在获得完整集合后，将每个辐角转换到要求的区间。 对于$w^3=8i$，根的模为$2$且辐角为$\pi/6,5\pi/6,-\pi/2$。取倒数得到$(8i)^{-1/3}$的三个值，其模为$1/2$且辐角相反。

利用单位根

$n$ 单位根 满足$z^n=1$：即$z_k=\operatorname{cis}(2k\pi/n)$（对应$k=0,\ldots,n-1$）。它们位于 单位圆 上，彼此间隔$2\pi/n$弧度或$360^\circ/n$。 对于 $n>1$，它们的和为零。它们给出了 $z^n-1$ 的线性因式 $z-z_k$。若 $\omega^3=1$ 且 $\omega\ne1$，则 $1+\omega+\omega^2=0$；在满足非零条件之前，不要约去 $\omega-1$。

检查幂是否遍历所有根

本原单位根在回到$1$之前会遍历所有$n$根。对于$\omega=\operatorname{cis}(2\pi/n)$而言这是一个完整循环；$\omega$的某个幂次可能具有更短的循环周期。 对于 $n=6$，$\omega^2$ 的幂仅访问 $1,\omega^2,\omega^4$ 然后重复。对于任意整数 $m$，下方 $m$ 次幂的总和为 $6$（当 $6$ 整除 $m$ 时），否则为零。

求和前先分别添加 C 和 iS

设 $C=\sum_{r=0}^n\cos(r\theta)$ 且 $S=\sum_{r=0}^n\sin(r\theta)$。则 $C+iS$ 是一个公比为 $z=\operatorname{cis}\theta$ 的等比级数。 对于$z\ne1$，先对级数求和，再将复指数化为半角形式。当$\theta$是$2\pi$的倍数时，使用原始求和结果：$C=n+1$、$S=0$。

包含一个几何权重

对于 $C_n=\sum_{r=1}^n\rho^r\cos(r\theta)$ 和 $S_n=\sum_{r=1}^n\rho^r\sin(r\theta)$，取 $q=\rho\operatorname{cis}\theta$。有限和为 $q(1-q^n)/(1-q)$（针对 $q\ne1$）。 乘以$1-\overline q$使分母为实数，然后比较各部分。结合$D=1-2\rho\cos\theta+\rho^2$，虚部为下式表达式；从同一分子中求得实部。

对于$q=(1+i)/2$和$n=4$，涉及$q/(1-q)=i$和$q^4=-1/4$。因此$\sum_{r=1}^4q^r=5i/4$：余弦加权求和为$0$，正弦加权求和为$5/4$。

使用二项式展开处理二项式权重

对于$C=\sum_{r=0}^n\binom nr\cos(r\theta)$和$S=\sum_{r=0}^n\binom nr\sin(r\theta)$，二项式展开给出$C+iS=(1+e^{i\theta})^n$。 在 $-\pi<\theta<\pi$ 上，$1+e^{i\theta}=2\cos(\theta/2)e^{i\theta/2}$ 具有非负模长。应用棣莫弗定理，然后比较实部和虚部。从 $r=1$ 开始求和仅从 $C$ 中移除 $1$。

对于$n=6$和$\theta=\pi/3$，涉及$1+e^{i\theta}=\sqrt3e^{i\pi/6}$，故$C+iS=27e^{i\pi}=-27$成立。因此$C=-27$、$S=0$适用于$r=0,\ldots,6$。

选取有依据的无穷级数极限

若$|q|=\rho<1$，且$q^n\to0$与来自$r=1$的复等比级数趋于$q/(1-q)$，则在利用该收敛条件后取实部和虚部。 借助实分母$D=1-2\rho\cos\theta+\rho^2$，可得以下公式。对于$q=(1+i)/2$，无穷和为$i$，因此$C=0$、$S=1$。

当$|q|\ge1$时，有限几何公式不能证明无穷级数的有效性。在丢弃末项前需检查收敛性。特殊情形$q=1$同样会使有限商未定义，必须直接计算。

通过微分降低索引

对有限正弦和关于$\theta$求导得到$\sum_{r=1}^nr\rho^r\cos(r\theta)$。或者对有限几何多项式应用$q\,d/dq$。 下式结果利用了$n\rho^n\to0$，在$|q|<1$处具有有依据的极限。这是在取极限之前使用有限恒等式，而非假设无穷级数总可以逐项求导。

在$q=i/2$处，加权极限求和为$-8/25+6i/25$。因此加权余弦求和为$-8/25$，加权正弦求和为$6/25$。

选择与任务匹配的复数表达式

对于幂运算，需说明模长、辐角及分支条件。对于三角恒等式，应先展开再选取各部分。对于多项式根，需选定角度区间，排除无效除法并统计不同值的个数。 对于求和，需正确选择几何或二项式权重，合并$C+iS$，并保留特例及收敛条件。对于单位根，需检查其幂是否生成完整循环还是更短的循环。

乘法结合了缩放与旋转。棣莫弗定理将幂次与角度联系起来。比较各部分可导出恒等式与求和公式；保留所有允许的参数则得到完整的根集。

平衡进入与离开的量

• 一个容器内盛有 50 升充分混合的液体。每分钟，有 10 升液体流入，其中含有 2 克盐，同时有 10 升液体流出。若 $M$ 表示以克为单位的盐的质量，$t$ 表示以分钟为单位的时间，则流出液带走 $10(M/50)=M/5$ 克盐/分钟。
• 微分方程 是 $M'=2-M/5$。它联系了一个函数与其变化率。我们将求出质量，利用初始质量并检验长时间后的情况。

将一阶方程化为线性形式

• 一阶线性方程 的形式为 $y'+P(x)y=Q(x)$。首先除以 $y'$ 的系数，前提是在该区间上其不为零。此处撇号表示对自变量求导。
• 对于 $2xy'-4y=2x^3$，除法得 $y'-2y/x=x^2$，因此应取 $P=-2/x$，而非 $-4$。可选取如 $x>0$ 这样的区间；在未经检查原方程的情况下，不可将结果延伸至跨越 $x=0$ 的区域。

根据乘积法则构建积分因子

• 我们需要$\mu y'+\mu Py=(\mu y)'$。乘积法则要求$\mu'=P\mu$，从而得到积分因子$\mu=e^{\int P\,dx}$。任何非零常数倍均可；选择最简单的那个。
• 各项同乘 $\mu$，积分后除以 $\mu$。在通解中保留一个任意常数：

完成代数积分因子的示例

• 对于 $y'-2y/x=x^2$ 在区间 $x>0$ 上，选择 $\mu=e^{-2\ln x}=x^{-2}$。相乘后得 $(x^{-2}y)'=1$，而非 $x^2$。
• 积分得 $x^{-2}y=x+C$，故 $y=x^3+Cx^2$。若 $y(1)=2$，则 $C=1$ 且 $y=x^3+x^2$。代入后可得 $2xy'-4y=2x^3$。

令积分因子揭示标准积分

• 考虑 $y'-\dfrac{x+2}{(x+2)^2+9}y=1$，其中 $y(1)=0$。分子恰好是分母导数的一半。因此 $\mu=((x+2)^2+9)^{-1/2}$ 且

• 使用上一节中的反双曲积分。由初始条件确定常数：

此处 $\sinh^{-1}$ 指反双曲正弦函数，而非倒数。

在指定区间使用双曲函数因子

• 对于 $y'+y\coth x=\cosh x$ 在区间 $x>0$ 上，$\int\coth x\,dx=\ln(\sinh x)$。选择 $\mu=\sinh x$，则有 $(y\sinh x)'=\sinh x\cosh x$。
• 因此 $y\sinh x=\tfrac12\sinh^2x+C$ 且 $y=\tfrac12\sinh x+C\operatorname{csch}x$。若 $y(\ln2)=1$，可用 $\sinh(\ln2)=3/4$ 求得 $C=15/32$。该方程本身在 $x=0$ 处无定义。

分离齐次解与特解部分

• 对于线性方程 $L[y]=f(x)$，余函数（CF）求解 $L[y]=0$。特积分（PI）是 $L[y]=f(x)$ 的任意一个解。线性性质给出 $y=\mathrm{CF}+\mathrm{PI}$。
• 此方法同样适用于一阶情形：对于 $y'+2y=e^x$，CF 为 $=Ce^{-2x}$，PI 为 $=e^x/3$。特解是在确定其任意常数后的完整解；它并非 PI 的同义词。

找出所有三种齐次解的形式

• 对于具有常数系数的$ay''+by'+cy=0$和$a\ne0$，代入$y=e^{mx}$得到辅助方程$am^2+bm+c=0$。使用两个独立项，包括重根所需的额外$x$。
• 以下示例涵盖单根、重根及共轭复根的情形：

匹配多项式特解中的每一项幂次

• 对于 $y''+y'-2y=2x^2+3x+1$，尝试 $y_p=ax^2+bx+c$。即使右端项省略了某一项，也必须包含所有较低次幂。代入 $y_p'=2ax+b$ 和 $y_p''=2a$。
• 从最高次幂开始匹配系数：

因此得到 $a=-1$、$b=-5/2$、$c=-11/4$ 和 $y_p=-x^2-5x/2-11/4$。

尝试指数函数并代入其导数

• 对于 $y''+2y'+5y=4e^{-x}$，尝试 $y_p=ke^{-x}$。其导数为 $-ke^{-x}$ 和 $ke^{-x}$，故 $(1-2+5)ke^{-x}=4e^{-x}$ 和 $k=1$。
• 将其与复数根的齐次解结合。若$y(0)=y'(0)=0$，则全解为$y=e^{-x}(1-\cos2x)$。导数条件必须同时包含特解的导数和齐次解的导数。

在试探解中同时保留正弦和余弦项

• 对于 $y''+2y'+2y=2\sin2x+6\cos2x$，尝试 $y_p=a\sin2x+b\cos2x$。微分会混合这两个函数，即使激励源仅含其中一种。
• 代入并匹配系数得：

于是有 $y_p=\sin2x-\cos2x$，完整解需加上 $e^{-x}(A\cos x+B\sin x)$。

修正已包含在齐次解中的试探解

• 若试探解位于齐次解中，应用$L$将得到零，因此无法使系数与非零右侧匹配。将试探解乘以$x$直至其独立于齐次解。这是试探法中的共振调整。
• 对于$y''+4y=\sin2x$，$\sin2x$属于齐次解。采用$y_p=kx\cos2x$；代入后得$y_p''+4y_p=-4k\sin2x$，故$k=-1/4$。因此特解$=-x\cos2x/4$。

在选择 x 的幂次前先计算重复重叠次数

• 对于 $y''-4y'+4y=e^{2x}$，辅助根 $2$ 是重根。$e^{2x}$ 和 $xe^{2x}$ 已经出现在通解 CF 中，因此试探解 $y_p=kx^2e^{2x}$ 无效。
• 求导并代入可得$y_p''-4y_p'+4y_p=2ke^{2x}$。因此$k=1/2$且

即使形式陌生也要使用给定的特解形式

• 题目可能给出标准多项式/指数/正弦-余弦列表之外的PI形式。对该形式求导，代入方程求解其系数；切勿猜测额外的函数族。
• 已知$y_p=k/x$对应$y''+y=2/x^3+1/x$在$x>0$上，则$y_p''=2k/x^3$。代入得$2k/x^3+k/x=2/x^3+1/x$，因此$k=1$。通解为$A\cos x+B\sin x+1/x$。

对通解应用边界条件

• 回到$y''+y'-2y=2x^2+3x+1$。其全解为$Ae^x+Be^{-2x}-x^2-5x/2-11/4$。在应用$y(0)=y'(0)=0$之前先求导。
• 条件给出$A+B=11/4$和$A-2B=5/2$，因此$A=8/3$、$B=1/12$。两个独立条件通常确定两个常数；某些边界条件可能不一致或导致某个常数自由。

解释瞬态响应与稳态响应

• 对于$y''+2y'+2y=2\sin2x+6\cos2x$，暂态项为$e^{-x}(A\cos x+B\sin x)$。无论有限初值常数为何，当$x\to\infty$时该项趋于零。
• 稳态响应为$y\approx\sin2x-\cos2x=\sqrt2\sin(2x-\pi/4)$。振幅为$\sqrt2$，角频率为$2$，相对于$\sin2x$的相位滞后为$\pi/4$。正的辅助根实部将阻止此衰减论证。

利用链式法则更换自变量

• 若$x=e^t$，写出$Y(t)=y(e^t)$和$t=\ln x$，从而得$x>0$。链式法则给出$Y_t=xy_x$；再微分一次得$Y_{tt}=xy_x+x^2y_{xx}$。
• 因此正确的替换是$x^2y_{xx}=Y_{tt}-Y_t$，而不仅仅是$Y_{tt}$：

求解变换后的方程并换回原变量

• 在$x^2y''-3xy'+4y=x^2$中使用$x=e^t$。变换后的方程为$Y_{tt}-4Y_t+4Y=e^{2t}$，其中包含刚刚求得的共振解。
• 在应用所述条件之前，先恢复为原始变量。由于 $y(1)=0$ 和 $y'(1)=1$，$A=0$，$B=1$：

使用 y=ux 分离变量

• 已知 $xy'=y+\sqrt{4x^2+y^2}$ 和 $y(1)=0$，处理 $x>0$ 并设定 $y=ux$。乘积法则给出 $y'=u+xu'$。此外，$\sqrt{x^2(4+u^2)}=x\sqrt{4+u^2}$ 在该区间上成立。
• 约去 $xu$ 后，使用可分离变量法进行积分：

该条件给出 $C=0$，因此 $u=2\sinh(\ln x)=x-1/x$ 和 $y=x^2-1$。请检查原方程中的正平方根符号。

求和代换可暴露丢失的解

• 已知 $y'=(1+2x+2y)/(2x+2y-1)$，令 $z=x+y$。则 $z'=1+y'=4z/(2z-1)$。对于 $z\ne0$，对 $(1/2-1/(4z))\,dz=dx$ 进行积分。
• 当 $y(1)=0$ 时，局部分支具有 $z>1/2$，结果为

除以 $z$ 会丢失单独的解 $z=0$，或 $y=-x$，后者不满足此初始条件。原方程在 $z=1/2$ 处无定义。

用模型问题自身的量回答问题

• 对于水箱方程$M'+M/5=2$，积分因子为$e^{t/5}$，由此得$M=10+Ce^{-t/5}$。初始时注入的是纯水，意味着$M(0)=0$，即$M=10(1-e^{-t/5})$克。
• 达到极限质量一半的时间为 $t=5\ln2$ 分钟。当 $t\to\infty$ 时，溶质质量为 $M\to10$ 克，流入/流出盐速率均趋近于每分钟 2 克。该模型假设体积恒定、输入固定且混合均匀即时完成。

选择方法并验证原方程

• 在一阶线性方程选择积分因子前需先归一化。对于常系数情况，求齐次通解（CF），选取并检验特解（PI），相加后应用所有条件。对于给定代换，需同时变换导数和变量。
• 对最终答案求导并代入原方程，检验条件，保留允许区间，并解释任何单位、极限或模型假设。正确的变换方程尚不是原始变量下的解。

• 学习双曲恒等式和导数,并在积分中用反双曲函数。
• 把一个线性微分方程解成余函数 $+$ 特积分,然后应用边界条件。
• 用棣莫弗定理求复数的幂和根,并推导三角恒等式。
• 通过一个陈述的替换把一个积分化到一个标准形式。