Khám phá Dữ liệu Hai biến số

Hiểu biết bền vững (VAR-1): Vì sự biến thiên có thể ngẫu nhiên hoặc không, nên những kết luận đều mang tính bất định.

Mục tiêu học tập VAR-1.D: Xác định các câu hỏi cần trả lời về các mối quan hệ tiềm năng trong dữ liệu. [Kỹ năng 1.A]

• VAR-1.D.1 Các mẫu hình và mối liên hệ rõ ràng trong dữ liệu có thể mang tính ngẫu nhiên hoặc không.

Hiểu biết bền vững (UNC-1): Các biểu đồ và số liệu thống kê giúp chúng ta xác định và biểu diễn các đặc điểm chính của dữ liệu.

Mục tiêu học tập UNC-1.P: So sánh các biểu diễn số và đồ thị cho hai biến định tính. [Kỹ năng 2.D]

• UNC-1.P.1 Biểu đồ cột đặt cạnh nhau, biểu đồ cột phân đoạn, và biểu đồ mosaic là các ví dụ về biểu đồ cột cho một biến định tính, được phân tách theo các danh mục của một biến định tính khác.
• UNC-1.P.2 Các biểu diễn đồ thị của hai biến định tính có thể được sử dụng để so sánh các phân phối và/hoặc xác định xem các biến có liên quan với nhau hay không.
• UNC-1.P.3 Bảng hai chiều, còn gọi là bảng liên hệ, được sử dụng để tóm tắt hai biến phân loại. Các ô trong bảng có thể chứa số liệu tần suất hoặc tần suất tương đối.
• UNC-1.P.4 Tần suất tương đối chung là tần suất của một ô chia cho tổng số của toàn bộ bảng.

Hiểu biết bền vững (UNC-1): Các biểu đồ và số liệu thống kê giúp chúng ta xác định và biểu diễn các đặc điểm chính của dữ liệu.

Mục tiêu học tập UNC-1.Q: Tính toán thống kê cho hai biến phân loại. [Kỹ năng 2.C]

• UNC-1.Q.1 Tần suất tương đối biên là tổng các hàng và cột trong bảng hai chiều chia cho tổng số của toàn bộ bảng.
• UNC-1.Q.2 Tần suất tương đối điều kiện là tần suất tương đối của một phần cụ thể trong bảng liên hệ (ví dụ: tần suất ô trong một hàng chia cho tổng số của hàng đó).

Mục tiêu học tập UNC-1.R: So sánh thống kê cho hai biến phân loại. [Kỹ năng 2.D]

• UNC-1.R.1 Các thống kê tóm tắt cho hai biến phân loại có thể được sử dụng để so sánh phân phối và/hoặc xác định xem các biến có liên quan với nhau hay không.

Hiểu biết bền vững (UNC-1): Các biểu đồ và số liệu thống kê giúp chúng ta xác định và biểu diễn các đặc điểm chính của dữ liệu.

Mục tiêu học tập UNC-1.S: Biểu diễn dữ liệu định lượng hai biến bằng biểu đồ phân tán. [Kỹ năng 2.B]

• UNC-1.S.1 Một tập dữ liệu định lượng hai biến bao gồm các quan sát của hai biến định lượng khác nhau trên các cá thể trong một mẫu hoặc quần thể.
• UNC-1.S.2 Biểu đồ phân tán hiển thị hai giá trị số cho mỗi quan sát, một giá trị tương ứng với giá trị trên trục $x$ và một giá trị tương ứng với giá trị trên trục $y$.
• UNC-1.S.3 Biến giải thích là biến mà các giá trị của nó được sử dụng để giải thích hoặc dự đoán các giá trị tương ứng của biến phản hồi.

Hiểu biết cốt lõi (DAT-1): Các mô hình hồi quy có thể cho phép chúng ta dự đoán phản hồi trước những thay đổi của biến giải thích.

Mục tiêu học tập DAT-1.A: Mô tả các đặc điểm của biểu đồ phân tán. [Kỹ năng 2.A]

• DAT-1.A.1 Một mô tả về biểu đồ phân tán bao gồm hình dạng, hướng, độ mạnh và các đặc điểm bất thường.
• DAT-1.A.2 Hướng của mối liên hệ được hiển thị trong biểu đồ phân tán, nếu có, có thể được mô tả là dương tính hoặc âm tính.
• DAT-1.A.3 Mối liên hệ dương tính có nghĩa là khi giá trị của một biến tăng lên, giá trị của biến kia cũng có xu hướng tăng lên. Mối liên hệ âm tính có nghĩa là khi giá trị của một biến tăng lên, giá trị của biến kia có xu hướng giảm xuống.
• DAT-1.A.4 Hình dạng của mối liên hệ được hiển thị trong biểu đồ phân tán, nếu có, có thể được mô tả là tuyến tính hoặc phi tuyến tính ở mức độ khác nhau.
• DAT-1.A.5 Độ mạnh của mối liên hệ là mức độ các điểm riêng lẻ tuân theo một mẫu cụ thể, ví dụ như tuyến tính, và có thể được thể hiện trong biểu đồ phân tán. Độ mạnh có thể được mô tả là mạnh, trung bình hoặc yếu.
• DAT-1.A.6 Các đặc điểm bất thường của biểu đồ phân tán bao gồm các cụm điểm hoặc các điểm có sự chênh lệch tương đối lớn giữa giá trị của biến phản hồi và giá trị dự đoán cho biến phản hồi đó.

Hiểu biết cốt lõi (DAT-1): Các mô hình hồi quy có thể cho phép chúng ta dự đoán phản hồi trước những thay đổi của biến giải thích.

Mục tiêu học tập DAT-1.B: Xác định hệ số tương quan cho mối quan hệ tuyến tính. [Kỹ năng 2.C]

• DAT-1.B.1 Hệ số tương quan, $r$, cho biết hướng và định lượng độ mạnh của mối liên hệ tuyến tính giữa hai biến định lượng.
• DAT-1.B.2 Hệ số tương quan có thể được tính bằng: $r = \dfrac{1}{n-1} \sum \left( \dfrac{x_i - \bar{x}}{s_x} \right) \left( \dfrac{y_i - \bar{y}}{s_y} \right)$. Tuy nhiên, cách phổ biến nhất để xác định $r$ là sử dụng công nghệ.
• DAT-1.B.3 Một hệ số tương quan gần 1 hoặc $-1$ không nhất thiết có nghĩa là mô hình tuyến tính là phù hợp.

Mục tiêu học tập DAT-1.C: Giải thích hệ số tương quan cho mối quan hệ tuyến tính. [Kỹ năng 4.B]

• DAT-1.C.1 Hệ số tương quan, $r$, không có đơn vị và luôn nằm trong khoảng từ $-1$ đến 1, bao gồm cả hai giá trị biên. Giá trị $r = 0$ cho thấy không có mối liên hệ tuyến tính. Giá trị $r = 1$ hoặc $r = -1$ cho thấy có mối liên hệ tuyến tính hoàn hảo.
• DAT-1.C.2 Một mối quan hệ cảm nhận hoặc thực tế giữa hai biến không có nghĩa là sự thay đổi của một biến gây ra sự thay đổi của biến kia. Nói cách khác, tương quan không nhất thiết ngụ ý nguyên nhân - kết quả.

Hiểu biết cốt lõi (DAT-1): Các mô hình hồi quy có thể cho phép chúng ta dự đoán phản hồi trước những thay đổi của biến giải thích.

Mục tiêu học tập DAT-1.D: Tính toán giá trị dự đoán bằng mô hình hồi quy tuyến tính. [Kỹ năng 2.C]

• DAT-1.D.1 Một mô hình hồi quy tuyến tính đơn giản là một phương trình sử dụng biến giải thích, $x$, để dự đoán biến phản hồi, $y$.
• DAT-1.D.2 Giá trị dự đoán, ký hiệu bởi $\hat{y}$, được tính bằng $\hat{y} = a + bx$, trong đó $a$ là giao điểm trên trục $y$ và $b$ là độ dốc của đường hồi quy, và $x$ là giá trị của biến giải thích.
• DAT-1.D.3 Ngoại suy là dự đoán một giá trị phản hồi bằng cách sử dụng một giá trị của biến giải thích nằm ngoài khoảng các giá trị $x$ được sử dụng để xác định đường hồi quy. Giá trị dự đoán kém đáng tin cậy hơn như một ước lượng khi chúng ta ngoại suy càng xa.

Hiểu biết cốt lõi (DAT-1): Các mô hình hồi quy có thể cho phép chúng ta dự đoán phản hồi trước những thay đổi của biến giải thích.

Mục tiêu học tập DAT-1.E: Biểu diễn sự khác biệt giữa các giá trị đo lường và giá trị dự đoán bằng biểu đồ phần dư. [Kỹ năng 2.B]

• DAT-1.E.1 Phần dư là sự khác biệt giữa giá trị thực tế và giá trị dự đoán: $\text{residual} = y - \hat{y}$.
• DAT-1.E.2 Biểu đồ phần dư là biểu đồ của các phần dư theo các giá trị của biến giải thích hoặc các giá trị phản hồi dự đoán.

Mục tiêu học tập DAT-1.F: Mô tả hình dạng của mối liên hệ trong dữ liệu hai biến bằng biểu đồ phần dư. [Kỹ năng 2.A]

• DAT-1.F.1 Sự ngẫu nhiên rõ ràng trong biểu đồ phần dư của một mô hình tuyến tính là bằng chứng cho thấy hình dạng tuyến tính của mối liên hệ giữa các biến.
• DAT-1.F.2 Biểu đồ phần dư có thể được sử dụng để kiểm tra tính phù hợp của một mô hình đã chọn.

Hiểu biết cốt lõi (DAT-1): Các mô hình hồi quy có thể cho phép chúng ta dự đoán phản hồi trước những thay đổi của biến giải thích.

Mục tiêu học tập DAT-1.G: Ước lượng tham số cho mô hình đường hồi quy bình phương tối thiểu. [Kỹ năng 2.C]

• DAT-1.G.1 Mô hình hồi quy bình phương tối thiểu tối thiểu hóa tổng bình phương phần dư và chứa điểm $(\bar{x}, \bar{y})$.
• DAT-1.G.2 Hệ số góc, $b$, của đường hồi quy có thể được tính theo công thức $b = r \left( \dfrac{s_y}{s_x} \right)$, trong đó $r$ là hệ số tương quan giữa $x$ và $y$, $s_y$ là độ lệch chuẩn mẫu của biến phản ứng, $y$, và $s_x$ là độ lệch chuẩn mẫu của biến giải thích, $x$.
• DAT-1.G.3 Đôi khi, $y$-trục (trục tung) của đường thẳng không có ý nghĩa thực tế trong ngữ cảnh.
• DAT-1.G.4 Trong hồi quy tuyến tính đơn giản, $r^2$ là bình phương của hệ số tương quan, $r$. Nó còn được gọi là hệ số xác định. $r^2$ là tỷ lệ biến thiên của biến phản ứng được giải thích bởi biến giải thích trong mô hình.

Mục tiêu học tập DAT-1.H: Giải thích các hệ số của mô hình đường hồi quy bình phương tối thiểu. [Kỹ năng 4.B]

• DAT-1.H.1 Các hệ số của mô hình hồi quy bình phương tối thiểu là độ dốc ước lượng và $y$-trục (trục tung).
• DAT-1.H.2 Hệ số góc là mức thay đổi của giá trị dự báo $y$ đối với mỗi đơn vị gia tăng của $x$.
• DAT-1.H.3 Giá trị $y$-trục (trục tung) là giá trị dự báo của biến phản hồi khi biến giải thích bằng $0$. Công thức cho $y$-trục (trục tung), $a$, là $a = \bar{y} - b\bar{x}$.

Hiểu biết cốt lõi (DAT-1): Các mô hình hồi quy có thể cho phép chúng ta dự đoán phản hồi trước những thay đổi của biến giải thích.

Mục tiêu học tập DAT-1.I: Xác định các điểm ảnh hưởng trong hồi quy. [Kỹ năng 2.A]

• DAT-1.I.1 Một điểm ngoại lai trong hồi quy là một điểm không tuân theo xu hướng chung được thể hiện ở phần dữ liệu còn lại và có phần dư lớn khi Đường hồi quy bình phương tối thiểu (LSRL) được tính toán.
• DAT-1.I.2 Một điểm có sức nặng cao (high-leverage point) trong hồi quy có giá trị $x$ lớn hơn hoặc nhỏ hơn đáng kể so với các quan sát khác.
• DAT-1.I.3 Một điểm ảnh hưởng trong hồi quy là bất kỳ điểm nào mà nếu bị loại bỏ sẽ làm thay đổi mối quan hệ đáng kể. Ví dụ bao gồm độ dốc khác biệt nhiều, $y$-trục (trục tung), và/hoặc tương quan. Điểm ngoại lai và điểm có lực cao thường mang tính ảnh hưởng.

Mục tiêu học tập DAT-1.J: Tính giá trị dự báo sử dụng đường hồi quy bình phương tối thiểu cho bộ dữ liệu đã được biến đổi. [Kỹ năng 2.C]

• DAT-1.J.1 Việc biến đổi các biến, chẳng hạn như tính logarit tự nhiên của từng giá trị của biến phản ứng hoặc bình phương từng giá trị của biến giải thích, có thể được sử dụng để tạo ra các bộ dữ liệu đã biến đổi, vốn có dạng tuyến tính hơn so với dữ liệu chưa biến đổi.
• DAT-1.J.2 Sự tăng lên của tính ngẫu nhiên trong biểu đồ phần dư sau khi biến đổi dữ liệu và/hoặc việc di chuyển $r^2$ đến một giá trị gần 1 hơn cung cấp bằng chứng cho thấy đường hồi quy bình phương tối thiểu của dữ liệu đã biến đổi là mô hình phù hợp hơn để dự báo các phản ứng đối với biến giải thích so với đường hồi quy của dữ liệu chưa biến đổi.