IGCSE, A-Level & AP IGCSE, A-Level & AP Xem trước danh sách

Khám phá Dữ liệu Một biến số

AP Thống kê · Chủ đề 1

Xem Slides Luyện tập
Bài học video cho chủ đề này Mở trang video
9:03

Khám phá Dữ liệu Một biến số

Đo cùng một thứ gì đó hai mươi lần và bạn sẽ không nhận được cùng một kết quả hai mươi lần. Hai mươi học sinh đo cùng một chiếc bàn. Các giá trị khác nhau. Điều đó không phải là…

Giọng đọc tiếng Anh · phụ đề tiếng Anh + 中文 được ghi trực tiếp

1.1

Giới thiệu Thống kê: Chúng ta có thể học được gì từ dữ liệu?
Chương trình

Hiểu biết bền vững (VAR-1): Vì sự biến thiên có thể ngẫu nhiên hoặc không, nên những kết luận đều mang tính bất định.

Mục tiêu học tập VAR-1.A: Xác định các câu hỏi cần trả lời, dựa trên sự biến thiên của dữ liệu một biến. [Kỹ năng 1.A]

  • VAR-1.A.1 Các con số có thể truyền tải thông tin có ý nghĩa, khi được đặt trong ngữ cảnh.

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Thống kê là khoa học tìm hiểu từ dữ liệu – các con số hoặc nhãn được thu thập từ thế giới thực. Dữ liệu có sự biến thiên, vì vậy chúng ta mô tả các xu hướng và giải thích cho sự biến thiên thay vì mong đợi mọi giá trị đều khớp nhau. Một câu hỏi thống kê dự kiến một câu trả lời dựa trên dữ liệu có sự biến thiên.

Hai phân biệt chạy贯穿 throughout toàn bộ khóa học. Một tham số là tóm tắt số học của toàn bộ quần thể; một thống kê là tóm tắt số học của một mẫu - chúng ta sử dụng thống kê để ước lượng tham số mà chúng ta không thể đo trực tiếp. Và thống kê mô tả chỉ tóm tắt tập dữ liệu đang có, trong khi thống kê suy luận sử dụng mẫu để đưa ra và kiểm tra các tuyên bố về quần thể lớn hơn.

1.2

Ngôn ngữ của Sự biến thiên: Biến số
Chương trình

Hiểu biết bền vững (VAR-1): Vì sự biến thiên có thể ngẫu nhiên hoặc không, nên những kết luận đều mang tính bất định.

Mục tiêu học tập VAR-1.B: Xác định các biến số trong một bộ dữ liệu. [Kỹ năng 2.A]

  • VAR-1.B.1 Một biến số là một đặc điểm thay đổi từ cá thể này sang cá thể khác.

Mục tiêu học tập VAR-1.C: Phân loại các loại biến số. [Kỹ năng 2.A]

  • VAR-1.C.1 Một biến số phân loại nhận các giá trị là tên phân loại hoặc nhãn nhóm.
  • VAR-1.C.2 Một biến số định lượng là biến số nhận các giá trị số học cho một đại lượng được đo lường hoặc đếm được.
    • Ví dụ minh họa cho VAR-1.C:
      • Biến số phân loại:
        • Tay chủ yếu
        • Nhóm tuổi (trẻ hoặc già)
        • Trình độ học vấn cao nhất đạt được
      • Các biến định lượng:
        • Tuổi của một công trình
        • Chiều cao của một đứa trẻ
        • Nồng độ của một mẫu thử

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Một biến số là một đặc điểm có thể khác nhau giữa các cá nhân. Hai loại:

  • Định tính (phân loại): giá trị là nhãn/nhóm (màu mắt, thương hiệu).
  • Định lượng: giá trị là các số bạn có thể thực hiện phép toán trên đó (chiều cao, tuổi). Biến số định lượng là rời rạc (đếm được) hoặc liên tục (đo lường).

Việc chọn biểu đồ và tóm tắt phù hợp phụ thuộc vào loại bạn đang có.

Khám phá

Định tính hay Định lượng?

Mọi biến đều là phân loại (nó gán đơn vị vào một nhóm) hoặc định lượng (một con số đo lường bạn có thể lấy trung bình). Loại nào quyết định biểu đồ và tóm tắt bạn được phép sử dụng.

1.3

Biểu diễn Biến số Định tính bằng Bảng
Chương trình

Hiểu biết bền vững (UNC-1): Các biểu đồ và số liệu thống kê giúp chúng ta xác định và biểu diễn các đặc điểm chính của dữ liệu.

Mục tiêu học tập UNC-1.A: Biểu diễn dữ liệu định tính bằng bảng tần số hoặc tần số tương đối. [Kỹ năng 2.B]

  • UNC-1.A.1 Bảng tần số cho biết số trường hợp落入 vào mỗi danh mục. Bảng tần số tương đối cho biết tỷ lệ phần trăm các trường hợp落入 vào mỗi danh mục.

Mục tiêu học tập UNC-1.B: Mô tả dữ liệu định tính được biểu diễn trong bảng tần số hoặc bảng tần số tương đối. [Kỹ năng 2.A]

  • UNC-1.B.1 Phần trăm, tần số tương đối và tốc độ đều cung cấp cùng thông tin với tỷ lệ phần trăm.
  • UNC-1.B.2 Số lượng và tần số tương đối của dữ liệu định tính tiết lộ thông tin có thể được sử dụng để biện minh cho các tuyên bố về dữ liệu trong ngữ cảnh.

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Một bảng tần số liệt kê số lượng (tần số) của từng danh mục; một bảng tần số tương đối liệt kê tỷ lệ (số lượng ÷ tổng) của từng danh mục. Tần số tương đối cho phép bạn so sánh các nhóm có kích thước khác nhau một cách công bằng.

1.4

Biểu diễn Biến số Định tính bằng Biểu đồ
Chương trình

Hiểu biết bền vững (UNC-1): Các biểu đồ và số liệu thống kê giúp chúng ta xác định và biểu diễn các đặc điểm chính của dữ liệu.

Mục tiêu học tập UNC-1.C: Biểu diễn dữ liệu định tính bằng đồ thị. [Kỹ năng 2.B]

  • UNC-1.C.1 Biểu đồ cột (hoặc biểu đồ thanh) được sử dụng để hiển thị tần số (số lượng) hoặc tần số tương đối (tỷ lệ phần trăm) cho dữ liệu định tính.
  • UNC-1.C.2 Chiều cao hoặc chiều dài của mỗi cột trong biểu đồ cột tương ứng với số lượng hoặc tỷ lệ phần trăm các quan sát落入 trong mỗi danh mục.
  • UNC-1.C.3 Có rất nhiều cách khác để biểu diễn tần số (số lượng) hoặc tần số tương đối (tỷ lệ phần trăm) cho dữ liệu định tính.

Mục tiêu học tập UNC-1.D: Mô tả dữ liệu định tính được biểu diễn bằng đồ thị. [Kỹ năng 2.A]

  • UNC-1.D.1 Các biểu diễn đồ thị của biến định tính tiết lộ thông tin có thể được sử dụng để biện minh cho các tuyên bố về dữ liệu trong ngữ cảnh.

Mục tiêu học tập UNC-1.E: So sánh nhiều bộ dữ liệu định tính. [Kỹ năng 2.D]

  • UNC-1.E.1 Bảng tần số, biểu đồ cột hoặc các biểu diễn khác có thể được sử dụng để so sánh hai hoặc nhiều bộ dữ liệu theo cùng một biến định tính.

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Biểu đồ cột hiển thị số lượng hoặc tỷ lệ của từng danh mục dưới dạng các cột tách biệt; biểu đồ tròn hiển thị tỷ trọng của từng danh mục trong tổng thể. Chiều cao cột (hoặc lát cắt) cho phép bạn so sánh các danh mục ngay lập tức. Các cột có thể được sắp xếp theo kích thước hoặc theo thứ tự danh mục tự nhiên.

Khám phá

Hiển thị biến phân loại dưới dạng biểu đồ tròn

Một biểu đồ tròn biến tỷ lệ phần trăm của mỗi danh mục so với tổng thể thành một miếng: tỷ lệ lớn hơn thì miếng lớn hơn, và tất cả các miếng cộng lại tạo thành 100%. Nó là hình ảnh của bảng tần suất tương đối.

1.5

Biểu diễn Biến số Định lượng bằng Biểu đồ
Chương trình

Hiểu biết bền vững (UNC-1): Các biểu đồ và số liệu thống kê giúp chúng ta xác định và biểu diễn các đặc điểm chính của dữ liệu.

Mục tiêu học tập UNC-1.F: Phân loại các loại biến định lượng. [Kỹ năng 2.A]

  • UNC-1.F.1 Biến rời rạc có thể nhận một số giá trị đếm được. Số giá trị có thể hữu hạn hoặc vô hạn đếm được, ví dụ như các số đếm.
  • UNC-1.F.2 Biến liên tục có thể nhận vô số giá trị, nhưng những giá trị đó không thể đếm được. Bất kể khoảng cách giữa hai giá trị của biến liên tục nhỏ đến đâu, luôn có thể xác định được một giá trị khác nằm giữa chúng.
    • Ví dụ minh họa cho UNC-1.F:
      • Một biến rời rạc:
        • Số học sinh trong một lớp
      • Một biến liên tục:
        • Chiều cao của một đứa trẻ

Mục tiêu học tập UNC-1.G: Biểu diễn dữ liệu định lượng bằng đồ thị. [Kỹ năng 2.B]

  • UNC-1.G.1 Trong biểu đồ tần số (histogram), chiều cao của mỗi cột cho biết số lượng hoặc tỷ lệ phần trăm các quan sát落入 trong khoảng tương ứng với cột đó. Thay đổi độ rộng khoảng có thể làm thay đổi hình dáng của biểu đồ tần số.
  • UNC-1.G.2 Trong biểu đồ thân lá, mỗi giá trị dữ liệu được chia thành "thân" (chữ số đầu tiên hoặc các chữ số đầu) và "lá" (thường là chữ số cuối).
  • UNC-1.G.3 Biểu đồ chấm biểu diễn mỗi quan sát bằng một chấm, với vị trí trên trục hoành tương ứng với giá trị dữ liệu của quan sát đó, với các giá trị gần giống nhau xếp chồng lên nhau.
  • UNC-1.G.4 Biểu đồ tích lũy biểu diễn số lượng hoặc tỷ lệ phần trăm của bộ dữ liệu nhỏ hơn hoặc bằng một số đã cho.
  • UNC-1.G.5 Có rất nhiều cách khác để biểu diễn đồ thị phân phối của dữ liệu định lượng.

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Đối với các con số, hãy sử dụng biểu đồ chấm, biểu đồ thân lá, hoặc histogram (các cột trên khoảng giá trị gọi là ô class). Những biểu đồ này hiển thị phân phối – cách các giá trị lan tỏa. Độ rộng ô class của histogram sẽ thay đổi hình ảnh, vì vậy hãy chọn nó để tiết lộ hình dáng.

Trên histogram với độ rộng lớp không đồng đều, diện tích cột là tần số
Trên histogram với độ rộng lớp không đồng đều, diện tích cột là tần số
Khám phá

Khám phá cách độ rộng ô ảnh hưởng đến biểu đồ tần suất

Một biểu đồ tần suất nhóm dữ liệu thành các ô có chiều rộng bằng nhau và vẽ một thanh trên mỗi ô. Thay đổi các ô và để ý rằng cùng một dữ liệu có thể trông gợn sóng (quá hẹp) hoặc mịn màng (quá rộng) — hình dạng là một sự lựa chọn.

Từ vựng Luyện tập
English Tiếng Việt
Statistics/stəˈtɪstɪks/ Thống kê
data/ˈdeɪtə/ dữ liệu
variation/ˌveərɪˈeɪʃn/ biến tấu
parameter/pəˈræmɪtə/ parameter
statistic/stəˈtɪstɪk/ thống kê
descriptive statistics/dɪˈskrɪptɪv stəˈtɪstɪks/ thống kê mô tả
inferential statistics/ɪnfəˈrenʃl stəˈtɪstɪks/ thống kê suy luận
variable/ˈveərɪəbl/ biến
Categorical/ˌkætɪˈɡɒrɪkl/ Phân loại
Quantitative/ˈkwɒntɪteɪtɪv/ Định lượng
frequency table/ˈfriːkwənsi ˈteɪbl/ bảng tần suất
relative frequency/ˈrelətɪv ˈfriːkwənsi/ tần suất tương đối
proportion/prəˈpɔːʃn/ tỷ lệ
Bar charts/bɑː tʃɑːts/ biểu đồ cột
dotplot/ˈdɒtplɒt/ biểu đồ chấm
stem-and-leaf plot/stem ænd liːf plɒt/ biểu đồ thân lá
histogram/ˈhɪstəɡræm/ biểu đồ tần số (histogram)
1.6

Mô tả Phân phối của Biến số Định lượng
Chương trình

Hiểu biết bền vững (UNC-1): Các biểu đồ và số liệu thống kê giúp chúng ta xác định và biểu diễn các đặc điểm chính của dữ liệu.

Mục tiêu học tập UNC-1.H: Mô tả các đặc điểm của phân phối dữ liệu định lượng. [Kỹ năng 2.A]

  • UNC-1.H.1 Mô tả phân phối của dữ liệu định lượng bao gồm hình dạng, trung tâm và độ biến thiên (phân tán), cũng như bất kỳ đặc điểm bất thường nào như giá trị ngoại lai, khoảng trống, cụm dữ liệu, hoặc nhiều đỉnh.
  • UNC-1.H.2 Giá trị ngoại lai cho dữ liệu một biến là các điểm dữ liệu bất thường nhỏ hoặc lớn so với phần còn lại của dữ liệu.
  • UNC-1.H.3 Phân phối lệch về bên phải (lệch dương) nếu đuôi bên phải dài hơn đuôi bên trái. Phân phối lệch về bên trái (lệch âm) nếu đuôi bên trái dài hơn đuôi bên phải. Phân phối đối xứng nếu nửa bên trái là ảnh phản chiếu của nửa bên phải.
  • UNC-1.H.4 Đồ thị một biến với một đỉnh chính được gọi là đơn modal. Đồ thị với hai đỉnh nổi bật là song modal. Đồ thị mà chiều cao của mỗi cột xấp xỉ bằng nhau (không có đỉnh nổi bật) là xấp xỉ đồng đều.
  • UNC-1.H.5 Khoảng trống là một vùng của phân phối giữa hai giá trị dữ liệu nơi không có dữ liệu quan sát nào.
  • UNC-1.H.6 Cụm dữ liệu là sự tập trung của dữ liệu thường được tách biệt bởi các khoảng trống.
  • UNC-1.H.7 Thống kê mô tả không gán các thuộc tính của bộ dữ liệu cho quần thể lớn hơn, nhưng có thể cung cấp cơ sở cho các phỏng đoán để kiểm tra tiếp theo.

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Mô tả bốn điều (nhớ SOCS):

  • Hình dáng: đối xứng, hoặc lệch trái/phải (một đuôi dài ở phía đó), và số lượng đỉnh - một đỉnh chính là đơn mode, hai đỉnh nổi bật là hai mode, và các cột xấp xỉ bằng nhau là đồng đều.
  • Giá trị ngoại lai: các giá trị bất thường xa so với phần còn lại.
  • Trung tâm: một giá trị điển hình (trung bình hoặc trung vị).
  • Độ phân tán: mức độ biến thiên của các giá trị (phạm vi, IQR, độ lệch chuẩn).

Luôn mô tả hình dạng/trung tâm/độ phân tán trong ngữ cảnh, kèm đơn vị.

Hình dạng của phân phối: đối xứng, lệch phải (đuôi dài bên phải), hoặc lệch trái
Hình dạng của phân phối: đối xứng, lệch phải (đuôi dài bên phải), hoặc lệch trái
Từ vựng Luyện tập
English Tiếng Việt
distribution/ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ phân phối
Shape/ʃeɪp/ Hình dạng
skewed/skjuːd/ lệch
unimodal/ˌʌnɪˈmɒdl/ unimodal
bimodal/baɪˈmɒdl/ bimodal
uniform/ˈjuːnɪfɔːm/ đều
Outliers/ˈaʊtlaɪəz/ ngoại lai
1.7

Thống kê tóm tắt cho biến định lượng
Chương trình

Hiểu biết bền vững (UNC-1): Các biểu đồ và số liệu thống kê giúp chúng ta xác định và biểu diễn các đặc điểm chính của dữ liệu.

Mục tiêu học tập UNC-1.I: Tính toán các thước đo trung tâm và vị trí cho dữ liệu định lượng. [Kỹ năng 2.C]

  • UNC-1.I.1 Một số liệu thống kê là một bản tóm tắt số học của dữ liệu mẫu.
  • UNC-1.I.2 Trung bình cộng là tổng của tất cả các giá trị dữ liệu chia cho số lượng giá trị. Đối với mẫu, trung bình cộng được ký hiệu là $x$-bar: $\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$, trong đó $x_i$ đại diện cho $i^{\text{th}}$ điểm dữ liệu trong mẫu và $n$ đại diện cho số lượng giá trị dữ liệu trong mẫu.
  • UNC-1.I.3 Median (trung vị) của một tập dữ liệu là giá trị ở giữa khi dữ liệu đã được sắp xếp. Khi số lượng điểm dữ liệu là số chẵn, median có thể nhận bất kỳ giá trị nào nằm giữa hai giá trị ở giữa. Trong AP Statistics, giá trị thường dùng nhất cho median của tập dữ liệu có số lượng giá trị chẵn là trung bình cộng của hai giá trị ở giữa.
  • UNC-1.I.4 Tứ phân vị thứ nhất, Q1, là median của nửa tập dữ liệu đã sắp xếp từ giá trị tối thiểu đến vị trí của median. Tứ phân vị thứ ba, Q3, là median của nửa tập dữ liệu đã sắp xếp từ vị trí của median đến giá trị tối đa. Q1 và Q3 tạo thành ranh giới cho 50% giá trị ở giữa trong một tập dữ liệu đã sắp xếp.
  • UNC-1.I.5 P $p^{\text{th}}$ phần trăm được hiểu là giá trị mà $p\%$ của dữ liệu nhỏ hơn hoặc bằng nó.

Mục tiêu học tập UNC-1.J: Tính toán các Measures of variability (đo lường độ phân tán) cho dữ liệu định lượng. [Kỹ năng 2.C]

  • UNC-1.J.1 Ba Measures of variability (hoặc spread - độ trải rộng) thường dùng trong phân phối là khoảng biến thiên (range), khoảng tứ phân vị (interquartile range), và độ lệch chuẩn.
  • UNC-1.J.2 Khoảng biến thiên (range) được định nghĩa là hiệu giữa giá trị dữ liệu lớn nhất và giá trị dữ liệu nhỏ nhất. Khoảng tứ phân vị (IQR) được định nghĩa là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất: $Q3 - Q1$. Cả khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị đều là những cách đo lường độ phân tán hợp lý của phân phối một biến định lượng.
  • UNC-1.J.3 Độ lệch chuẩn là một cách để đo lường độ phân tán của phân phối một biến định lượng. Đối với mẫu, độ lệch chuẩn được ký hiệu là $s$: $s_x = \sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum(x_i - \bar{x})^2}$. Bình phương của độ lệch chuẩn mẫu, $s^2$, được gọi là phương sai mẫu.
  • UNC-1.J.4 Thay đổi đơn vị đo lường sẽ ảnh hưởng đến các giá trị thống kê đã tính toán.

Mục tiêu học tập UNC-1.K: Giải thích việc lựa chọn một Measure of center (đo lường trung tâm) và/hoặc Measure of variability (đo lường độ phân tán) cụ thể để mô tả một tập dữ liệu định lượng. [Kỹ năng 4.B]

  • UNC-1.K.1 Có nhiều phương pháp xác định giá trị ngoại lai. Hai phương pháp thường được sử dụng trong khóa học này là:
    • UNC-1.K.1.i Một giá trị ngoại lai là giá trị lớn hơn $1.5 \times \text{IQR}$ trên tứ phân vị thứ ba hoặc nhỏ hơn $1.5 \times \text{IQR}$ dưới tứ phân vị thứ nhất.
    • UNC-1.K.1.ii Một giá trị ngoại lai là giá trị nằm cách 2 hoặc nhiều độ lệch chuẩn hơn lên trên, hoặc xuống dưới, trung bình cộng.
  • UNC-1.K.2 Trung bình cộng, độ lệch chuẩn và khoảng biến thiên được coi là không kháng cự (nonresistant hoặc non-robust) vì chúng bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lai. Median và IQR được coi là kháng cự (resistant hoặc robust), vì các giá trị ngoại lai không làm thay đổi đáng kể (nếu có) giá trị của chúng.

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Độ lệch chuẩn: độ phân tán quanh trung bình
  • Trung tâm: trung bình $\bar{x}=\dfrac{\sum x_i}{n}$ (giá trị trung bình) và trung vị (giá trị ở giữa). Trung vị kháng lại giá trị ngoại lai; trung bình bị kéo về phía lệch.
  • Độ phân tán: phạm vi, khoảng tứ phân vị $\text{IQR}=Q_3-Q_1$ (50% dữ liệu ở giữa), và độ lệch chuẩn $s_x=\sqrt{\dfrac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$ (khoảng cách điển hình từ trung bình; bình phương của nó là biến số).
  • Tóm tắt năm số: min, $Q_1$, trung vị, $Q_3$, max.

Sử dụng các số liệu kháng (trung vị, IQR) cho dữ liệu lệch; trung bình và độ lệch chuẩn cho dữ liệu gần như đối xứng.

Percentile của một giá trị là phần trăm dữ liệu nằm ở hoặc dưới giá trị đó – vì vậy trung vị là percentile thứ 50 và $Q_1$ là percentile thứ 25. Một biểu đồ tần suất tương đối lũy tiến giúp đọc percentile dễ dàng: với mỗi giá trị, nó biểu diễn tỷ lệ dữ liệu ở hoặc dưới giá trị đó, tăng từ 0 đến 1. Đi lên từ một giá trị đến đường cong và sang ngang để tìm percentile của nó, hoặc ngược lại các bước để tìm giá trị tại một percentile cho trước (cách đọc này cũng áp dụng được từ bảng tần suất lũy tiến).

Ví dụ có hướng dẫn. Với dữ liệu $4, 8, 6, 10, 7$: trung bình là $\bar{x}=\dfrac{4+8+6+10+7}{5}=\dfrac{35}{5}=7$. Sắp xếp thành $4,6,7,8,10$, trung vị là giá trị ở giữa, $7$. Trung bình và trung vị trùng khớp ở đây vì dữ liệu gần như đối xứng.

Từ vựng Luyện tập
English Tiếng Việt
mean/miːn/ trung bình
median/ˈmiːdiːən/ trung vị
interquartile range/ˌɪntəˈkwɔːtaɪl reɪndʒ/ khoảng tứ phân vị
standard deviation/ˈstændəd ˌdiːvɪˈeɪʃn/ độ lệch chuẩn
variance/ˈveərɪəns/ độ phân tán
five-number summary/faɪv ˈnʌmbə ˈsʌməri/ bộ năm số
percentile/pəˈsentaɪl/ phân vị
cumulative relative frequency graph/ˈkjuːmjʊlətɪv ˈrelətɪv ˈfriːkwənsi ɡræf/ biểu đồ tần số tương đối lũy kế
1.8

Biểu diễn đồ thị của thống kê tóm tắt
Chương trình

Hiểu biết bền vững (UNC-1): Các biểu đồ và số liệu thống kê giúp chúng ta xác định và biểu diễn các đặc điểm chính của dữ liệu.

Mục tiêu học tập UNC-1.L: Biểu diễn đồ thị các Thống kê Tóm tắt cho dữ liệu định lượng. [Kỹ năng 2.B]

  • UNC-1.L.1 Kết hợp lại, giá trị dữ liệu tối thiểu, tứ phân vị thứ nhất (Q1), median, tứ phân vị thứ ba (Q3), và giá trị dữ liệu tối đa tạo thành bộ năm số tóm tắt (five-number summary).
  • UNC-1.L.2 Một boxplot (biểu đồ hộp) là biểu diễn đồ thị của bộ năm số tóm tắt (tối thiểu, tứ phân vị thứ nhất, median, tứ phân vị thứ ba, tối đa). Phần hộp đại diện cho 50% dữ liệu ở giữa, với đường kẻ tại vị trí median và hai đầu hộp tương ứng với các tứ phân vị. Các đường thẳng ("mũi") kéo dài từ các tứ phân vị đến điểm cực đoan nhất không phải là giá trị ngoại lai, và các giá trị ngoại lai được chỉ báo bằng ký hiệu riêng biệt bên ngoài điểm này.

Mục tiêu học tập UNC-1.M: Mô tả các Thống kê Tóm tắt của dữ liệu định lượng được biểu diễn đồ thị. [Kỹ năng 2.A]

  • UNC-1.M.1 Các Thống kê Tóm tắt của dữ liệu định lượng, hoặc các tập dữ liệu định lượng, có thể được sử dụng để biện minh cho các tuyên bố về dữ liệu trong ngữ cảnh cụ thể.
  • UNC-1.M.2 Nếu một phân phối khá đối xứng, thì trung bình cộng và median sẽ tương đối gần nhau. Nếu một phân phối lệch phải, thì trung bình cộng thường nằm bên phải của median. Nếu phân phối lệch trái, thì trung bình cộng thường nằm bên trái của median.

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Một boxplot vẽ tóm tắt năm số: một hộp từ $Q_1$ đến $Q_3$ với trung vị bên trong, và các râu nối đến các giá trị cực đoan không phải ngoại lai. Một điểm là ngoại lai nếu nằm xa hơn $1.5\times\text{IQR}$ so với một tứ phân vị – quy tắc mà bạn có thể được yêu cầu áp dụng. Boxplot rất lý tưởng để so sánh nhiều nhóm bên cạnh nhau.

Ví dụ minh họa. Một tập dữ liệu có $Q_1=20$ và $Q_3=32$, do đó $\text{IQR}=12$. Các hàng rào ngoại lai là $Q_1-1.5(12)=2$ và $Q_3+1.5(12)=50$. Bất kỳ giá trị nào nhỏ hơn $2$ hoặc lớn hơn $50$ đều bị đánh dấu là ngoại lai.

Biểu đồ hộp và râu thể hiện các phân vị và phạm vi
Biểu đồ box-and-whisker hiển thị các tứ phân vị và phạm vi
Biểu đồ hộp vẽ tóm tắt năm số; phần hộp trải dài theo IQR
Boxplot vẽ tóm tắt năm số; hộp trải dài theo IQR
Khám phá

Khám phá tóm tắt năm số dưới dạng hộp

Kéo $Q_1$, trung vị, và $Q_3$ để xem hộp (chiều dài của nó là IQR) và làm thế nào vị trí trung vị bên trong hộp tiết lộ độ lệch — trung vị gần $Q_1$ báo hiệu phân phối lệch phải.

Từ vựng Luyện tập
English Tiếng Việt
boxplot/ˈbɒksplɒt/ boxplot
normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ phân phối chuẩn
1.9

So sánh Phân phối của Biến Định lượng
Chương trình

Hiểu biết bền vững (UNC-1): Các biểu đồ và số liệu thống kê giúp chúng ta xác định và biểu diễn các đặc điểm chính của dữ liệu.

Mục tiêu học tập UNC-1.N: So sánh các biểu diễn đồ thị cho nhiều tập dữ liệu định lượng. [Kỹ năng 2.D]

  • UNC-1.N.1 Bất kỳ loại biểu diễn đồ thị nào, ví dụ: histogram, boxplot đặt cạnh nhau, v.v., đều có thể được sử dụng để so sánh hai hoặc nhiều mẫu độc lập về trung tâm, độ phân tán, cụm, khoảng trống, giá trị ngoại lai và các đặc điểm khác.

Mục tiêu học tập UNC-1.O: So sánh các Thống kê Tóm tắt cho nhiều tập dữ liệu định lượng. [Kỹ năng 2.D]

  • UNC-1.O.1 Bất kỳ loại tóm tắt số nào (ví dụ: trung bình cộng, độ lệch chuẩn, tần suất tương đối, v.v.) đều có thể được sử dụng để so sánh hai hoặc nhiều mẫu độc lập.

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Để so sánh hai hoặc nhiều nhóm, hãy so sánh hình dạng, trung tâm và độ phân tán, và đề cập đến ngoại lai – luôn sử dụng từ ngữ so sánh ("Nhóm A có trung vị cao hơn Nhóm B") và trong ngữ cảnh. Đừng chỉ mô tả từng nhóm riêng lẻ; hãy đưa ra sự so sánh rõ ràng.

Khám phá

So sánh phân phối với biểu đồ hộp

Một biểu đồ hộp vẽ tóm tắt năm số. Đặt hai biểu đồ hộp trên cùng một thang đo so sánh trung tâm (trung vị), độ phân tán (IQR = chiều rộng hộp) và độ lệch ngay lập tức — cách công bằng để so sánh các nhóm.

1.10

Phân phối Chuẩn
Chương trình
Enduring UnderstandingLearning ObjectiveEssential Knowledge

VAR-2
The normal distribution can be used to represent some population distributions.

VAR-2.A
Compare a data distribution to the normal distribution model. [Skill 2.D]

  • VAR-2.A.1 A parameter is a numerical summary of a population.
  • VAR-2.A.2 Some sets of data may be described as approximately normally distributed. A normal curve is mound-shaped and symmetric. The parameters of a normal distribution are the population mean, $\mu$, and the population standard deviation, $\sigma$.
  • VAR-2.A.3 For a normal distribution, approximately 68% of the observations are within 1 standard deviation of the mean, approximately 95% of observations are within 2 standard deviations of the mean, and approximately 99.7% of observations are within 3 standard deviations of the mean. This is called the empirical rule.
  • VAR-2.A.4 Many variables can be modeled by a normal distribution.
    • Illustrative examples for VAR-2.A:
      • Variables that can be modeled by a normal distribution:
        • Body temperature
        • Weight of a loaf of bread

VAR-2.B
Determine proportions and percentiles from a normal distribution. [Skill 3.A]

  • VAR-2.B.1 A standardized score for a particular data value is calculated as (data value − mean)/(standard deviation), and measures the number of standard deviations a data value falls above or below the mean.
  • VAR-2.B.2 One example of a standardized score is a $z$-score, which is calculated as $z\text{-score} = \left(\dfrac{x_i - \mu}{\sigma}\right)$. A $z$-score measures how many standard deviations a data value is from the mean.
  • VAR-2.B.3 Technology, such as a calculator, a standard normal table, or computer-generated output, can be used to find the proportion of data values located on a given interval of a normally distributed random variable.
  • VAR-2.B.4 Given the area of a region under the graph of the normal distribution curve, it is possible to use technology, such as a calculator, a standard normal table, or computer-generated output, to estimate parameters for some populations.

VAR-2.C
Compare measures of relative position in data sets. [Skill 2.D]

  • VAR-2.C.1 Percentiles and $z$-scores may be used to compare relative positions of points within a data set or between data sets.

Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP

Một phân phối chuẩn là mô hình đối xứng, hình chuông được mô tả bởi trung bình $\mu$ và độ lệch chuẩn $\sigma$. Quy tắc thực nghiệm (68–95–99.7): khoảng 68% giá trị nằm trong $1\sigma$ của trung bình, 95% trong $2\sigma$, và 99.7% trong $3\sigma$.

Đường cong chuẩn: xác suất là diện tích bên dưới nó, có tâm tại trung bình
Đường cong chuẩn: xác suất là diện tích bên dưới đường cong, lấy trung bình cộng làm tâm

Một $z$-score đo lường xem một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn:

$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}.$$
Chuyển đổi sang điểm z ($z$-score), sau đó sử dụng bảng phân phối chuẩn hoặc công cụ tính toán để tìm tỷ lệ (diện tích) nằm dưới, trên hoặc giữa các giá trị – và thực hiện quá trình ngược lại để tìm một giá trị từ một percentile cho trước.

Ví dụ minh họa. Điểm kiểm tra tuân theo phân phối chuẩn với $\mu=500$ và $\sigma=100$. Một điểm số $700$ có $z=\dfrac{700-500}{100}=2$. Theo quy tắc thực nghiệm, $95\%$ điểm nằm trong khoảng $2\sigma$, do đó $2.5\%$ nằm trên $700$ – nghĩa là một điểm $700$ tương ứng vào khoảng percentile thứ $97.5$.

Đường cong chuẩn và quy tắc 68-95-99.7 thực nghiệm
Đường cong chuẩn và quy tắc thực nghiệm 68-95-99.7
Khám phá

Khám phá diện tích dưới đường cong chuẩn

Tỷ lệ dữ liệu nhỏ hơn một giá trị bằng diện tích dưới đường cong ở bên trái giá trị đó. tô đậm một đuôi hay một dải trung tâm để thấy quy tắc thực nghiệm 68–95–99.7 và đọc một điểm $z$ như một diện tích.

Từ vựng Luyện tập
English Tiếng Việt
empirical rule/emˈpɪrɪkl ruːl/ quy tắc thực nghiệm
$z$-score/ˈzed skɔː/ $z$-score
1.10

Mẹo làm bài thi
  • Mô tả phân phối bằng hình dạng, trung tâm, độ phân tán và ngoại lai (SOCS) – luôn trong ngữ cảnh.
  • Trung bình bị kéo bởi ngoại lai; trung vị kháng lại chúng, vì vậy ưu tiên dùng trung vị cho dữ liệu lệch.
  • Đối với phân phối chuẩn hãy sử dụng quy tắc 68–95–99.7 và z-scores $z=\tfrac{x-\mu}{\sigma}$.
  • So sánh phân phối bằng boxplot đặt cạnh nhau và nhận xét về trung tâm, độ phân tán và hình dạng.
  • Độ lệch chuẩn đo lường khoảng cách điển hình từ trung bình; IQR đi đôi với trung vị.

Bài học tương tác về chủ đề này

Làm theo từng bước, kèm theo bài tập kiểm tra ngay lập tức.

Đề thi cũ

Nhiều chủ đề hơn trong AP Thống kê

Đăng nhập hoặc tạo tài khoản

IGCSE, A-Level & AP