Parametric Equations, Polar Coordinates, and Vector-Valued Functions · ⁨Phương trình tham số, tọa độ cực và hàm vector⁩

AP Calculus BC · ⁨AP Giải tích BC⁩ · Topic 9 · ⁨Chủ đề 9⁩

View Slides · ⁨Xem Slides⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩

Video lesson for this topic · ⁨Bài học video cho chủ đề này⁩ Open the video page · ⁨Mở trang video⁩

9.1

Defining and Differentiating Parametric Equations · ⁨Định Nghĩa và Đạo Hàm Phương Trình Tham Số⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.G: Calculate derivatives of parametric functions. BC ONLY

CHA-3.G.1 Methods for calculating derivatives of real-valued functions can be extended to parametric functions. BC ONLY
CHA-3.G.2 For a curve defined parametrically, the value of $\dfrac{dy}{dx}$ at a point on the curve is the slope of the line tangent to the curve at that point. $\dfrac{dy}{dx}$, the slope of the line tangent to a curve defined using parametric equations, can be determined by dividing $\dfrac{dy}{dt}$ by $\dfrac{dx}{dt}$, provided $\dfrac{dx}{dt}$ does not equal zero. BC ONLY

Tiếng Việt

Hiểu biết dai dẳng (CHA-3): Đạo hàm giúp chúng ta giải quyết các vấn đề thực tế liên quan đến tốc độ biến thiên.

Mục tiêu học tập CHA-3.G: Tính đạo hàm của các hàm tham số. CHỈ DÀNH CHO BC

CHA-3.G.1 Các phương pháp tính đạo hàm của hàm số thực có thể được mở rộng sang hàm số tham số. CHỈ DÀNH CHO BC
CHA-3.G.2 Đối với đường cong được xác định tham số, giá trị $\dfrac{dy}{dx}$ tại một điểm trên đường cong chính là hệ số góc của đường tiếp tuyến với đường cong tại điểm đó. $\dfrac{dy}{dx}$, hệ số góc của đường tiếp tuyến với đường cong được xác định bằng phương trình tham số, có thể được xác định bằng cách chia $\dfrac{dy}{dt}$ cho $\dfrac{dx}{dt}$, miễn là $\dfrac{dx}{dt}$ không bằng không. CHỈ DÀNH CHO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Parametric equations 参数方程 give $x$ and $y$ each as functions of a parameter $t$ (often time): $x=x(t)$, $y=y(t)$. They trace a curve that need not be a function of $x$. The slope of the curve is found with the chain rule:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\qquad(dx/dt\neq0).$$

Worked example. For $x=t^2$, $y=t^3-t$, find the slope at $t=2$. Here $\dfrac{dx}{dt}=2t$ and $\dfrac{dy}{dt}=3t^2-1$, so $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2-1}{2t}$; at $t=2$ this is $\dfrac{11}{4}$.

Tiếng Việt

ISS trên quỹ đạo: phương trình tham số mô tả vị trí theo thời gian

Phương trình tham số cho $x$ và $y$ mỗi cái đều là hàm của một tham số $t$ (thường là thời gian): $x=x(t)$, $y=y(t)$. Chúng vẽ ra một đường cong có thể không phải là hàm của $x$. Độ dốc của đường cong được tìm bằng quy tắc chuỗi:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\qquad(dx/dt\neq0).$$

Ví dụ đã giải. Với $x=t^2$, $y=t^3-t$, tìm độ dốc tại $t=2$. Tại đây $\dfrac{dx}{dt}=2t$ và $\dfrac{dy}{dt}=3t^2-1$, nên $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2-1}{2t}$; tại $t=2$ giá trị này là $\dfrac{11}{4}$.

Vocabulary · ⁨Từ vựng⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩

English	Tiếng Việt
Parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/	phương trình tham số
vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/	hàm giá trị vector
Polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/	Tọa độ cực

9.2

Second Derivatives of Parametric Equations · ⁨Đạo hàm cấp hai của Phương trình Tham số⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.G: Calculate derivatives of parametric functions. BC ONLY

CHA-3.G.3 $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ can be calculated by dividing $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)$ by $\dfrac{dx}{dt}$. BC ONLY

Tiếng Việt

Hiểu biết dai dẳng (CHA-3): Đạo hàm giúp chúng ta giải quyết các vấn đề thực tế liên quan đến tốc độ biến thiên.

Mục tiêu học tập CHA-3.G: Tính đạo hàm của các hàm tham số. CHỈ DÀNH CHO BC

CHA-3.G.3 $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ có thể được tính bằng cách chia $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)$ cho $\dfrac{dx}{dt}$. CHỈ DÀNH CHO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

The second derivative is not $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. Instead, differentiate the first derivative with respect to $t$, then divide by $dx/dt$ again:

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}.$$

Use it to test concavity of a parametric curve.

Tiếng Việt

Đạo hàm cấp hai không $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. Thay vào đó, đạo hàm đạo hàm bậc nhất theo $t$, sau đó chia lại cho $dx/dt$:

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}.$$

Sử dụng nó để kiểm tra độ lồi/độ lõm của một đường cong tham số.

9.3

Finding Arc Lengths of Curves Given by Parametric Equations · ⁨Tìm Chiều Dài Cung của Các Đường Cong Cho bởi Phương Trình Tham Số⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-6): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in length over an interval.

Learning Objective CHA-6.B: Determine the length of a curve in the plane defined by parametric functions, using a definite integral. BC ONLY

CHA-6.B.1 The length of a parametrically defined curve can be calculated using a definite integral. BC ONLY

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (CHA-6): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề liên quan đến sự tích lũy thay đổi về chiều dài trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-6.B: Xác định chiều dài của đường cong trong mặt phẳng được xác định bởi các hàm tham số, sử dụng tích phân xác định. CHỈ DÀNH CHO BC

CHA-6.B.1 Chiều dài của đường cong được xác định tham số có thể được tính toán bằng tích phân xác định. CHỈ DÀNH CHO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

The length of a parametric curve for $t$ from $a$ to $b$ is

$$L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt.$$

This is the parametric version of arc length – summing tiny hypotenuses $\sqrt{dx^2+dy^2}$ over the parameter.

Tiếng Việt

Chiều dài của đường cong tham số cho $t$ từ $a$ đến $b$ là

$$L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt.$$

Đây là phiên bản tham số của chiều dài cung – tổng hợp các cạnh huyền nhỏ $\sqrt{dx^2+dy^2}$ dọc theo tham số.

9.4

Defining and Differentiating Vector-Valued Functions · ⁨Định nghĩa và Đạo hàm các Hàm Có Giá trị Vector⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.H: Calculate derivatives of vector-valued functions. BC ONLY

CHA-3.H.1 Methods for calculating derivatives of real-valued functions can be extended to vector-valued functions. BC ONLY

Tiếng Việt

Hiểu biết dai dẳng (CHA-3): Đạo hàm giúp chúng ta giải quyết các vấn đề thực tế liên quan đến tốc độ biến thiên.

Mục tiêu học tập CHA-3.H: Tính đạo hàm của các hàm có giá trị vector. CHỈ DÀNH CHO BC

CHA-3.H.1 Các phương pháp tính đạo hàm của hàm số thực có thể được mở rộng sang hàm số có giá trị vector. CHỈ DÀNH CHO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

A vector-valued function 向量值函数 $\vec{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ gives a position vector for each $t$. Differentiate component-wise: the velocity is $\vec{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ and the acceleration is $\vec{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$. The speed is the magnitude $|\vec{v}|=\sqrt{x'^2+y'^2}$.

Tiếng Việt

Một hàm có giá trị vector $\vec{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ cung cấp một vector vị trí cho mỗi $t$. Đạo hàm theo từng thành phần: vận tốc là $\vec{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ và gia tốc là $\vec{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$. Tốc độ là độ lớn $|\vec{v}|=\sqrt{x'^2+y'^2}$.

Một đường thẳng vector: bắt đầu tại a, sau đó trượt đi t lần theo hướng b

Explore · ⁨Khám phá⁩

Add vector-valued components · ⁨Thêm các thành phần của hàm vector⁩

A vector-valued function packs an $x(t)$ and $y(t)$ into one vector. Differentiating each component gives the velocity vector, tangent to the path. · ⁨Một hàm vector đóng gói một ⟨$x(t)$⟩ và ⟨$y(t)$⟩ vào một vector. Đạo hàm từng thành phần sẽ cho ta vector vận tốc, tiếp tuyến với quỹ đạo.⁩

9.5

Integrating Vector-Valued Functions · ⁨Tích phân các Hàm Có Giá trị Vector⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-8): Solving an initial value problem allows us to determine an expression for the position of a particle moving in the plane.

Learning Objective FUN-8.A: Determine a particular solution given a rate vector and initial conditions. BC ONLY

FUN-8.A.1 Methods for calculating integrals of real-valued functions can be extended to parametric or vector-valued functions. BC ONLY

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (FUN-8): Giải bài toán giá trị ban đầu cho phép chúng ta xác định biểu thức cho vị trí của một hạt chuyển động trong mặt phẳng.

Mục tiêu học tập FUN-8.A: Xác định nghiệm riêng khi đã cho vận tốc vector và điều kiện ban đầu. CHỈ DÀNH CHO BC

FUN-8.A.1 Các phương pháp tính tích phân của hàm số thực có thể được mở rộng sang hàm số tham số hoặc hàm số có giá trị vector. CHỈ DÀNH CHO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Integrate a vector function component by component. Given acceleration or velocity plus an initial condition, integrate each component and use the condition to find the constants – recovering velocity from acceleration, or position from velocity.

Tiếng Việt

Tích phân một hàm vector theo từng thành phần. Cho gia tốc hoặc vận tốc cộng với điều kiện ban đầu, tích phân từng thành phần và sử dụng điều kiện để tìm hằng số – khôi phục vận tốc từ gia tốc, hoặc vị trí từ vận tốc.

9.6

Solving Motion Problems Using Parametric and Vector-Valued Functions · ⁨Giải bài toán Chuyển động Sử dụng Phương trình Tham số và Hàm Có Giá trị Vector⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-8): Solving an initial value problem allows us to determine an expression for the position of a particle moving in the plane.

Learning Objective FUN-8.B: Determine values for positions and rates of change in problems involving planar motion. BC ONLY

FUN-8.B.1 Derivatives can be used to determine velocity, speed, and acceleration for a particle moving along a curve in the plane defined using parametric or vector-valued functions. BC ONLY
FUN-8.B.2 For a particle in planar motion over an interval of time, the definite integral of the velocity vector represents the particle's displacement (net change in position) over the interval of time, from which we might determine its position. The definite integral of speed represents the particle's total distance traveled over the interval of time. BC ONLY

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (FUN-8): Giải bài toán giá trị ban đầu cho phép chúng ta xác định biểu thức cho vị trí của một hạt chuyển động trong mặt phẳng.

Mục tiêu học tập FUN-8.B: Xác định các giá trị cho vị trí và tốc độ thay đổi trong các vấn đề liên quan đến chuyển động trong mặt phẳng. CHỈ DÀNH CHO BC

FUN-8.B.1 Đạo hàm có thể được sử dụng để xác định vận tốc, tốc độ và gia tốc cho một hạt chuyển động dọc theo đường cong trong mặt phẳng được xác định bằng phương trình tham số hoặc hàm có giá trị vector. CHỈ DÀNH CHO BC
FUN-8.B.2 Đối với một hạt chuyển động trong mặt phẳng trên một khoảng thời gian, tích phân xác định của vector vận tốc biểu thị độ dịch chuyển của hạt (biến thiên tổng hợp về vị trí) trên khoảng thời gian đó, từ đó chúng ta có thể xác định vị trí của nó. Tích phân xác định của tốc độ biểu thị tổng quãng đường di chuyển của hạt trên khoảng thời gian đó. CHỈ DÀNH CHO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

For a particle moving in a plane: position is $\langle x(t),y(t)\rangle$, velocity and acceleration are its derivatives, speed is $|\vec v|$, and the distance traveled over $[a,b]$ is

$$\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt.$$

Exam skill: these plane-motion problems appear on the BC free-response nearly every year – be fluent finding speed, the position at a later time (initial point plus the integral of velocity), and total distance.

Worked example. A particle has position $\langle t^2,\ t^3-t\rangle$. Its velocity is $\langle 2t,\ 3t^2-1\rangle$, so at $t=1$ the velocity is $\langle 2,\ 2\rangle$ and the speed is $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$. Its position at $t=2$ is $\langle 4,\ 6\rangle$.

Tiếng Việt

Đối với một hạt chuyển động trong mặt phẳng: vị trí là $\langle x(t),y(t)\rangle$, vận tốc và gia tốc là các đạo hàm của nó, tốc độ là $|\vec v|$, và quãng đường di chuyển trong khoảng thời gian $[a,b]$ là

$$\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt.$$

Kỹ năng thi: các bài toán chuyển động trong mặt phẳng này xuất hiện gần như mỗi năm ở phần tự luận BC – hãy làm quen với việc tìm tốc độ, vị trí tại một thời điểm sau (điểm ban đầu cộng với tích phân của vận tốc), và tổng quãng đường.

Ví dụ đã giải. Một hạt có vị trí $\langle t^2,\ t^3-t\rangle$. Vận tốc của nó là $\langle 2t,\ 3t^2-1\rangle$, nên tại $t=1$ vận tốc là $\langle 2,\ 2\rangle$ và tốc độ là $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$. Vị trí của nó tại $t=2$ là $\langle 4,\ 6\rangle$.

9.7

Defining Polar Coordinates and Differentiating in Polar Form · ⁨Định tọa độ cực và Đạo hàm trong dạng Cực⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.G: Calculate derivatives of functions written in polar coordinates. BC ONLY

FUN-3.G.1 Methods for calculating derivatives of real-valued functions can be extended to functions in polar coordinates. BC ONLY
FUN-3.G.2 For a curve given by a polar equation $r = f(\theta)$, derivatives of $r$, $x$, and $y$ with respect to $\theta$, and first and second derivatives of $y$ with respect to $x$ can provide information about the curve. BC ONLY

Tiếng Việt

Hiểu biết Cốt lõi (FUN-3): Nhận ra các cơ hội để áp dụng các quy tắc đạo hàm có thể giúp đơn giản hóa quá trình vi phân.

Mục tiêu học tập FUN-3.G: Tính đạo hàm của các hàm được viết dưới dạng tọa độ cực. CHỈ DÀNH CHO BC

FUN-3.G.1 Các phương pháp tính đạo hàm của hàm số thực có thể được mở rộng sang hàm số trong tọa độ cực. CHỈ DÀNH CHO BC
FUN-3.G.2 Đối với đường cong cho bởi phương trình cực $r = f(\theta)$, các đạo hàm của $r$, $x$, và $y$ theo $\theta$, cùng các đạo hàm bậc nhất và bậc hai của $y$ theo $x$, có thể cung cấp thông tin về đường cong. CHỈ DÀNH CHO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Tracing a polar curve

Polar coordinates 极坐标 locate a point by its distance $r$ from the origin and angle $\theta$: convert with $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. A polar curve $r=f(\theta)$ is a parametric curve in $\theta$, so its slope is

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta},\quad\text{with } x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta.$$

Tiếng Việt

Vẽ một đường cong cực

Tọa độ cực xác định vị trí một điểm bằng khoảng cách $r$ từ gốc tọa độ và góc $\theta$: chuyển đổi bằng $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. Một đường cong cực $r=f(\theta)$ là một đường cong tham số trong $\theta$, nên độ dốc của nó là

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta},\quad\text{with } x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta.$$

Tọa độ cực xác định một điểm qua khoảng cách r và góc theta

Explore · ⁨Khám phá⁩

Plot a polar curve · ⁨Vẽ đường cong tọa độ cực⁩

In polar coordinates a point is a distance $r$ at angle $\theta$. Letting $r$ depend on $\theta$ traces curves like this cardioid. · ⁨Trong tọa độ cực, một điểm là khoảng cách $r$ ở góc $\theta$. Để $r$ phụ thuộc vào $\theta$ sẽ vẽ ra các đường cong như hình tim cardioid này.⁩

9.8

Finding the Area of a Polar Region · ⁨Tìm Diện tích Vùng Cực⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.D: Calculate areas of regions defined by polar curves using definite integrals. BC ONLY

CHA-5.D.1 The concept of calculating areas in rectangular coordinates can be extended to polar coordinates. BC ONLY

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (CHA-5): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề liên quan đến sự tích lũy thay đổi về diện tích hoặc thể tích trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-5.D: Tính diện tích các vùng được xác định bởi các đường cong cực sử dụng tích phân xác định. CHỈ DÀNH CHO BC

CHA-5.D.1 Khái niệm tính diện tích trong tọa độ chữ nhật có thể được mở rộng sang tọa độ cực. CHỈ DÀNH CHO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

The area swept out by a polar curve $r=f(\theta)$ from $\alpha$ to $\beta$ is

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta \big(f(\theta)\big)^2\,d\theta.$$

The region is a "fan" of thin triangular sectors; choosing the correct $\theta$-limits (where the curve starts and finishes tracing the region) is the main challenge.

Worked example. Find the area of one petal of the rose $r=2\sin(2\theta)$ (traced for $\theta$ from $0$ to $\tfrac{\pi}{2}$). Using $\sin^2 u=\tfrac12(1-\cos 2u)$,

$$A=\frac12\int_0^{\pi/2}(2\sin 2\theta)^2\,d\theta=\int_0^{\pi/2}(1-\cos 4\theta)\,d\theta=\left[\theta-\tfrac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}.$$

Tiếng Việt

Diện tích quét bởi đường cong cực $r=f(\theta)$ từ $\alpha$ đến $\beta$ là

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta \big(f(\theta)\big)^2\,d\theta.$$

Vùng này là một "cánh quạt" gồm các_sector tam giác mỏng; việc chọn đúng giới hạn $\theta$ (nơi đường cong bắt đầu và kết thúc việc quét vùng) là thách thức chính.

Ví dụ đã giải. Tìm diện tích của một cánh hoa hồng $r=2\sin(2\theta)$ (quét cho $\theta$ từ $0$ đến $\tfrac{\pi}{2}$). Sử dụng $\sin^2 u=\tfrac12(1-\cos 2u)$,

$$A=\frac12\int_0^{\pi/2}(2\sin 2\theta)^2\,d\theta=\int_0^{\pi/2}(1-\cos 4\theta)\,d\theta=\left[\theta-\tfrac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}.$$

Diện tích của một vùng cực được quét bằng một nửa tích phân của r bình phương d theta — Vùng tô màu là một cánh quạt gồm các sector mỏng được quét từ $\alpha$ đến $\beta$; mỗi sector có diện tích $\tfrac12 r^2\,d\theta$, nên tổng diện tích là $\tfrac12\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$.

9.9

Finding the Area of the Region Bounded by Two Polar Curves · ⁨Tìm Diện tích Vùng Giới hạn bởi Hai Đường cong Cực⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.D: Calculate areas of regions defined by polar curves using definite integrals. BC ONLY

CHA-5.D.2 Areas of regions bounded by polar curves can be calculated with definite integrals. BC ONLY

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (CHA-5): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề liên quan đến sự tích lũy thay đổi về diện tích hoặc thể tích trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-5.D: Tính diện tích các vùng được xác định bởi các đường cong cực sử dụng tích phân xác định. CHỈ DÀNH CHO BC

CHA-5.D.2 Diện tích các vùng bị giới hạn bởi đường cong cực có thể được tính bằng tích phân xác định. CHỈ DÀNH CHO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

For the area between an outer curve $r_1$ and an inner curve $r_2$, subtract the sectors:

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta\big(r_1^2-r_2^2\big)\,d\theta.$$

Find the intersection angles first (set $r_1=r_2$), and be careful which curve is outer over each interval – they can swap.

Tiếng Việt

Đối với diện tích giữa đường cong ngoài $r_1$ và đường cong trong $r_2$, trừ các sector:

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta\big(r_1^2-r_2^2\big)\,d\theta.$$

Tìm trước các góc giao nhau (đặt $r_1=r_2$), và cẩn thận xem đường cong nào là ngoài trên từng khoảng – chúng có thể hoán đổi.

9.9

Exam tips · ⁨Mẹo làm bài thi⁩

English

For parametric curves, $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/dt}{dx/dt}$; speed is $\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}$.
A vector-valued function carries the same information — differentiate/integrate it component by component.
In polar, convert with $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$; area swept is $\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
Watch the direction of tracing (the sign of $dx/dt$) and set correct $\theta$-limits for polar area.
Eliminate the parameter to recover the ordinary $y$-vs-$x$ shape when it helps.

Tiếng Việt

Đối với đường cong tham số, $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/dt}{dx/dt}$; tốc độ là $\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}$.
Một hàm có giá trị vector mang cùng thông tin – đạo hàm/tích phân nó theo từng thành phần.
Trong tọa độ cực, chuyển đổi bằng $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$; diện tích quét là $\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
Chú ý hướng vẽ (dấu của $dx/dt$) và đặt đúng giới hạn $\theta$ cho diện tích cực tọa.
Loại bỏ tham số để thu được hình dạng thông thường $y$-vs-$x$ khi cần thiết.

Interactive lessons on this topic · ⁨Bài học tương tác về chủ đề này⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Làm theo từng bước, kèm theo bài tập kiểm tra ngay lập tức.⁩

Past Papers · ⁨Đề thi cũ⁩

More topics in AP Calculus BC · ⁨AP Giải tích BC⁩ · ⁨Nhiều chủ đề hơn trong AP Calculus BC · ⁨AP Giải tích BC⁩⁩