Applications of Integration · ⁨Ứng dụng của tích phân⁩

AP Calculus BC · ⁨AP Giải tích BC⁩ · Topic 8 · ⁨Chủ đề 8⁩

View Slides · ⁨Xem Slides⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩

Video lesson for this topic · ⁨Bài học video cho chủ đề này⁩ Open the video page · ⁨Mở trang video⁩

8.1

Finding the Average Value of a Function on an Interval · ⁨Tìm Giá Trị Trung Bình của Hàm trên Một Khoảng⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.B: Determine the average value of a function using definite integrals.

CHA-4.B.1 The average value of a continuous function $f$ over an interval $[a, b]$ is $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (CHA-4): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các bài toán liên quan đến sự tích lũy thay đổi trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-4.B: Xác định giá trị trung bình của một hàm số sử dụng tích phân xác định.

CHA-4.B.1 Giá trị trung bình của một hàm số liên tục $f$ trên một khoảng $[a, b]$ là $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

The average value 平均值 of $f$ over $[a,b]$ is the integral divided by the width:

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

It is the constant height a rectangle would need to have the same area as the region under $f$. Do not confuse this with the average rate of change (which uses the derivative).

Worked example. The average value of $f(x)=x^2$ on $[0,3]$ is $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac13(9)=3$.

Tiếng Việt

Giá trị trung bình của $f$ trên $[a,b]$ là tích phân chia cho độ rộng:

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

Đó là chiều cao hằng số mà một hình chữ nhật sẽ cần để có cùng diện tích với vùng dưới $f$. Đừng nhầm lẫn điều này với tốc độ thay đổi trung bình (sử dụng đạo hàm).

Ví dụ có lời giải. Giá trị trung bình của $f(x)=x^2$ trên $[0,3]$ là $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac13(9)=3$.

Explore · ⁨Khám phá⁩

The average value of a function · ⁨Giá trị trung bình của một hàm số⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

The average value of $f$ on $[a,b]$ is its integral divided by the width — the constant height whose rectangle has the same area as under the curve. · ⁨Giá trị trung bình của $f$ trên $[a,b]$ là tích phân của nó chia cho chiều rộng — chiều cao hằng số mà hình chữ nhật có cùng diện tích với diện tích dưới đường cong.⁩

8.2

Connecting Position, Velocity, and Acceleration Using Integrals · ⁨Kết Nối Vị Trí, Vận Tốc và Gia Tốc Sử Dụng Tích Phân⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.C: Determine values for positions and rates of change using definite integrals in problems involving rectilinear motion.

CHA-4.C.1 For a particle in rectilinear motion over an interval of time, the definite integral of velocity represents the particle's displacement over the interval of time, and the definite integral of speed represents the particle's total distance traveled over the interval of time.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (CHA-4): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các bài toán liên quan đến sự tích lũy thay đổi trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-4.C: Xác định các giá trị cho vị trí và tốc độ thay đổi bằng tích phân xác định trong các bài toán liên quan đến chuyển động thẳng.

CHA-4.C.1 Đối với một hạt chuyển động thẳng trong một khoảng thời gian, tích phân xác định của vận tốc biểu thị độ dịch chuyển của hạt trong khoảng thời gian đó, và tích phân xác định của tốc độ biểu thị tổng quãng đường mà hạt di chuyển được trong khoảng thời gian đó.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

For straight-line motion, integration reverses differentiation:

$$v(t)=\int a(t)\,dt,\qquad s(t)=\int v(t)\,dt.$$

Two key distinctions: displacement 位移 is $\int_a^b v\,dt$ (net change in position), while total distance 总路程 is $\int_a^b |v|\,dt$ (splitting where $v$ changes sign). Speed is $|v|$.

Tiếng Việt

Đối với chuyển động thẳng, tích phân đảo ngược quá trình đạo hàm:

$$v(t)=\int a(t)\,dt,\qquad s(t)=\int v(t)\,dt.$$

Hai điểm khác biệt quan trọng: tì位移 (displacement) là $\int_a^b v\,dt$ (thay đổi vị trí ròng), trong khi quãng đường toàn phần là $\int_a^b |v|\,dt$ (chia tách nơi $v$ đổi dấu). Tốc độ là $|v|$.

Vocabulary · ⁨Từ vựng⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩

English	Tiếng Việt
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	giá trị trung bình
displacement/dɪˈspleɪsmənt/	chuyển vị
total distance/ˈtəʊtl ˈdɪstəns/	tổng quãng đường
cross sections/krɒs ˈsekʃnz/	mặt cắt ngang
disc method/dɪsk ˈmeθəd/	phương pháp đĩa

8.3

Using Accumulation Functions and Definite Integrals in Applied Contexts · ⁨Sử Dụng Hàm Tích lũy và Tích phân xác định trong Bối cảnh Ứng dụng⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.D: Interpret the meaning of a definite integral in accumulation problems.

CHA-4.D.1 A function defined as an integral represents an accumulation of a rate of change.
CHA-4.D.2 The definite integral of the rate of change of a quantity over an interval gives the net change of that quantity over that interval.

Learning Objective CHA-4.E: Determine net change using definite integrals in applied contexts.

CHA-4.E.1 The definite integral can be used to express information about accumulation and net change in many applied contexts.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (CHA-4): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các bài toán liên quan đến sự tích lũy thay đổi trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-4.D: Giải thích ý nghĩa của tích phân xác định trong các bài toán tích lũy.

CHA-4.D.1 Một hàm được định nghĩa dưới dạng tích phân đại diện cho sự tích lũy của một tốc độ thay đổi.
CHA-4.D.2 Tích phân xác định của tốc độ thay đổi của một đại lượng trong một khoảng thời gian cho biết sự thay đổi ròng của đại lượng đó trong khoảng thời gian đó.

Mục tiêu học tập CHA-4.E: Xác định sự thay đổi ròng bằng tích phân xác định trong các bối cảnh thực tiễn.

CHA-4.E.1 Tích phân xác định có thể được sử dụng để biểu diễn thông tin về sự tích lũy và sự thay đổi ròng trong nhiều bối cảnh thực tiễn khác nhau.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

When a rate is given (flow rate, sales per day), the definite integral gives the accumulated total, and $\int_a^b R(t)\,dt$ carries the units of $R$ times time. A common setup: initial amount $+\int(\text{rate in}-\text{rate out})\,dt$ gives the amount at a later time. Always interpret the answer in context, with units.

Tiếng Việt

Khi một tốc độ được cho (tốc độ dòng chảy, doanh số mỗi ngày), tích phân xác định cho tổng tích lũy, và $\int_a^b R(t)\,dt$ mang đơn vị của $R$ nhân với thời gian. Một cách thiết lập phổ biến: lượng ban đầu $+\int(\text{rate in}-\text{rate out})\,dt$ cho ta lượng tại một thời điểm sau. Luôn diễn giải kết quả theo ngữ cảnh, kèm đơn vị.

8.4

Finding the Area Between Curves Expressed as Functions of x · ⁨Tìm Diện Tích Giữa Hai Đường Cong Được Biểu Diễn Dưới Dạng Hàm Theo x⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.1 Areas of regions in the plane can be calculated with definite integrals.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (CHA-5): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề liên quan đến sự tích lũy thay đổi về diện tích hoặc thể tích trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-5.A: Tính diện tích trong mặt phẳng bằng tích phân xác định.

CHA-5.A.1 Diện tích của các vùng trong mặt phẳng có thể được tính bằng tích phân xác định.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

The area between $y=f(x)$ (top) and $y=g(x)$ (bottom) from $a$ to $b$ is

$$\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.$$

Find the intersection points for the limits, and always subtract top minus bottom.

Worked example. Between $y=x$ and $y=x^2$ (crossing at $x=0,1$, with $y=x$ on top), the area is $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac16$.

Tiếng Việt

Một người thợ gốm tạo hình vật: thể tích quay quay một vùng phẳng quanh trục — Người thợ gốm tạo hình vật: thể tích quay quay một vùng phẳng quanh trục

Diện tích giữa $y=f(x)$ (trên) và $y=g(x)$ (dưới) từ $a$ đến $b$ là

$$\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.$$

Tìm các điểm giao nhau để lấy cận, và luôn trừ trên trừ dưới.

Diện tích giữa hai đường cong là tích phân của hàm trên trừ hàm dưới — Diện tích giữa hai đường cong là tích phân của (trên trừ dưới)

Ví dụ minh họa. Giữa $y=x$ và $y=x^2$ (cắt nhau tại $x=0,1$, với $y=x$ nằm trên), diện tích là $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac16$.

8.5

Finding the Area Between Curves Expressed as Functions of y · ⁨Tìm Diện Tích Giữa Hai Đường Cong Được Biểu Diễn Dưới Dạng Hàm Theo y⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.2 Areas of regions in the plane can be calculated using functions of either $x$ or $y$.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (CHA-5): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề liên quan đến sự tích lũy thay đổi về diện tích hoặc thể tích trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-5.A: Tính diện tích trong mặt phẳng bằng tích phân xác định.

CHA-5.A.2 Diện tích của các vùng trong mặt phẳng có thể được tính bằng cách sử dụng hàm theo biến $x$ hoặc $y$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

When curves are easier to describe as $x=f(y)$, integrate with respect to $y$ instead, using right minus left:

$$\int_c^d\big(f_{\text{right}}(y)-g_{\text{left}}(y)\big)\,dy.$$

Choosing to integrate in $y$ can avoid splitting the region into several pieces.

Tiếng Việt

Khi các đường cong dễ mô tả hơn dưới dạng $x=f(y)$, hãy tích phân theo $y$ thay thế, sử dụng phải trừ trái:

$$\int_c^d\big(f_{\text{right}}(y)-g_{\text{left}}(y)\big)\,dy.$$

Việc chọn tích phân theo $y$ có thể tránh việc chia vùng thành nhiều mảnh.

8.6

Finding the Area Between Curves That Intersect More Than Twice · ⁨Tìm Diện Tích Giữa Hai Đường Cong Cắt.Reduoc Hon Hai Lan⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.3 Areas of certain regions in the plane may be calculated using a sum of two or more definite integrals or by evaluating a definite integral of the absolute value of the difference of two functions.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (CHA-5): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề liên quan đến sự tích lũy thay đổi về diện tích hoặc thể tích trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-5.A: Tính diện tích trong mặt phẳng bằng tích phân xác định.

CHA-5.A.3 Diện tích của một số vùng trong mặt phẳng có thể được tính bằng tổng của hai hoặc nhiều tích phân xác định, hoặc bằng cách đánh giá tích phân xác định của giá trị tuyệt đối của hiệu hai hàm số.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

If two curves cross several times, the top and bottom switch. Split the region at each intersection and integrate each piece with the correct top-minus-bottom (or use $\int|f-g|$), then add the pieces.

Tiếng Việt

Nếu hai đường cong cắt nhau nhiều lần, phần trên và dưới sẽ hoán đổi. Chia vùng tại mỗi điểm giao nhau và tính tích phân từng phần với công thức trên-trừ-dưới đúng (hoặc sử dụng $\int|f-g|$), sau đó cộng các phần lại.

8.7

Volumes with Cross Sections: Squares and Rectangles · ⁨Thể Tích Với Tiết Diện Cắt: Hình Vuông và Hình Chữ Nhật⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.1 Volumes of solids with square and rectangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (CHA-5): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề liên quan đến sự tích lũy thay đổi về diện tích hoặc thể tích trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-5.B: Tính thể tích của khối có tiết diện đã biết bằng tích phân xác định.

CHA-5.B.1 Thể tích của khối có tiết diện vuông và hình chữ nhật có thể tìm thấy bằng tích phân xác định và các công thức diện tích của những hình này.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

If a solid's cross sections 横截面 perpendicular to the $x$-axis are squares or rectangles, integrate their area. With side length equal to the distance between two curves, a square cross section gives

$$V=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)^2\,dx.$$

The method is always "integrate the cross-sectional area."

Tiếng Việt

Nếu một khối có mặt cắt ngang vuông góc với trục $x$ là hình vuông hoặc hình chữ nhật, hãy tích phân diện tích của chúng. Với cạnh bằng khoảng cách giữa hai đường cong, mặt cắt ngang hình vuông cho

$$V=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)^2\,dx.$$

Phương pháp luôn là "tích phân diện tích mặt cắt ngang".

8.8

Volumes with Cross Sections: Triangles and Semicircles · ⁨Thể tích với các mặt cắt: Tam giác và Bán tròn⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.2 Volumes of solids with triangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
CHA-5.B.3 Volumes of solids with semicircular and other geometrically defined cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
- Illustrative examples for CHA-5.B.3:
  - The volume of a funnel whose cross sections are circles can be found using the area formula for a circle and definite integrals (see 2016 AB Exam FRQ #5(b)).
  - The volume of a solid whose cross sectional area is defined using a function can be found using the known area function and a definite integral (see 2009 AB Exam FRQ #4(c)).

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (CHA-5): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề liên quan đến sự tích lũy thay đổi về diện tích hoặc thể tích trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-5.B: Tính thể tích của khối có tiết diện đã biết bằng tích phân xác định.

CHA-5.B.2 Thể tích của khối có tiết diện tam giác có thể tìm thấy bằng tích phân xác định và các công thức diện tích của những hình này.
CHA-5.B.3 Thể tích của khối có tiết diện bán tròn và các hình học được xác định khác có thể tìm thấy bằng tích phân xác định và các công thức diện tích của những hình này.
- Ví dụ minh họa cho CHA-5.B3:
  - Thể tích của phễu có tiết diện là hình tròn có thể tìm thấy bằng công thức diện tích hình tròn và tích phân xác định (xem Đề thi AB 2016 FRQ #5(b)).
  - Thể tích của khối có diện tích tiết diện được định nghĩa bằng hàm số có thể tìm thấy bằng hàm diện tích đã biết và tích phân xác định (xem Đề thi AB 2009 FRQ #4(c)).

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Same idea, different area formula: for equilateral-triangle cross sections use $A=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$, and for semicircular ones $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$ (with $s$ the distance between the curves). Substitute the area formula and integrate.

Tiếng Việt

Cùng ý tưởng, nhưng công thức diện tích khác: đối với mặt cắt ngang tam giác đều sử dụng $A=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$, và đối với bán nguyệt thì $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$ (với $s$ là khoảng cách giữa các đường cong). Thay thế công thức diện tích và tích phân.

8.9

Volume with Disc Method: Revolving Around the x- or y-Axis · ⁨Thể Tích Với Phương Pháp Đĩa: Quay Quanh Trục x hoặc y⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.1 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis may be found by using definite integrals with the disc method.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (CHA-5): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề liên quan đến sự tích lũy thay đổi về diện tích hoặc thể tích trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-5.C: Tính thể tích của vật thể quay sử dụng tích phân xác định.

CHA-5.C.1 Thể tích của khối tròn xoay quanh trục $x$ hoặc trục $y$ có thể tìm thấy bằng cách sử dụng tích phân xác định với phương pháp đĩa.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Solids of revolution: the disc method

Revolving a region around an axis makes a solid whose cross sections are discs. The disc method 圆盘法 integrates $\pi(\text{radius})^2$:

$$V=\pi\int_a^b \big(R(x)\big)^2\,dx,$$

where the radius $R$ is the distance from the curve to the axis. Use $dy$ when revolving around the $y$-axis.

Worked example. Revolving the region under $y=\sqrt{x}$ from $0$ to $4$ about the $x$-axis gives discs of radius $\sqrt{x}$: $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$.

Tiếng Việt

Khối quay quanh trục: phương pháp đĩa

Quay một vùng quanh trục tạo ra một khối có các mặt cắt ngang là đĩa. Phương pháp đĩa tích phân $\pi(\text{radius})^2$:

$$V=\pi\int_a^b \big(R(x)\big)^2\,dx,$$

trong đó bán kính $R$ là khoảng cách từ đường cong đến trục. Sử dụng $dy$ khi quay quanh trục $y$.

Phương pháp đĩa: xoay y=f(x) quanh trục tạo ra các đĩa có bán kính f(x)

Ví dụ minh họa. Quay vùng dưới $y=\sqrt{x}$ từ $0$ đến $4$ quanh trục $x$ tạo ra các đĩa bán kính $\sqrt{x}$: $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$.

Xoay một vùng quanh trục tạo ra một khối quay

8.10

Volume with Disc Method: Revolving Around Other Axes · ⁨Thể Tích Với Phương Pháp Đĩa: Quay Quanh Các Trục Khác⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.2 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line in the plane may be found by using definite integrals with the disc method.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (CHA-5): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề liên quan đến sự tích lũy thay đổi về diện tích hoặc thể tích trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-5.C: Tính thể tích của vật thể quay sử dụng tích phân xác định.

CHA-5.C.2 Thể tích của các vật thể quay quanh bất kỳ đường ngang hay đường đứng nào trong mặt phẳng có thể tìm được bằng cách sử dụng tích phân xác định với phương pháp đĩa.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

When the axis of revolution is a horizontal or vertical line like $y=k$ (not an axis), the radius adjusts: $R=|f(x)-k|$. Set up the radius as the distance from the curve to that line, then integrate $\pi R^2$ as before.

Tiếng Việt

Khi trục quay là một đường ngang hoặc dọc như $y=k$ (không phải là trục tọa độ), bán kính sẽ điều chỉnh: $R=|f(x)-k|$. Thiết lập bán kính là khoảng cách từ đường cong đến đường thẳng đó, sau đó tích phân $\pi R^2$ như trước đây.

8.11

Volume with Washer Method: Revolving Around the x- or y-Axis · ⁨Thể Tích Với Phương Pháp Vành: Quay Quanh Trục x hoặc y⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.3 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (CHA-5): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề liên quan đến sự tích lũy thay đổi về diện tích hoặc thể tích trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-5.C: Tính thể tích của vật thể quay sử dụng tích phân xác định.

CHA-5.C.3 Thể tích của các vật thể quay xung quanh trục $x$ hoặc trục $y$ mà phần cắt ngang có hình dạng vòng nhẫn có thể tìm được bằng cách sử dụng tích phân xác định với phương pháp vòng.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Volume by the washer method

If the region does not touch the axis, revolving leaves a hole, so cross sections are washers (rings). The washer method 垫圈法 subtracts the inner disc:

$$V=\pi\int_a^b\Big(R_{\text{outer}}^2-R_{\text{inner}}^2\Big)\,dx.$$

Identify the outer and inner radii as distances from each curve to the axis.

Tiếng Việt

Thể tích bằng phương pháp vành

Nếu vùng không chạm vào trục, việc quay sẽ tạo ra lỗ hổng, nên các mặt cắt ngang là vành (rings). Phương pháp vành trừ đi đĩa bên trong:

$$V=\pi\int_a^b\Big(R_{\text{outer}}^2-R_{\text{inner}}^2\Big)\,dx.$$

Xác định bán kính ngoài và bán kính trong là khoảng cách từ mỗi đường cong đến trục.

Vocabulary · ⁨Từ vựng⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩

English	Tiếng Việt
washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/	phương pháp vòng đệm
arc length/ɑːk leŋθ/	độ dài cung

8.12

Volume with Washer Method: Revolving Around Other Axes · ⁨Thể Tích Với Phương Pháp Vành: Quay Quanh Các Trục Khác⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.4 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (CHA-5): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề liên quan đến sự tích lũy thay đổi về diện tích hoặc thể tích trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-5.C: Tính thể tích của vật thể quay sử dụng tích phân xác định.

CHA-5.C.4 Thể tích của các vật thể quay quanh bất kỳ đường ngang hay đường đứng nào mà phần cắt ngang có hình dạng vòng nhẫn có thể tìm được bằng cách sử dụng tích phân xác định với phương pháp vòng.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

As with discs, revolving around a line $y=k$ or $x=k$ shifts both radii – each becomes the distance from its curve to that line. Sketch the region and the axis, label $R_{\text{outer}}$ and $R_{\text{inner}}$, then integrate the difference of squares.

Tiếng Việt

Tương tự như đĩa, quay quanh đường thẳng $y=k$ hoặc $x=k$ sẽ dịch chuyển cả hai bán kính – mỗi cái trở thành khoảng cách từ đường cong của nó đến đường thẳng đó. Vẽ vùng và trục, gắn nhãn $R_{\text{outer}}$ và $R_{\text{inner}}$, sau đó tích phân hiệu của bình phương.

8.13

The Arc Length of a Smooth Curve and Distance Traveled · ⁨Độ Dài Cung Của Đường Cong Mượt Và Quãng Đường Di Chuyển⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-6): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in length over an interval.

Learning Objective CHA-6.A: Determine the length of a curve in the plane defined by a function, using a definite integral. BC ONLY

CHA-6.A.1 The length of a planar curve defined by a function can be calculated using a definite integral. BC ONLY

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (CHA-6): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề liên quan đến sự tích lũy thay đổi về chiều dài trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-6.A: Xác định chiều dài của đường cong trong mặt phẳng được xác định bởi một hàm số, sử dụng tích phân xác định. CHỈ DÀNH CHO BC

CHA-6.A.1 Chiều dài của đường cong phẳng được xác định bởi một hàm số có thể được tính toán bằng tích phân xác định. CHỈ DÀNH CHO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

The arc length 弧长 of $y=f(x)$ from $a$ to $b$ is

$$L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx.$$

This BC-only formula comes from summing tiny hypotenuses $\sqrt{dx^2+dy^2}$. The same idea gives the distance a particle travels along a curved path.

Worked example. Find the arc length of $y=\tfrac{2}{3}x^{3/2}$ from $x=0$ to $x=3$. Here $f'(x)=x^{1/2}$, so $1+(f')^2=1+x$ and

$$L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\left[\tfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3=\tfrac{2}{3}(8-1)=\tfrac{14}{3}.$$

Tiếng Việt

Độ dài cung của $y=f(x)$ từ $a$ đến $b$ là

$$L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx.$$

Công thức chỉ dành riêng cho BC này xuất phát từ việc tổng hợp các cạnh huyền nhỏ $\sqrt{dx^2+dy^2}$. Ý tưởng tương tự cũng áp dụng cho quãng đường một hạt di chuyển dọc theo một đường cong.

Ví dụ có lời giải. Tìm độ dài cung của $y=\tfrac{2}{3}x^{3/2}$ từ $x=0$ đến $x=3$. Tại đây $f'(x)=x^{1/2}$, vì vậy $1+(f')^2=1+x$ và

$$L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\left[\tfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3=\tfrac{2}{3}(8-1)=\tfrac{14}{3}.$$

Cầu Golden Gate và dây cáp chính cong vút của nó — Dây cáp chính của cầu treo dưới dạng đường cong mượt; tích phân cho biết chiều dài chính xác của nó

8.13

Exam tips · ⁨Mẹo làm bài thi⁩

English

Area between curves is $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — find the intersection points for the limits and keep top minus bottom.
For a volume of revolution, add up disc/washer cross-sections of area $\pi r^2$ (or $\pi(R^2-r^2)$).
The average value of $f$ on $[a,b]$ is $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
Accumulated change is $\int$ of a rate: total = initial value $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
Integration means "adding up infinitely many tiny pieces" — set up the integrand as one thin slice.

Tiếng Việt

Diện tích giữa các đường cong là $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — tìm các điểm giao để xác định cận và giữ nguyên thứ tự trên trừ dưới.
Đối với thể tích quay, cộng dồn các mặt cắt hình đĩa/vành có diện tích $\pi r^2$ (hoặc $\pi(R^2-r^2)$).
Giá trị trung bình của $f$ trên $[a,b]$ là $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
Sự thay đổi tích lũy là $\int$ của một tốc độ: tổng = giá trị ban đầu $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
Tích phân có nghĩa là "cộng vô số phần tử nhỏ bé" — thiết lập biểu thức dưới dấu tích phân như một lát cắt mỏng.

Interactive lessons on this topic · ⁨Bài học tương tác về chủ đề này⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Làm theo từng bước, kèm theo bài tập kiểm tra ngay lập tức.⁩

Past Papers · ⁨Đề thi cũ⁩

More topics in AP Calculus BC · ⁨AP Giải tích BC⁩ · ⁨Nhiều chủ đề hơn trong AP Calculus BC · ⁨AP Giải tích BC⁩⁩