Applications of Integration · ⁨Ứng dụng của tích phân⁩

AP Calculus AB · ⁨AP Giải tích AB⁩ · Topic 8 · ⁨Chủ đề 8⁩

View Slides · ⁨Xem Slides⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩

Video lesson for this topic · ⁨Bài học video cho chủ đề này⁩ Open the video page · ⁨Mở trang video⁩

8.1

Average Value of a Function · ⁨Giá Trị Trung Bình Của Hàm Số⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.B: Determine the average value of a function using definite integrals.

CHA-4.B.1 The average value of a continuous function $f$ over an interval $[a, b]$ is $\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx$.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (CHA-4): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các bài toán liên quan đến sự tích lũy thay đổi trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-4.B: Xác định giá trị trung bình của một hàm số sử dụng tích phân xác định.

CHA-4.B.1 Giá trị trung bình của một hàm số liên tục $f$ trên một khoảng $[a, b]$ là $\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

The average value 平均值 of a continuous function $f$ over $[a,b]$ is the integral divided by the interval length:

$$f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

It is the constant height of a rectangle on $[a,b]$ with the same area as under $f$. Do not confuse it with the average rate of change (which divides change in $f$ by the interval), or with a Riemann-sum average of a few values – the exam distinguishes these carefully. Report units in context (e.g. the average rate "in vehicles per hour").

Worked example. The average value of $f(x)=x^2$ on $[0,3]$ is

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,dx=\frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac{1}{3}(9)=3.$$

Tiếng Việt

Giá trị trung bình của một hàm liên tục $f$ trên khoảng $[a,b]$ bằng tích phân chia cho độ dài khoảng đó:

$$f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

Nó chính là chiều cao không đổi của một hình chữ nhật nằm trên $[a,b]$ có cùng diện tích với phần nằm dưới $f$. Đừng nhầm lẫn với tốc độ thay đổi trung bình (chia sự thay đổi của $f$ cho khoảng thời gian), hay với trung bình tổng Riemann của vài giá trị – đề thi phân biệt rất kỹ các khái niệm này. Báo đơn vị trong ngữ cảnh (ví dụ: tốc độ trung bình "xe mỗi giờ").

Ví dụ minh họa. Giá trị trung bình của $f(x)=x^2$ trên $[0,3]$ là

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,dx=\frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac{1}{3}(9)=3.$$

Explore · ⁨Khám phá⁩

The average value of a function · ⁨Giá trị trung bình của một hàm số⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

The average value of $f$ on $[a,b]$ is its integral divided by the width — the constant height whose rectangle has the same area as under the curve. · ⁨Giá trị trung bình của $f$ trên $[a,b]$ là tích phân của nó chia cho chiều rộng — chiều cao hằng số mà hình chữ nhật có cùng diện tích với diện tích dưới đường cong.⁩

8.2

Position, Velocity, and Acceleration Using Integrals · ⁨Vị Trí, Vận Tốc Và Gia Tốc Sử Dụng Tích Phân⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.C: Determine values for positions and rates of change using definite integrals in problems involving rectilinear motion.

CHA-4.C.1 For a particle in rectilinear motion over an interval of time, the definite integral of velocity represents the particle's displacement over the interval of time, and the definite integral of speed represents the particle's total distance traveled over the interval of time.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (CHA-4): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các bài toán liên quan đến sự tích lũy thay đổi trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-4.C: Xác định các giá trị cho vị trí và tốc độ thay đổi bằng tích phân xác định trong các bài toán liên quan đến chuyển động thẳng.

CHA-4.C.1 Đối với một hạt chuyển động thẳng trong một khoảng thời gian, tích phân xác định của vận tốc biểu thị độ dịch chuyển của hạt trong khoảng thời gian đó, và tích phân xác định của tốc độ biểu thị tổng quãng đường mà hạt di chuyển được trong khoảng thời gian đó.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Integration reverses the motion links of Unit 4. For a particle in straight-line motion over $[t_1,t_2]$:

Displacement 位移 (net change in position) $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.
Total distance travelled 总路程 $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$ – integrate speed, so direction changes add up instead of cancelling.
Position at a later time $= x(t_1) + \displaystyle\int_{t_1}^{t} v(s)\,ds$; velocity from acceleration $= v(t_1)+\int a$.

The displacement-versus-distance distinction (with the absolute value) is a classic graded point.

Tiếng Việt

Tích phân đảo ngược các mối liên hệ chuyển động của Đơn vị 4. Đối với một hạt chuyển động trên đường thẳng trong khoảng $[t_1,t_2]$:

Độ dịch chuyển (biến thiên tổng cộng của vị trí) $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.
Quãng đường di chuyển toàn phần $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$ – tích phân tốc độ, vì vậy sự thay đổi hướng sẽ cộng dồn thay vì triệt tiêu nhau.
Vị trí tại thời điểm sau $= x(t_1) + \displaystyle\int_{t_1}^{t} v(s)\,ds$; vận tốc tính từ gia tốc $= v(t_1)+\int a$.

Sự phân biệt giữa độ dịch chuyển và quãng đường (với giá trị tuyệt đối) là một điểm chấm điểm kinh điển.

8.3

Accumulation Functions and Definite Integrals in Applied Contexts · ⁨Các Hàm Tích Phân và Tích Phân Xác Định Trong Ngữ Cảnh Ứng Dụng⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.D: Interpret the meaning of a definite integral in accumulation problems.

CHA-4.D.1 A function defined as an integral represents an accumulation of a rate of change.
CHA-4.D.2 The definite integral of the rate of change of a quantity over an interval gives the net change of that quantity over that interval.

Learning Objective CHA-4.E: Determine net change using definite integrals in applied contexts.

CHA-4.E.1 The definite integral can be used to express information about accumulation and net change in many applied contexts.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (CHA-4): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các bài toán liên quan đến sự tích lũy thay đổi trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-4.D: Giải thích ý nghĩa của tích phân xác định trong các bài toán tích lũy.

CHA-4.D.1 Một hàm được định nghĩa dưới dạng tích phân đại diện cho sự tích lũy của một tốc độ thay đổi.
CHA-4.D.2 Tích phân xác định của tốc độ thay đổi của một đại lượng trong một khoảng thời gian cho biết sự thay đổi ròng của đại lượng đó trong khoảng thời gian đó.

Mục tiêu học tập CHA-4.E: Xác định sự thay đổi ròng bằng tích phân xác định trong các bối cảnh thực tiễn.

CHA-4.E.1 Tích phân xác định có thể được sử dụng để biểu diễn thông tin về sự tích lũy và sự thay đổi ròng trong nhiều bối cảnh thực tiễn khác nhau.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

A function defined as an integral accumulates a rate of change. The net change 净变化 theorem is the everyday tool: the definite integral of a rate over an interval gives the net change of the quantity:

$$\text{(final)} = \text{(initial)} + \int_a^b (\text{rate})\,dt.$$

So "how much water is in the tank at $t=5$" = starting amount + $\int_0^5(\text{inflow}-\text{outflow})\,dt$. Watch signs (in minus out) and units. Many multi-part FRQs are built entirely on this idea – often paired with "write, but do not evaluate, an integral expression that gives the total...".

Tiếng Việt

Một hàm được định nghĩa bởi một tích phân sẽ tích lũy tốc độ thay đổi. Định lý biến thiên tổng cộng là công cụ thực tế: tích phân xác định của một tốc độ trên một khoảng thời gian cho ta biết biến thiên tổng cộng của đại lượng đó:

$$\text{(final)} = \text{(initial)} + \int_a^b (\text{rate})\,dt.$$

Vì vậy "bao nhiêu nước trong bể tại thời điểm $t=5$" = lượng bắt đầu + $\int_0^5(\text{inflow}-\text{outflow})\,dt$. Chú ý đến dấu (dòng chảy vào trừ dòng chảy ra) và đơn vị. Nhiều câu hỏi tự luận (FRQ) nhiều phần được xây dựng hoàn toàn dựa trên ý tưởng này – thường đi kèm với yêu cầu "viết, nhưng không tính, một biểu thức tích phân cho tổng...".

8.4

Finding the Area Between Curves (Functions of x) · ⁨Tìm Diện Tích Giữa Hai Đường Cong (Hàm theo x)⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.1 Areas of regions in the plane can be calculated with definite integrals.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (CHA-5): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề liên quan đến sự tích lũy thay đổi về diện tích hoặc thể tích trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-5.A: Tính diện tích trong mặt phẳng bằng tích phân xác định.

CHA-5.A.1 Diện tích của các vùng trong mặt phẳng có thể được tính bằng tích phân xác định.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

The area between two curves $y=f(x)$ (top) and $y=g(x)$ (bottom) on $[a,b]$ is:

$$A = \int_a^b \big[f(x)-g(x)\big]\,dx = \int_a^b (\text{top} - \text{bottom})\,dx.$$

Find the intersection points first to set the limits, and always subtract bottom from top.

Worked example. Find the area between $y=x$ and $y=x^2$. They cross at $x=0$ and $x=1$, and on $(0,1)$ the line $y=x$ is on top, so

$$A=\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16.$$

Tiếng Việt

Diện tích giữa hai đường cong $y=f(x)$ (trên) và $y=g(x)$ (dưới) trên khoảng $[a,b]$ là:

$$A = \int_a^b \big[f(x)-g(x)\big]\,dx = \int_a^b (\text{top} - \text{bottom})\,dx.$$

Tìm các điểm giao nhau trước để xác định cận, và luôn lấy hàm trên trừ hàm dưới.

Ví dụ minh họa. Tìm diện tích giữa $y=x$ và $y=x^2$. Chúng cắt nhau tại $x=0$ và $x=1$, và trên $(0,1)$ đường thẳng $y=x$ nằm phía trên, do đó

$$A=\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16.$$

Diện tích giữa hai đường cong là tích phân của hàm trên trừ hàm dưới — Khu vực được tô màu chạy từ một điểm giao nhau $a$ đến điểm giao nhau tiếp theo $b$; diện tích của nó là $\int_a^b(\text{top}-\text{bottom})\,dx$.

8.5

Finding the Area Between Curves (Functions of y) · ⁨Tìm Diện Tích Giữa Hai Đường Cong (Hàm theo y)⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.2 Areas of regions in the plane can be calculated using functions of either $x$ or $y$.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (CHA-5): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề liên quan đến sự tích lũy thay đổi về diện tích hoặc thể tích trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-5.A: Tính diện tích trong mặt phẳng bằng tích phân xác định.

CHA-5.A.2 Diện tích của các vùng trong mặt phẳng có thể được tính bằng cách sử dụng hàm theo biến $x$ hoặc $y$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Some regions are easier described with horizontal slices – integrate with respect to $y$:

$$A = \int_c^d \big[x_{\text{right}}(y) - x_{\text{left}}(y)\big]\,dy = \int_c^d (\text{right}-\text{left})\,dy.$$

Choose $x$- or $y$-slices to keep a single top/bottom (or right/left) pair over the whole region.

Tiếng Việt

Một số vùng dễ mô tả hơn bằng các lát cắt ngang – tích phân theo $y$:

$$A = \int_c^d \big[x_{\text{right}}(y) - x_{\text{left}}(y)\big]\,dy = \int_c^d (\text{right}-\text{left})\,dy.$$

Chọn lát cắt theo $x$ hoặc $y$ sao cho giữ nguyên một cặp trên/dưới (hoặc phải/trái) duy nhất trên toàn bộ vùng.

8.6

Area Between Curves With More Than Two Intersections · ⁨Diện Tích Giữa Hai Đường Cong Với Hơn Hai Điểm Giao Nhau⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.3 Areas of certain regions in the plane may be calculated using a sum of two or more definite integrals or by evaluating a definite integral of the absolute value of the difference of two functions.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (CHA-5): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề liên quan đến sự tích lũy thay đổi về diện tích hoặc thể tích trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-5.A: Tính diện tích trong mặt phẳng bằng tích phân xác định.

CHA-5.A.3 Diện tích của một số vùng trong mặt phẳng có thể được tính bằng tổng của hai hoặc nhiều tích phân xác định, hoặc bằng cách đánh giá tích phân xác định của giá trị tuyệt đối của hiệu hai hàm số.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

If the curves cross more than twice, one function is on top for part of the region and the other on top elsewhere. Split into a sum of integrals at each crossing, or integrate the absolute value of the difference:

$$A = \int_a^b \big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$$

Determine which curve is higher on each subinterval before writing the integrals.

Tiếng Việt

Nếu hai đường cong cắt nhau nhiều hơn hai lần, một hàm sẽ nằm ở trên trong một phần của vùng và hàm kia nằm ở trên ở phần khác. Chia thành tổng các tích phân tại mỗi điểm giao nhau, hoặc tích phân giá trị tuyệt đối của hiệu số:

$$A = \int_a^b \big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$$

Xác định đường cong nào cao hơn trên từng khoảng con trước khi viết các tích phân.

8.7

Volumes with Cross Sections: Squares and Rectangles · ⁨Thể Tích Với Tiết Diện Cắt: Hình Vuông và Hình Chữ Nhật⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.1 Volumes of solids with square and rectangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (CHA-5): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề liên quan đến sự tích lũy thay đổi về diện tích hoặc thể tích trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-5.B: Tính thể tích của khối có tiết diện đã biết bằng tích phân xác định.

CHA-5.B.1 Thể tích của khối có tiết diện vuông và hình chữ nhật có thể tìm thấy bằng tích phân xác định và các công thức diện tích của những hình này.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

If a solid has a known cross section 横截面 perpendicular to an axis, its volume is the integral of the cross-sectional area:

$$V = \int_a^b A(x)\,dx.$$

For square cross sections with side equal to the region's height $s(x)=f(x)-g(x)$, use $A(x)=[s(x)]^2$; for a rectangle of height $k\cdot s(x)$, use $A(x)=k\,[s(x)]^2$. The exam phrase "the base of a solid... cross sections are squares/rectangles" signals exactly this.

Tiếng Việt

Thủ công gốm nặn một chiếc bình: khối tròn xoay là thể tích tạo thành khi quay một vùng phẳng

Nếu một khối có tiết diện cắt đã biết vuông góc với một trục, thể tích của nó bằng tích phân của diện tích tiết diện cắt:

$$V = \int_a^b A(x)\,dx.$$

Đối với mặt cắt vuông có cạnh bằng độ cao của vùng $s(x)=f(x)-g(x)$, sử dụng $A(x)=[s(x)]^2$; đối với hình chữ nhật có độ cao $k\cdot s(x)$, sử dụng $A(x)=k\,[s(x)]^2$. Cụm từ trong đề thi "đáy của một khối... các mặt cắt là hình vuông/hình chữ nhật" báo hiệu đúng cách làm này.

8.8

Volumes with Cross Sections: Triangles and Semicircles · ⁨Thể tích với các mặt cắt: Tam giác và Bán tròn⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.2 Volumes of solids with triangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
CHA-5.B.3 Volumes of solids with semicircular and other geometrically defined cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
- Illustrative examples for CHA-5.B.3:
  - The volume of a funnel whose cross sections are circles can be found using the area formula for a circle and definite integrals (see 2016 AB Exam FRQ #5(b)).
  - The volume of a solid whose cross sectional area is defined using a function can be found using the known area function and a definite integral (see 2009 AB Exam FRQ #4(c)).

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (CHA-5): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề liên quan đến sự tích lũy thay đổi về diện tích hoặc thể tích trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-5.B: Tính thể tích của khối có tiết diện đã biết bằng tích phân xác định.

CHA-5.B.2 Thể tích của khối có tiết diện tam giác có thể tìm thấy bằng tích phân xác định và các công thức diện tích của những hình này.
CHA-5.B.3 Thể tích của khối có tiết diện bán tròn và các hình học được xác định khác có thể tìm thấy bằng tích phân xác định và các công thức diện tích của những hình này.
- Ví dụ minh họa cho CHA-5.B3:
  - Thể tích của phễu có tiết diện là hình tròn có thể tìm thấy bằng công thức diện tích hình tròn và tích phân xác định (xem Đề thi AB 2016 FRQ #5(b)).
  - Thể tích của khối có diện tích tiết diện được định nghĩa bằng hàm số có thể tìm thấy bằng hàm diện tích đã biết và tích phân xác định (xem Đề thi AB 2009 FRQ #4(c)).

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Same method, different area formula: for an equilateral triangle 三角形 of side $s$, $A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$; for a semicircle 半圆 of diameter $s$, $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$. Set the shape's key length equal to the region's slice length $s(x)$, then integrate $A(x)$.

Tiếng Việt

Cùng phương pháp, nhưng công thức diện tích khác nhau: đối với tam giác đều có cạnh $s$, $A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$; đối với bán tròn có đường kính $s$, $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$. Đặt độ dài đặc trưng của hình bằng độ dài lát cắt của vùng $s(x)$, sau đó tích phân $A(x)$.

8.9

Volume with the Disc Method (About the x- or y-Axis) · ⁨Thể tích bằng phương pháp Đĩa (Quanh trục x hoặc y)⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.1 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis may be found by using definite integrals with the disc method.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (CHA-5): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề liên quan đến sự tích lũy thay đổi về diện tích hoặc thể tích trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-5.C: Tính thể tích của vật thể quay sử dụng tích phân xác định.

CHA-5.C.1 Thể tích của khối tròn xoay quanh trục $x$ hoặc trục $y$ có thể tìm thấy bằng cách sử dụng tích phân xác định với phương pháp đĩa.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Solids of revolution: the disc method

Revolving a region around an axis makes a solid of revolution 旋转体. If the region touches the axis, each slice is a disc 圆盘 of radius $r$ = the function value:

$$V = \pi\int_a^b [r(x)]^2\,dx.$$

Around the $x$-axis, $r=f(x)$ and integrate in $x$; around the $y$-axis, express $x$ as a function of $y$ and integrate in $y$.

Worked example. Revolve the region under $y=\sqrt{x}$ from $x=0$ to $x=4$ about the $x$-axis. Each disc has radius $r=\sqrt{x}$, so

$$V=\pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=8\pi.$$

Tiếng Việt

Khối quay quanh trục: phương pháp đĩa

Xoay một vùng quanh một trục sẽ tạo ra một khối quay. Nếu vùng chạm vào trục, mỗi lát cắt là một đĩa có bán kính $r$ = giá trị hàm số:

$$V = \pi\int_a^b [r(x)]^2\,dx.$$

Quanh trục $x$, $r=f(x)$ và tích phân theo $x$; quanh trục $y$, biểu diễn $x$ dưới dạng hàm số của $y$ và tích phân theo $y$.

Phương pháp đĩa: xoay y=f(x) quanh trục tạo ra các đĩa có bán kính f(x)

Ví dụ đã giải. Xoay vùng nằm dưới $y=\sqrt{x}$ từ $x=0$ đến $x=4$ quanh trục $x$. Mỗi đĩa có bán kính $r=\sqrt{x}$, do đó

$$V=\pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=8\pi.$$

Xoay một vùng quanh trục tạo ra một khối quay

Vocabulary · ⁨Từ vựng⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩

English	Tiếng Việt
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	giá trị trung bình
Displacement/dɪˈspleɪsmənt/	Thay thế
Total distance travelled/ˈtəʊtl ˈdɪstəns ˈtrævld/	Tổng quãng đường di chuyển
net change/net tʃeɪndʒ/	sự thay đổi ròng
cross section/krɒs ˈsekʃn/	tiết diện
triangle/ˈtraɪæŋɡl/	tam giác
semicircle/ˈsemɪsɜːkl/	nửa hình tròn
solid of revolution/ˈsɒlɪd ɒv ˌrevəˈluːʃn/	thể quay quanh trục
disc/dɪsk/	đĩa

8.10

Volume with the Disc Method (About Other Axes) · ⁨Thể tích bằng phương pháp Đĩa (Quanh các trục khác)⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.2 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line in the plane may be found by using definite integrals with the disc method.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (CHA-5): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề liên quan đến sự tích lũy thay đổi về diện tích hoặc thể tích trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-5.C: Tính thể tích của vật thể quay sử dụng tích phân xác định.

CHA-5.C.2 Thể tích của các vật thể quay quanh bất kỳ đường ngang hay đường đứng nào trong mặt phẳng có thể tìm được bằng cách sử dụng tích phân xác định với phương pháp đĩa.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Around any horizontal or vertical line $y=k$ or $x=k$, the radius is the distance from the curve to that line, e.g. $r(x)=|f(x)-k|$. Set up the radius carefully, then use $V=\pi\int r^2$.

Tiếng Việt

Quanh bất kỳ đường ngang hay dọc nào là $y=k$ hoặc $x=k$, bán kính là khoảng cách từ đường cong đến đường thẳng đó, ví dụ $r(x)=|f(x)-k|$. Thiết lập bán kính cẩn thận, sau đó sử dụng $V=\pi\int r^2$.

8.11 8.12

Volume with the Washer Method · ⁨Thể tích bằng phương pháp Vành (Washer Method)⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.3 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (CHA-5): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề liên quan đến sự tích lũy thay đổi về diện tích hoặc thể tích trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-5.C: Tính thể tích của vật thể quay sử dụng tích phân xác định.

CHA-5.C.3 Thể tích của các vật thể quay xung quanh trục $x$ hoặc trục $y$ mà phần cắt ngang có hình dạng vòng nhẫn có thể tìm được bằng cách sử dụng tích phân xác định với phương pháp vòng.

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.4 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (CHA-5): Tích phân xác định cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề liên quan đến sự tích lũy thay đổi về diện tích hoặc thể tích trên một khoảng.

Mục tiêu học tập CHA-5.C: Tính thể tích của vật thể quay sử dụng tích phân xác định.

CHA-5.C.4 Thể tích của các vật thể quay quanh bất kỳ đường ngang hay đường đứng nào mà phần cắt ngang có hình dạng vòng nhẫn có thể tìm được bằng cách sử dụng tích phân xác định với phương pháp vòng.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Volume by the washer method

When the region does not touch the axis, each slice is a washer 垫圈 (a ring) with an outer radius $R$ and inner radius $r$:

$$V = \pi\int_a^b \Big([R]^2 - [r]^2\Big)\,dx.$$

$R$ is the distance from the axis to the farther boundary and $r$ to the nearer one. Around a line other than an axis, both radii are measured as distances to that line – a very common exam variation (e.g. revolving about $y=-2$).

Tiếng Việt

Thể tích bằng phương pháp vành

Khi vùng không chạm vào trục, mỗi lát cắt là một vành (một vòng tròn rỗng) có bán kính ngoài $R$ và bán kính trong $r$:

$$V = \pi\int_a^b \Big([R]^2 - [r]^2\Big)\,dx.$$

$R$ là khoảng cách từ trục đến biên xa hơn và $r$ đến biên gần hơn. Quanh một đường không phải là trục, cả hai bán kính đều được đo là khoảng cách đến đường thẳng đó – đây là biến thể rất thường gặp trong đề thi (ví dụ: xoay quanh $y=-2$).

Vocabulary · ⁨Từ vựng⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩

English	Tiếng Việt
washer/ˈwɒʃə/	vòng đệm

8.11 8.12

Exam tips · ⁨Mẹo làm bài thi⁩

English

Area between curves is $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — find the intersection points for the limits and keep top minus bottom.
For a volume of revolution, add up disc/washer cross-sections of area $\pi r^2$ (or $\pi(R^2-r^2)$).
The average value of $f$ on $[a,b]$ is $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
Accumulated change is $\int$ of a rate: total = initial value $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
Integration means "adding up infinitely many tiny pieces" — set up the integrand as one thin slice.

Tiếng Việt

Diện tích giữa các đường cong là $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — tìm các điểm giao để xác định cận và giữ nguyên thứ tự trên trừ dưới.
Đối với thể tích quay, cộng dồn các mặt cắt hình đĩa/vành có diện tích $\pi r^2$ (hoặc $\pi(R^2-r^2)$).
Giá trị trung bình của $f$ trên $[a,b]$ là $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
Sự thay đổi tích lũy là $\int$ của một tốc độ: tổng = giá trị ban đầu $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
Tích phân có nghĩa là "cộng vô số phần tử nhỏ bé" — thiết lập biểu thức dưới dấu tích phân như một lát cắt mỏng.

Interactive lessons on this topic · ⁨Bài học tương tác về chủ đề này⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Làm theo từng bước, kèm theo bài tập kiểm tra ngay lập tức.⁩

Past Papers · ⁨Đề thi cũ⁩

More topics in AP Calculus AB · ⁨AP Giải tích AB⁩ · ⁨Nhiều chủ đề hơn trong AP Calculus AB · ⁨AP Giải tích AB⁩⁩