Xe lăn có động cơ nào trên đường ray đâu. Một chuỗi xích kéo nó lên ngọn đồi đầu tiên — và sau đó, xe tự chạy. Vậy làm thế nào nó lao qua mọi vòng tròn…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Giọng đọc tiếng Anh · phụ đề tiếng Anh + 中文 được ghi trực tiếp
5.1
Work, energy and power · Công, năng lượng và công suất
Syllabus · Chương trình
English
understand the concept of work, and recall and use $\text{work done} = \text{force} \times \text{displacement in the direction of the force}$
recall and apply the principle of conservation of energy
recall and understand that the efficiency of a system is the ratio of useful energy output from the system to the total energy input
use the concept of efficiency to solve problems
define power as work done per unit time
solve problems using $P = W/t$
derive $P = Fv$ and use it to solve problems
Tiếng Việt
hiểu khái niệm công, và ghi nhớ, áp dụng $\text{work done} = \text{force} \times \text{displacement in the direction of the force}$
ghi nhớ và áp dụng nguyên tắc bảo toàn năng lượng
ghi nhớ và hiểu rằng hiệu suất của hệ thống là tỷ lệ giữa năng lượng hữu ích đầu ra từ hệ thống so với tổng năng lượng đầu vào
sử dụng khái niệm hiệu suất để giải bài tập
định nghĩa công suất là công thực hiện trên mỗi đơn vị thời gian
giải bài tập sử dụng $P = W/t$
suy ra $P = Fv$ và sử dụng nó để giải bài tập
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
English
Work done by a force
Work 功 is done when a force moves its point of contact along the line of the force. For the one-mark definition write: work done is the product of the force and the distance moved in the direction of the force. The work done by a constant force $F$ that causes a displacement 位移$s$ is
$$W = F \cdot s \cdot \cos\theta,$$
where $\theta$ is the angle between the force and the displacement. Only the component 分量 of the force along the displacement does work.
Worked example. A child pulls a sledge $5.0\ \text{m}$ across the snow with a rope, using a force of $20\ \text{N}$ at $60°$ to the ground. Find the work done by the rope.
Unit: $\text{J} = \text{N m}$. Work is a scalar 标量.
Special cases:
force in the same direction as the motion ($\theta = 0$): $W = Fs$, positive work, energy 能量 given to the object.
force at right angles to the motion ($\theta = 90°$): $W = 0$. The normal contact force 支持力 on a car on a flat road does no work.
force opposite to the motion ($\theta = 180°$): $W = -Fs$, negative work, energy taken from the object (for example friction 摩擦力).
For an object moving up a slope at angle $\alpha$ to the horizontal 水平, the work done against gravity in rising a height $h$ is $mgh$, while the work done by a horizontal push over the slope length $L$ uses $\cos\alpha$.
Two multiple-choice tests of the definition: no work is done on an object that slides at constant velocity along a frictionless surface (no force along the motion), or on one that is simply held still (no distance moved); work is done when a force lifts it. And when a box is pushed at constant velocity across a rough floor, the work done by the push is $F \times d$ for the whole distance, however the path is split into stages.
Worked example. A block of mass $4.9\ \text{kg}$ is pushed at constant velocity up a rough slope of length $8.0\ \text{m}$ that rises $1.5\ \text{m}$, by a force of $12\ \text{N}$ acting along the slope. Find the work done against friction.
Constant velocity means no change in kinetic energy, so the work done by the push is shared between the gain in gravitational potential energy and the work done against friction. Work by the push: $12 \times 8.0 = 96\ \text{J}$. Gain in GPE, using the vertical rise: $4.9 \times 9.81 \times 1.5 = 72\ \text{J}$. So the work done against friction is $96 - 72 = 24\ \text{J}$, and the friction force is $24 / 8.0 = 3.0\ \text{N}$. Using the slope length in $mgh$ is the commonest error on this question.
Conservation of energy
Energy is never made or destroyed — it only changes from one form to another, or moves from one object to another. In a closed system 封闭系统, the total energy stays constant. This is conservation of energy 能量守恒, stated for the marks as: energy cannot be created or destroyed; it can only be transferred from one form to another (so the total energy of a closed system is constant).
When you write an energy equation, list every form the energy starts as and ends as. Common forms in this syllabus: kinetic, gravitational potential, elastic potential energy 弹性势能, electrical 电能, thermal, sound, chemical energy 化学能.
A ball rolling down a frictionless 无摩擦ramp 斜坡 turns gravitational potential energy 重力势能 into kinetic energy 动能: $mgh = \tfrac{1}{2} m v^{2}$, so $v = \sqrt{2gh}$. With friction, some of this energy becomes thermal energy 热能 of the ramp and the air.
Worked example. A ball is released from rest at the top of a smooth ramp $1.2\ \text{m}$ high. Find its speed at the bottom (take $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).
All the gravitational potential energy becomes kinetic energy, so $v = \sqrt{2gh}$ (the mass cancels):
The same idea reads a graph. For a ball falling from height $H$ with air resistance negligible, the GPE falls in a straight line with height ($mgh$), the KE rises in a straight line ($mg(H - h)$), and the two add to the constant $mgH$ at every height.
The energy chain can pass through a spring. A block that hits a spring with kinetic energy $110\ \text{J}$ while sliding a little downhill, so that its GPE falls by a further $20\ \text{J}$ before the spring stops it, stores $110 + 20 = 130\ \text{J}$ of elastic potential energy at the greatest compression, if nothing is lost to friction. The spring's force–compression graph then gives the compression: the energy stored is the area under the line, $\tfrac{1}{2} F_{0} x_{0}$ for a spring that obeys Hooke's law (topic 6), so a maximum force of $2600\ \text{N}$ means $x_{0} = 2 \times 130 / 2600 = 0.10\ \text{m}$. At that instant the resultant force on the block is the spring force minus the component of the weight down the slope, and its acceleration follows from $F = ma$ (topic 3).
Efficiency
The efficiency 效率 of a system is
$$\text{efficiency} = \frac{\text{useful energy output}}{\text{total energy input}} \times 100\%.$$
The same idea with power:
$$\text{efficiency} = \frac{\text{useful power output}}{\text{total power input}} \times 100\%.$$
Efficiency is always less than 100% in a real system, because some input energy becomes "useless" forms — usually thermal energy. If a total energy $E$ is supplied and an amount $Q$ is wasted, the useful output is $E - Q$ and the efficiency is $(E - Q) / E$; a motor rated at $1.7\ \text{kW}$ input with efficiency $53\%$ delivers $0.53 \times 1.7 = 0.90\ \text{kW}$ of useful output.
For an electric motor lifting a load with efficiency $\eta$ at voltage 电压$V$ and current 电流$I$, the useful output power is $\eta V I$. From this you can find a force, a lifting speed, or a tension 张力.
Worked example. An electric motor lifts a $50\ \text{kg}$ load at a steady $0.40\ \text{m s}^{-1}$ while drawing $250\ \text{W}$ of electrical power. Find its efficiency (take $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).
The useful output power is $P = mgv = 50 \times 9.81 \times 0.40 = 196\ \text{W}$, so
Worked example. A motor raises a block with a force of $240\ \text{N}$ through a vertical distance of $12\ \text{m}$ in $60\ \text{s}$. The input power to the motor is $900\ \text{W}$. Find the useful output power and the efficiency.
Work done on the block: $W = Fd = 240 \times 12 = 2880\ \text{J}$. Useful output power: $P = W / t = 2880 / 60 = 48\ \text{W}$. Efficiency: $48 / 900 \times 100\% = 5.3\%$. Most of the input goes into thermal energy in the motor and its cable. Turned round, a lift motor of useful output $20\ \text{kW}$ raising $1500\ \text{kg}$ through $20\ \text{m}$ takes $t = mgh / P = 1500 \times 9.81 \times 20 / 20\,000 = 15\ \text{s}$.
Tiếng Việt
Turbine gió chuyển hóa động năng của gió thành điện năng.
Công thực hiện bởi một lực
Công được thực hiện khi một lực di chuyển điểm đặt của nó dọc theo phương của lực. Để viết định nghĩa cho 1 điểm, hãy ghi: công thực hiện là tích của lực và quãng đường dịch chuyển theo phương của lực. Công do một lực không đổi $F$ gây ra độ dịch chuyển$s$ là
$$W = F \cdot s \cdot \cos\theta,$$
trong đó $\theta$ là góc giữa lực và độ dịch chuyển. Chỉ có thành phần của lực dọc theo độ dịch chuyển mới tạo công.
Chỉ có thành phần của lực theo phương dịch chuyển ($F\cos\theta$) mới sinh công
Ví dụ minh họa. Một em bé kéo xe trượt $5.0\ \text{m}$ trên tuyết bằng dây thừng, sử dụng lực $20\ \text{N}$ ở góc $60°$ so với mặt đất. Tính công do dây thừng thực hiện.
Đơn vị: $\text{J} = \text{N m}$. Công là đại lượng vô hướng.
Các trường hợp đặc biệt:
lực cùng chiều với chuyển động ($\theta = 0$): $W = Fs$, công dương, năng lượng truyền vào vật.
lực vuông góc với chuyển động ($\theta = 90°$): $W = 0$. Lực tiếp xúc pháp tuyến tác dụng lên ô tô trên đường bằng không sinh công.
lực ngược chiều với chuyển động ($\theta = 180°$): $W = -Fs$, công âm, năng lượng bị lấy ra khỏi vật (ví dụ lực ma sát).
Công dương ($W = +Fs$): lực cùng chiều chuyển động (phía trên). Công âm ($W = -Fs$): lực ngược chiều chuyển động, ví dụ ma sát (phía dưới)
Đối với vật di chuyển lên dốc nghiêng góc $\alpha$ so với phương ngang, công chống lại trọng lực để nâng cao độ cao $h$ là $mgh$, trong khi công do đẩy ngang qua chiều dài dốc $L$ dùng $\cos\alpha$.
Hai bài kiểm tra trắc nghiệm về định nghĩa: không có công nào thực hiện lên vật trượt với vận tốc không đổi trên bề mặt nhẵn (không có lực theo phương chuyển động), hoặc vật chỉ được giữ yên (không có quãng đường di chuyển); công được thực hiện khi có lực nâng vật lên. Và khi một chiếc hộp được đẩy với vận tốc không đổi trên sàn nhám, công do lực đẩy thực hiện là $F \times d$ trên toàn bộ quãng đường, bất kể đường đi được chia thành các giai đoạn như thế nào.
Ví dụ minh họa. Một khối vật có khối lượng $4.9\ \text{kg}$ được đẩy lên mặt dốc nhám dài $8.0\ \text{m}$, cao $1.5\ \text{m}$, với vận tốc không đổi, bởi một lực $12\ \text{N}$ tác dụng dọc theo mặt dốc. Tìm công thực hiện chống lại ma sát.
Hộp được đẩy lên dốc nhám với vận tốc không đổi: công do lực đẩy chi trả cho sự tăng thế năng hấp dẫn, chỉ cần độ cao tăng thêm $h$, và cho công chống ma sát trên toàn bộ chiều dài $L$
Vận tốc không đổi có nghĩa là không có sự thay đổi động năng, nên công của lực đẩy được chia sẻ giữa sự tăng thế năng trọng trường và công thực hiện chống lại ma sát. Công của lực đẩy: $12 \times 8.0 = 96\ \text{J}$. Sự tăng thế năng trọng trường, sử dụng độ cao thẳng đứng: $4.9 \times 9.81 \times 1.5 = 72\ \text{J}$. Vậy công thực hiện chống lại ma sát là $96 - 72 = 24\ \text{J}$, và lực ma sát là $24 / 8.0 = 3.0\ \text{N}$. Sử dụng độ dài dốc trong $mgh$ là lỗi phổ biến nhất trong câu hỏi này.
Định luật bảo toàn năng lượng
Năng lượng không bao giờ được tạo ra hay tiêu diệt — nó chỉ chuyển từ dạng này sang dạng khác, hoặc di chuyển từ vật này sang vật khác. Trong một hệ kín, tổng năng lượng luôn không đổi. Đây là định luật bảo toàn năng lượng, được phát biểu cho các điểm số là: năng lượng không thể được tạo ra hay tiêu diệt; nó chỉ có thể được chuyển từ dạng này sang dạng khác (do đó tổng năng lượng của hệ kín là không đổi).
Khi viết phương trình năng lượng, hãy liệt kê mọi dạng mà năng lượng bắt đầu và kết thúc. Các dạng phổ biến trong chương trình này: động năng, thế năng hấp dẫn, thế năng đàn hồi, điện năng, nhiệt năng, âm thanh, năng lượng hóa học.
Một quả bóng lăn xuống mặt dốc không ma sát chuyển thế năng hấp dẫn thành động năng: $mgh = \tfrac{1}{2} m v^{2}$, nên $v = \sqrt{2gh}$. Có ma sát, một phần năng lượng này trở thành năng lượng nhiệt của mặt dốc và không khí.
Trên mặt dốc không ma sát, thế năng hấp dẫn chuyển thành động năng trong khi tổng năng lượng không đổi
Ví dụ minh họa. Một quả bóng được thả từ nghỉ tại đỉnh mặt dốc nhẵn cao $1.2\ \text{m}$. Tính vận tốc của nó ở đáy (lấy $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).
Toàn bộ thế năng hấp dẫn trở thành động năng, nên $v = \sqrt{2gh}$ (khối lượng triệt tiêu):
Ý tưởng tương tự cũng áp dụng cho đồ thị. Đối với quả bóng rơi từ độ cao $H$ với sức cản không khí bỏ qua, thế năng hấp dẫn giảm theo đường thẳng theo độ cao ($mgh$), động năng tăng theo đường thẳng ($mg(H - h)$), và hai đại lượng này cộng lại bằng hằng số $mgH$ tại mọi độ cao.
Quả bóng rơi: cả thế năng hấp dẫn và động năng đều thay đổi theo đường thẳng theo độ cao, và tổng của chúng không đổi
Chuỗi năng lượng có thể truyền qua một lò xo. Một khối va chạm vào lò xo với động năng $110\ \text{J}$ khi trượt xuống dốc nhẹ, khiến thế năng hấp dẫn giảm thêm $20\ \text{J}$ trước khi lò xo dừng lại, sẽ tích trữ $110 + 20 = 130\ \text{J}$ năng lượng đàn hồi ở độ nén cực đại, nếu không có hao hụt do ma sát. Đồ thị lực–độ nén của lò xo sau đó cho biết độ nén: năng lượng tích trữ chính là diện tích dưới đường thẳng, $\tfrac{1}{2} F_{0} x_{0}$ đối với lò xo tuân theo định luật Hooke (chủ đề 6), vì vậy lực cực đại $2600\ \text{N}$ tương ứng với $x_{0} = 2 \times 130 / 2600 = 0.10\ \text{m}$. Tại thời điểm đó, hợp lực tác dụng lên khối bằng lực của lò xo trừ thành phần trọng lực dọc theo mặt dốc, và gia tốc được suy ra từ $F = ma$ (chủ đề 3).
Năng lượng tích trữ trong một lò xo chính là diện tích dưới đồ thị lực–độ nén của nó: $\tfrac{1}{2} F_{0} x_{0}$, điều này bằng $\tfrac{1}{2} k x_{0}^{2}$
Hiệu suất
Hiệu suất của một hệ thống là
$$\text{efficiency} = \frac{\text{useful energy output}}{\text{total energy input}} \times 100\%.$$
Ý tưởng tương tự áp dụng cho công suất:
$$\text{efficiency} = \frac{\text{useful power output}}{\text{total power input}} \times 100\%.$$
Hiệu suất luôn nhỏ hơn 100% trong các hệ thống thực tế, vì một phần năng lượng đầu vào chuyển thành các dạng "vô ích" — thường là nhiệt năng. Nếu tổng năng lượng $E$ được cung cấp và lượng $Q$ bị lãng phí, thì công suất hữu ích đầu ra là $E - Q$ và hiệu suất là $(E - Q) / E$; một động cơ định mức $1.7\ \text{kW}$ đầu vào với hiệu suất $53\%$ sẽ cung cấp $0.53 \times 1.7 = 0.90\ \text{kW}$ công suất hữu ích đầu ra.
Hiệu suất: chỉ một phần năng lượng đầu vào chuyển thành công suất hữu ích đầu ra; phần còn lại bị lãng phí, thường dưới dạng nhiệt
Đối với một động cơ điện nâng tải với hiệu suất $\eta$ ở điện áp$V$ và cường độ dòng điện$I$, công suất hữu ích đầu ra là $\eta V I$. Từ đó bạn có thể tính được lực, tốc độ nâng hoặc lực căng.
Ví dụ minh họa. Một động cơ điện nâng tải $50\ \text{kg}$ với tốc độ ổn định $0.40\ \text{m s}^{-1}$ trong khi tiêu thụ $250\ \text{W}$ công suất điện. Hãy tính hiệu suất của nó (lấy $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).
Công suất hữu ích đầu ra là $P = mgv = 50 \times 9.81 \times 0.40 = 196\ \text{W}$, nên
Ví dụ minh họa. Một động cơ nâng khối với lực $240\ \text{N}$ qua quãng đường đứng $12\ \text{m}$ trong thời gian $60\ \text{s}$. Công suất đầu vào vào động cơ là $900\ \text{W}$. Hãy tìm công suất hữu ích đầu ra và hiệu suất.
Công thực hiện lên khối: $W = Fd = 240 \times 12 = 2880\ \text{J}$. Công suất hữu ích đầu ra: $P = W / t = 2880 / 60 = 48\ \text{W}$. Hiệu suất: $48 / 900 \times 100\% = 5.3\%$. Phần lớn năng lượng đầu vào chuyển thành nhiệt năng trong động cơ và cáp dẫn. Đảo ngược lại, một động cơ thang máy có công suất hữu ích đầu ra $20\ \text{kW}$ nâng $1500\ \text{kg}$ qua $20\ \text{m}$ sẽ tiêu thụ $t = mgh / P = 1500 \times 9.81 \times 20 / 20\,000 = 15\ \text{s}$.
Explore · Khám phá
Energy flow & efficiency · Dòng chảy năng lượng & hiệu suất
The input energy divides into useful work and wasted energy; efficiency = useful ÷ input, and useful + wasted always equals the input. · Năng lượng đầu vào chia thành công có ích và năng lượng hao phí; hiệu suất = có ích ÷ đầu vào, và tổng có ích + hao phí luôn bằng đầu vào.
Explore · Khám phá
Work, energy & power · Công, năng lượng & công suất
PE + KE = constant · PE + KE = hằng số
Work transfers energy; as it falls, PE becomes KE with the total fixed. · Công thực hiện để chuyển giao năng lượng; khi rơi, thế năng (PE) chuyển hóa thành động năng (KE) với tổng năng lượng không đổi.
Power 功率 is the rate of doing work, or the rate of transferring energy:
$$P = \frac{W}{t} = \frac{\Delta E}{\Delta t}.$$
Unit: $\text{W} = \text{J s}^{-1}$. Power is a scalar.
Power, force and velocity
For an object moving at velocity 速度$v$ with a force $F$ along the direction of motion, in a short time $\Delta t$ the displacement is $v\,\Delta t$ and the work done is $F v\,\Delta t$. Dividing by $\Delta t$:
$$P = F v.$$
This is one of the most useful results in mechanics. A "derive $P = Fv$" answer needs exactly those three lines: $P = W / t$, $W = Fs$ for a force along the motion, and $s / t = v$; then use it to solve problems in which a vehicle or a load moves at constant speed.
Worked example. A car travels at a steady $25\ \text{m s}^{-1}$ against a total resistive force of $600\ \text{N}$. Find the output power of its engine.
At constant speed the driving force equals the resistive force, so
For a car at constant velocity $v$ on a flat road, the engine power must balance the total resistive force: $P = F_{\text{resist}} \cdot v$. If the drag 阻力 grows with $v^{2}$, doubling the speed roughly quadruples the power needed.
For lifting a weight 重力$mg$ straight up at constant speed $v$, the useful output power is $P = mg \cdot v$.
For an aircraft hovering at a fixed height, the lift force equals the weight, and a large power is needed because air must be pushed downwards all the time.
A crane raising $600\ \text{kg}$ at a steady $12\ \text{m}$ per minute lifts at $v = 0.20\ \text{m s}^{-1}$, so its useful output power is $mgv = 600 \times 9.81 \times 0.20 = 1.2\ \text{kW}$. Convert the speed to $\text{m s}^{-1}$ first.
A sailboat pushed by a constant wind force at constant velocity must also feel an equal resistive force from the water: constant velocity means zero resultant force, so the wind's power $Fv$ is all going into work against the water.
Tiếng Việt
Công suất là tốc độ thực hiện công, hay tốc độ truyền năng lượng:
Cùng một công sinh ra trong thời gian ngắn hơn có nghĩa là công suất lớn hơn
$$P = \frac{W}{t} = \frac{\Delta E}{\Delta t}.$$
Đơn vị: $\text{W} = \text{J s}^{-1}$. Công suất là đại lượng vô hướng.
Công suất, lực và vận tốc
Đối với vật chuyển động với vận tốc$v$ dưới tác dụng của lực $F$ dọc theo hướng chuyển động, trong khoảng thời gian ngắn $\Delta t$, độ dịch chuyển là $v\,\Delta t$ và công thực hiện là $F v\,\Delta t$. Chia cả hai vế cho $\Delta t$:
$$P = F v.$$
Đây là một trong những kết quả hữu ích nhất trong cơ học. Câu trả lời yêu cầu "suy ra $P = Fv$" cần đúng ba dòng này: $P = W / t$, $W = Fs$ cho lực dọc theo chuyển động, và $s / t = v$; sau đó sử dụng để giải các bài toán mà phương tiện hoặc tải trọng di chuyển với tốc độ không đổi.
Ví dụ minh họa. Một ô tô chạy với tốc độ ổn định $25\ \text{m s}^{-1}$ chống lại tổng lực cản là $600\ \text{N}$. Hãy tìm công suất đầu ra của động cơ.
Đối với ô tô chuyển động với vận tốc không đổi $v$ trên đường bằng, công suất động cơ phải cân bằng tổng lực cản: $P = F_{\text{resist}} \cdot v$. Nếu lực cản không khí tăng theo $v^{2}$, việc gấp đôi tốc độ sẽ làm tứ phân công suất cần thiết.
Đối với việc nâng trọng lượng$mg$ thẳng đứng với tốc độ không đổi $v$, công suất hữu ích đầu ra là $P = mg \cdot v$.
Đối với máy bay trực thăng đang bay lơ lửng ở độ cao cố định, lực nâng bằng trọng lượng, và cần một công suất lớn vì không khí phải bị đẩy xuống dưới liên tục.
Một cần cẩu nâng $600\ \text{kg}$ với tốc độ ổn định $12\ \text{m}$ mỗi phút, nâng lên với tốc độ $v = 0.20\ \text{m s}^{-1}$, nên công suất hữu ích đầu ra của nó là $mgv = 600 \times 9.81 \times 0.20 = 1.2\ \text{kW}$. Chuyển đổi tốc độ sang $\text{m s}^{-1}$ trước.
Một thuyền buồm chịu tác dụng của lực gió không đổi với vận tốc không đổi cũng phải chịu một lực cản bằng nhau từ nước: vận tốc không đổi nghĩa là hợp lực bằng không, nên công suất của gió $Fv$ hoàn toàn dùng để thắng lực cản của nước.
Nhà máy thủy điện được định mức bằng megawatt: năng lượng của nước được lưu trữ, chia cho thời gian để giải phóng nó
5.2
Gravitational potential energy · Thế năng hấp dẫn
Syllabus · Chương trình
English
derive, using $W = Fs$, the formula $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$ for gravitational potential energy changes in a uniform gravitational field
recall and use the formula $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$ for gravitational potential energy changes in a uniform gravitational field
derive, using the equations of motion, the formula for kinetic energy$E_{\text{K}} = \frac{1}{2}mv^2$
recall and use $E_{\text{K}} = \frac{1}{2}mv^2$
Tiếng Việt
suy ra, sử dụng $W = Fs$, công thức $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$ cho sự biến thiên năng lượng thế trọng trường trong trường trọng lực đều
ghi nhớ và sử dụng công thức $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$ cho sự biến thiên năng lượng thế trọng trường trong trường trọng lực đều
suy ra, sử dụng các phương trình chuyển động, công thức cho động năng$E_{\text{K}} = \frac{1}{2}mv^2$
nhớ và sử dụng $E_{\text{K}} = \frac{1}{2}mv^2$
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
English
Energy exchange in a pendulum
In a uniform gravitational field (close to a planet's surface), the change in gravitational potential energy of mass 质量$m$ rising or falling through a height $\Delta h$ is
$$\Delta E_{\text{P}} = m g \Delta h.$$
Where it comes from
The work done against gravity to raise a mass $m$ slowly (no change in kinetic energy) through height $\Delta h$ equals the gravitational potential energy gained:
the gravitational force on the mass is $mg$ downwards,
the force needed to lift it slowly is $mg$ upwards,
the work done by this force is $W = F \cdot s = mg \cdot \Delta h$,
this work becomes $\Delta E_{\text{P}}$.
So $\Delta E_{\text{P}} = mg \Delta h$. To use it you need $m$ and $\Delta h$ (and $g$). You do not need speed or time. The two-mark derivation wants the same four lines, with the condition stated: the block is raised at constant speed, so the lifting force equals the weight $mg$, and the work done by that force over the vertical distance $\Delta h$ is $mg\Delta h$, which is the gain in gravitational potential energy. A $100\ \text{g}$ object falling $10\ \text{m}$ loses $0.100 \times 9.81 \times 10 = 9.8\ \text{J}$, about $10\ \text{J}$; the mass must be in kilograms.
Tiếng Việt
Sự trao đổi năng lượng trong con lắc đơn
Trong trường hấp dẫn đều (gần bề mặt hành tinh), sự biến thiên thế năng hấp dẫn của khối lượng$m$ nâng lên hoặc hạ xuống độ cao $\Delta h$ là
$$\Delta E_{\text{P}} = m g \Delta h.$$
Nguồn gốc của nó
Công thực hiện chống lại trọng lực để nâng mass $m$ chậm (không thay đổi động năng) qua độ cao $\Delta h$ bằng với thế năng hấp dẫn thu được:
Lực hấp dẫn tác dụng lên khối là $mg$ hướng xuống,
Lực cần thiết để nâng nó chậm là $mg$ hướng lên,
Công thực hiện bởi lực này là $W = F \cdot s = mg \cdot \Delta h$,
công này trở thành $\Delta E_{\text{P}}$.
Công $\Delta E_{\text{P}} = mg \Delta h$. Để sử dụng nó, bạn cần $m$ và $\Delta h$ (và $g$). Bạn không cần vận tốc hay thời gian. Bài giải 2 điểm yêu cầu đúng bốn dòng đó, với điều kiện được nêu rõ: khối vật được nâng với vận tốc không đổi, nên lực nâng bằng trọng lượng $mg$, và công thực hiện bởi lực này trên quãng đường thẳng đứng $\Delta h$ là $mg\Delta h$, chính là độ tăng thế năng hấp dẫn. Một vật có khối lượng $100\ \text{g}$ rơi từ độ cao $10\ \text{m}$ sẽ mất đi $0.100 \times 9.81 \times 10 = 9.8\ \text{J}$, khoảng $10\ \text{J}$; khối lượng phải tính bằng kilogram.
Thế năng hấp dẫn chỉ phụ thuộc vào độ cao đạt được, không phụ thuộc vào đường điTàu lượn cuốn được kéo lên dốc: công thực hiện chống lại trọng lực được lưu trữ dưới dạng thế năng hấp dẫn
The kinetic energy of an object of mass $m$ moving at speed $v$ is
$$E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}.$$
Where it comes from
Apply a resultant force $F$ to a mass $m$ that starts at rest. It speeds up evenly from $0$ to $v$ over a displacement $s$. From $v^{2} = u^{2} + 2as$ with $u = 0$,
$$s = \frac{v^{2}}{2a}.$$
The work done on the mass is
$$W = F \cdot s = m a \cdot \frac{v^{2}}{2a} = \tfrac{1}{2} m v^{2}.$$
All this work becomes kinetic energy, so $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$. In the exam, state the assumptions as you go: the object starts from rest, the force is constant, so the acceleration is uniform, and $F = ma$ is Newton's second law.
Because $E_{\text{K}} \propto v^{2}$, quadrupling the speed multiplies the kinetic energy by sixteen: an object with $1500\ \text{J}$ at $10\ \text{m s}^{-1}$ has $24\,000\ \text{J}$ at $40\ \text{m s}^{-1}$. The same square is why a stopping force is found from energy: a ball of mass $1.2\ \text{kg}$ moving at $3.0\ \text{m s}^{-1}$ that is stopped by a cushion over $0.020\ \text{m}$ loses $\tfrac{1}{2} \times 1.2 \times 3.0^{2} = 5.4\ \text{J}$, so the average force on it is $5.4 / 0.020 = 270\ \text{N}$: the work done by the cushion equals the kinetic energy lost.
Kinetic energy and momentum
Combining $p = mv$ and $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$:
$$E_{\text{K}} = \frac{p^{2}}{2m}.$$
This is handy when the momentum 动量 is given but not the velocity. For a momentum change from $p_{1}$ to $p_{2}$ at constant mass, the change in kinetic energy is $(p_{2}^{2} - p_{1}^{2}) / (2m)$.
Tiếng Việt
Động năng của một vật có khối lượng $m$ chuyển động với vận tốc $v$ là
$$E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}.$$
Nguồn gốc của nó
Đặt một lực hợp $F$ lên một vật có khối lượng $m$ bắt đầu từ trạng thái nghỉ. Vật tăng tốc đều từ $0$ đến $v$ trên quãng đường dịch chuyển $s$. Từ $v^{2} = u^{2} + 2as$ với $u = 0$,
$$s = \frac{v^{2}}{2a}.$$
Công thực hiện lên vật là
$$W = F \cdot s = m a \cdot \frac{v^{2}}{2a} = \tfrac{1}{2} m v^{2}.$$
Toàn bộ công này trở thành động năng, do đó $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$. Trong bài thi, hãy nêu các giả thiết khi làm: vật bắt đầu từ trạng thái nghỉ, lực là không đổi, nên gia tốc là đều, và $F = ma$ là định luật thứ hai của Newton.
Vì $E_{\text{K}} \propto v^{2}$, việc gấp bốn lần vận tốc sẽ làm động năng tăng gấp mười sáu lần: một vật có $1500\ \text{J}$ ở $10\ \text{m s}^{-1}$ sẽ có $24\,000\ \text{J}$ ở $40\ \text{m s}^{-1}$. Chính bình phương này cũng là lý do để tìm lực phanh từ năng lượng: một quả bóng có khối lượng $1.2\ \text{kg}$ di chuyển với vận tốc $3.0\ \text{m s}^{-1}$ bị dừng lại bởi đệm bảo vệ trên quãng đường $0.020\ \text{m}$ sẽ mất đi $\tfrac{1}{2} \times 1.2 \times 3.0^{2} = 5.4\ \text{J}$, do đó lực trung bình tác dụng lên nó là $5.4 / 0.020 = 270\ \text{N}$: công của đệm bảo vệ bằng động năng đã mất.
Động năng và động lượng
Kết hợp $p = mv$ và $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$:
$$E_{\text{K}} = \frac{p^{2}}{2m}.$$
Điều này rất hữu ích khi động lượng đã cho nhưng chưa biết vận tốc. Đối với sự thay đổi động lượng từ $p_{1}$ đến $p_{2}$ với khối lượng không đổi, độ thay đổi động năng là $(p_{2}^{2} - p_{1}^{2}) / (2m)$.
*Vận động viên nhảy sào: động năng từ phần chạy助跑 được lưu trữ trong cây sào bị uốn cong, sau đó được trả lại dưới dạng độ cao
Explore · Khám phá
Kinetic & potential energy · **Thế năng** chuyển thành **động năng** — tổng năng lượng không đổi.
PE + KE = constant · PE + KE = hằng số
Potential energy turns into kinetic energy — the total never changes. · Thế năng chuyển hóa thành động năng — tổng năng lượng không đổi.
5.2
Using energy methods · Áp dụng phương pháp năng lượng
English
A useful plan for problems that mix forces and energy:
Find the start and end states. Write the kinetic and potential energies in each.
List any work done by outside forces (friction, a push). Friction usually takes energy out; a push can add it.
Conservation of energy: $E_{\text{start}} + W_{\text{in}} = E_{\text{end}} + W_{\text{lost as heat etc.}}$.
Examples:
A box pushed at constant velocity up a ramp of length $L$ rising by $h$: $E_{\text{K}}$ does not change, so the work done by the push goes into $\Delta E_{\text{P}}$ plus the work done against friction.
A block sliding into a spring 弹簧 with kinetic energy $E_{\text{K}}$ on a frictionless surface: at greatest compression 压缩$x$, all the kinetic energy has become elastic potential energy $\tfrac{1}{2} k x^{2}$ (where $k$ is the spring constant 劲度系数).
A ball dropped from height $h_{1}$ that bounces to height $h_{2}$: the ratio $h_{2}/h_{1}$ is the fraction of mechanical energy kept, $h_{2}/h_{1} = (v_{\text{up}}/v_{\text{down}})^{2}$.
A projectile 抛体 thrown to the same height at different angles: the final speed is the same (only the height matters); use components to get its direction.
A bungee jumper 蹦极者: from the platform to the point where the cord goes taut, GPE becomes KE; from there the cord stretches and takes energy as elastic potential energy, so the KE reaches its maximum where the cord's pull first equals the weight, then falls to zero at the lowest point, where GPE lost $=$ elastic PE stored (plus any thermal energy).
Tiếng Việt
Một kế hoạch hữu ích cho các bài toán kết hợp giữa lực và năng lượng:
Xác định trạng thái đầu và cuối. Viết động năng và thế năng trong mỗi trạng thái.
Liệt kê mọi công thực hiện bởi lực ngoài (lực ma sát, lực đẩy). Lực ma sát thường lấy đi năng lượng; lực đẩy có thể thêm vào.
Bảo toàn năng lượng: $E_{\text{start}} + W_{\text{in}} = E_{\text{end}} + W_{\text{lost as heat etc.}}$.
Ví dụ:
Một hộp bị đẩy với vận tốc không đổi lên một mặt phẳng nghiêng dài $L$ và cao lên $h$: $E_{\text{K}}$ không đổi, do đó công của lực đẩy đi vào $\Delta E_{\text{P}}$ cộng với công thực hiện chống lại lực ma sát.
Một khối trượt vào lò xo với động năng $E_{\text{K}}$ trên bề mặt không ma sát: tại độ nén tối đa$x$, toàn bộ động năng đã biến thành thế năng đàn hồi $\tfrac{1}{2} k x^{2}$ (trong đó $k$ là hệ số lò xo).
Một quả bóng rơi từ độ cao $h_{1}$ và nảy lên đến độ cao $h_{2}$: tỷ số $h_{2}/h_{1}$ là phân số cơ học được giữ lại, $h_{2}/h_{1} = (v_{\text{up}}/v_{\text{down}})^{2}$.
Một vật phóng được ném đến cùng độ cao ở các góc khác nhau: vận tốc cuối cùng là như nhau (chỉ có độ cao mới quan trọng); dùng các thành phần để tìm hướng.
Người nhảy dù dây: từ bục xuống đến điểm dây căng, thế năng trọng trường chuyển thành động năng; từ đó dây co giãn và lưu trữ năng lượng dưới dạng thế năng đàn hồi, vì vậy động năng đạt cực đại nơi lực kéo của dây lần đầu tiên bằng trọng lực, sau đó giảm về 0 tại điểm thấp nhất, nơi thế năng trọng trường mất đi $=$ bằng thế năng đàn hồi lưu trữ (cộng thêm bất kỳ nhiệt năng nào).
Động năng của khối vật trở thành thế năng đàn hồi khi nó nén lò xo
Explore · Khám phá
Conservation of energy · Bảo toàn năng lượng
Drop the mass and watch GPE turn into KE. With no friction the total energy stays the same — that's the energy method. · Rơi tự do khối lượng và quan sát thế năng hấp dẫn GPE chuyển hóa thành động năng KE. Không có ma sát thì tổng năng lượng giữ nguyên — đó chính là phương pháp năng lượng.
5.2
Definitions the examiner accepts · Các định nghĩa mà giám khảo chấp nhận
English
A definition question is marked against fixed wording. Learn these exactly, and give one answer only.
Term
Definition
work done by a force
the product of the force and the distance moved in the direction of the force
principle of conservation of energy
energy cannot be created or destroyed, only transferred from one form to another, so the total energy of a closed system is constant
efficiency
the ratio of useful energy (or power) output from a system to the total energy (or power) input, usually as a percentage
power
the work done per unit time, or the rate at which energy is transferred
gravitational potential energy
the energy an object has because of its position in a gravitational field
kinetic energy
the energy an object has because of its motion
elastic potential energy
the energy stored in an object that has been stretched or compressed
Tiếng Việt
Câu hỏi định nghĩa được chấm dựa trên văn phong cố định. Hãy học thuộc những định nghĩa này và chỉ đưa ra một đáp án duy nhất.
Thuật ngữ
Định nghĩa
công của lực
tích của lực và quãng đường vật di chuyển theo phương của lực
nguyên lý bảo toàn năng lượng
năng lượng không thể tự sinh ra hay tiêu diệt, chỉ có thể chuyển từ dạng này sang dạng khác, do đó tổng năng lượng của hệ kín là không đổi
hiệu suất
tỷ số giữa năng lượng (hoặc công suất) có ích đầu ra từ hệ thống so với tổng năng lượng (hoặc công suất) đầu vào, thường biểu diễn dưới dạng phần trăm
công suất
công thực hiện trên đơn vị thời gian, hoặc tốc độ truyền năng lượng
thế năng hấp dẫn
năng lượng mà vật sở hữu do vị trí của nó trong trường hấp dẫn
động năng
năng lượng mà vật sở hữu do chuyển động của nó
thế năng đàn hồi
năng lượng được lưu trữ trong vật khi bị kéo dãn hoặc nén lại
5.2
Exam tips · Mẹo làm bài thi
English
Work $=$ force $\times$ distance moved in the direction of the force — use $Fs\cos\theta$ when they are at an angle.
Use conservation of energy: loss in GPE $=$ gain in KE ($+$ work done against resistance).
Power $=$ work $/$ time $= Fv$; efficiency $=$ useful output $\div$ total input.
GPE uses the vertical height gained, not the distance along a slope.
Common mistakes
Giving the change in height as the answer to a change-in-energy question. Finish the calculation: $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$.
Using the distance along a slope as the height in $mg\Delta h$, or using mass where weight is needed. Use the vertical height gained, and check whether the quantity wanted is $m$ in kg or $W$ in N.
Putting the resistive force into $P = Fv$ for a car that is accelerating. $F$ is the driving force; only at constant speed does it equal the resistive force.
Efficiency above 100%, or efficiency as output divided by wasted. It is useful output divided by total input, and the total input is always the larger number.
Reading a force–extension graph's gradient when the question wants the energy. Energy stored is the area under the line, not its slope.
Tiếng Việt
Công $=$ lực $\times$ quãng đường di chuyển theo phương của lực — dùng $Fs\cos\theta$ khi chúng tạo với nhau một góc.
Dùng bảo toàn năng lượng: độ giảm GPE $=$ độ tăng KE ($+$ công thực hiện chống lại lực cản).
Công suất $=$ công $/$ thời gian $= Fv$; hiệu suất $=$ đầu ra hữu ích $\div$ tổng đầu vào.
GPE sử dụng chiều dọc độ cao đạt được, không phải quãng đường dọc theo mặt nghiêng.
Lỗi thường gặp
Cho độ thay đổi chiều cao là câu trả lời cho câu hỏi về thay đổi năng lượng. Hoàn thành phép tính: $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$.
Sử dụng khoảng cách dọc theo mặt nghiêng làm độ cao trong $mg\Delta h$, hoặc sử dụng khối lượng khi cần trọng lượng. Hãy dùng độ cao thẳng đứng đạt được, và kiểm tra xem đại lượng yêu cầu là $m$ tính bằng kg hay $W$ tính bằng N.
Đưa lực cản vào $P = Fv$ cho một chiếc xe đang tăng tốc. $F$ là lực kéo; chỉ ở tốc độ không đổi nó mới bằng lực cản.
Hiệu suất trên 100%, hoặc hiệu suất lấy đầu ra chia cho phần hao phí. Nó là công ích lợi chia cho tổng năng lượng cung cấp, và tổng năng lượng cung cấp luôn là con số lớn hơn.
Đọc hệ số góc của đồ thị lực–độ giãn khi câu hỏi muốn tìm năng lượng. Năng lượng dự trữ là diện tích dưới đường cong, không phải độ dốc của nó.
Interactive lessons on this topic · Bài học tương tác về chủ đề này
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Làm theo từng bước, kèm theo bài tập kiểm tra ngay lập tức.
Pick one and the site follows you — notes, papers, videos and practice all open on it. · Chọn một môn và trang sẽ điều hướng theo — ghi chú, tài liệu, video và bài tập đều mở ở đó.
Type to search notes, lessons, code, vocabulary and past-paper questions across every subject. · Nhập để tìm ghi chú, bài học, mã, từ vựng và câu hỏi đề thi cũ trên mọi môn học.
