ขอบเขตและเงื่อนไขก่อนเข้าเรียน
อ้างอิงตามกรอบ Digital SAT งานทดสอบบนกระดาษเหล่านี้ไม่ใช่แบบ adaptive และไม่ทำนายคะแนนที่ปรับระดับแล้ว
- ตีความความชันและจุดตัดแกนของโมเดลที่ปรับให้เข้ากับบริบท
- คำนวณค่าคงเหลือและแยกแยะการแทรกข้อมูลกับการต่อข้อมูล
- เลือกแบบเส้นตรงหรือแบบเลขชี้กำลังจากข้อมูลที่มีขั้นบันไดเท่ากัน
ความรู้พื้นฐาน: ฟังก์ชันเชิงเส้น; การลบที่มีเครื่องหมาย; ป้ายกราฟกระจาย
อธิบายและเลือกวิธีการ
กราฟกระจายจับคู่ตัวแปรเชิงปริมาณสองตัว โดยมีจุดหนึ่งสำหรับทุกคู่การสังเกต เส้นที่ปรับให้เข้ากันแสดงแนวโน้มโดยไม่ได้เชื่อมต่อจุดทั้งหมด ในโมเดล y=a+bx ค่า b บ่งบอกถึงการเปลี่ยนแปลงของ y เมื่อ x เพิ่มขึ้นหนึ่งหน่วย; หน่วยของมันคือหน่วย y ต่อหนึ่งหน่วย x ส่วนค่าตัดแกน a บ่งบอกค่า y เมื่อ x=0 ซึ่งอาจอยู่นอกช่วงข้อมูล
ค่าเหลือเชื่อคือ y ที่สังเกตได้ลบด้วย y ที่ทำนายได้ บวกหมายความว่าข้อสังเกตอยู่เหนือโมเดล; ลบหมายความว่าอยู่ใต้โมเดล แทนค่า x ที่สังเกตได้ในโมเดลก่อนทำการลบ. ค่าเหลือเชื่อขนาดใหญ่บ่งชี้ว่าคำทำนายสำหรับจุดนั้นไม่ดี ไม่จำเป็นต้องเป็นการวัดผิดหรือพิสูจน์ได้ว่าแนวโน้มไม่มีอยู่จริง
การแทรกค่าเป็นการทำนายภายในช่วง x ที่สังเกตได้ การหาค่าต่อหน้าเป็นการทำนอกช่วงนี้และต้องใช้ความระมัดระวังมากขึ้นเนื่องจากความสัมพันธ์อาจเปลี่ยนไป ให้ใช้ขอบเขตบริบทของโมเดลควบคู่กับรูปทรงพีชคณิต เช่น ค่าเวลาเดินทางที่คาดไว้เป็นลบอาจชี้ให้เห็นถึงการหาค่าต่อหน้าที่ไม่สมเหตุสมผลมากกว่าผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทางกายภาพ
สำหรับการเพิ่มอินพุตเท่าๆ กัน ความแตกต่างของเอาต์พุตที่เกือบคงที่บ่งบอกถึงโมเดลเชิงเส้น ส่วนอัตราส่วนของเอาต์พุตที่เกือบคงที่บ่งบอกถึงโมเดลเอ็กซ์โพเนนเชียล ความแปรปรวนอาจทำให้ทั้งสองรูปแบบดูใกล้เคียงกัน ความสัมพันธ์ไม่ได้ระบุสาเหตุ: ตัวแปรทั้งสองอาจสะท้อนปัจจัยที่สาม โมเดลแนวโน้มที่ปรับให้เข้ากันเป็นหลักฐานเกี่ยวกับการทำนาย แต่ไม่ใช่การแทรกแซงโดยตรง
ค่าเหลือเชื่อคือค่าที่สังเกตได้ลบด้วยค่าที่ทำนายได้ โมเดลการเดินทาง $T=5+2d$ ใช้นาทีสำหรับ $T$ และกิโลเมตรสำหรับ $d$ $T(4)=5\,\mathrm{min}+(2\,\mathrm{min/km})(4\,\mathrm{km})=13\,\mathrm{min}$. สำหรับเวลาที่สังเกตได้ 16 นาที, $e=T_{obs}-T_{pred}=16\,\mathrm{min}-13\,\mathrm{min}=3\,\mathrm{min}$
ตัวอย่างวิธีทำ. สำหรับเวลาเรียน x ชั่วโมงและคะแนนฝึกฝนที่คาดการณ์ y=12+3x, ความชันคือ 3 คะแนน/ชั่วโมง. ที่ x=2 ค่าคาดการณ์คือ 18. หากคะแนนที่สังเกตได้คือ 21, ส่วนเหลือ (residual)=21-18=3. ด้วยค่า x ที่สังเกตตั้งแต่ 1 ถึง 5, การคาดการณ์ที่ x=3 เป็นการแทรกค่า (interpolates) และ x=12 เป็นการประมาณค่าต่อ (extrapolates). ค่า output 5,10,20,40 ที่ขั้นตอนอินพุตเท่ากันบ่งชี้การเติบโตแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลสองเท่า
วัสดุฝึกฝน
แต่ละคำถามฝึกฝนด้านล่างระบุข้อมูลทั้งหมดที่จำเป็น
ฝึกฝนด้วยเหตุผล
ฝึก 1
โมเดลการจัดส่งที่ปรับให้เข้ากันคือ $T=8+1.5d$ นาที สำหรับระยะทางที่สังเกตได้ 2–10 กม. interpret both parameters. ที่ 6 กม. เวลาที่สังเกตได้คือ 15 นาที; หา residual ของมัน
การให้เหตุผล. จุดตัดแกน predicts 8 นาที ที่ระยะศูนย์; ศูนย์อยู่นอกช่วงที่สังเกตไว้ ดังนั้นการตีความนี้จึงเป็นการประมาณนอกช่วง. ความชัน predicts เติมเพิ่ม 1.5 นาที ต่อ กิโลเมตร. $T(6)=8\,\mathrm{min}+(1.5\,\mathrm{min/km})(6\,\mathrm{km})=17\,\mathrm{min}$. ค่าคงเหลือ $e=15\,\mathrm{min}-17\,\mathrm{min}=-2\,\mathrm{min}$, อยู่ใต้เส้น.
ฝึก 2
มีการขอการทำนายที่ 7 กม. และ 20 กม. จาแนกแต่ละข้อ และอธิบายทำไมความชันที่ปรับให้เข้ากันจึงไม่พิสูจน์ว่าระยะทางเป็นเพียงสาเหตุเดียวของความแปรปรวนของเวลา
การให้เหตุผล. สี่เจ็ดอยู่ในระหว่าง 2–10, จึงเป็นการประมาณภายในช่วง. ยี่สิบอยู่นอกช่วง, จึงเป็นการประมาณนอกช่วงซึ่งมีการสนับสนุนน้อยกว่า. การจราจร, การรับน้ำหนัก และสภาพอื่นๆ สามารถส่งผลต่อเวลา; ความสัมพันธ์ที่ปรับแล้วไม่ได้แยกผลของปัจจัยเหล่านี้.
ฝึก 3
ที่อินพุค spaced เท่ากัน 0,1,2,3, เอาต์พุตคือ 6,18,54,162. เลือกกฎเชิงเส้นหรือเอ็กซ์โพเนนเชียลง่ายๆ และทำนายที่ 4, ระบุสมมติฐาน
การให้เหตุผล. อัตราส่วนทั้งหมดเป็น 3, ในขณะที่ผลต่างเปลี่ยนแปลง. กฎเอ็กซ์โพเนนเชียลคือ $y=6(3)^x$. ภายใต้การเติบโตด้วยตัวคูณสามต่อเนื่อง, $y(4)=6(3)^4=486$. นี่คือการทำนายนอกช่วงโดยอาศัยโมเดล, ไม่ใช่การสังเกตถัดไปที่รับประกันได้.
ข้อจำกัดและการใช้งานต่อไป
เก็บลำดับ "ค่าสังเกต ลบด้วยค่าทำนาย" ไว้เสมอ อย่าแปลงความชันของโมเดลให้เป็นผลการรักษาเชิงเหตุผล
นี่คือโจทย์ฝึกฝนต้นฉบับที่เขียนขึ้นสำหรับรายวิชานี้ ไม่ใช่ข้อสอบอย่างเป็นทางการ