ขอบเขตและเงื่อนไขก่อนเข้าเรียน
อ้างอิงตามกรอบ Digital SAT งานทดสอบบนกระดาษเหล่านี้ไม่ใช่แบบ adaptive และไม่ทำนายคะแนนที่ปรับระดับแล้ว
- เปรียบเทียบค่าเฉลี่ย ค่ากลาง ช่วง และการเบี่ยงเบนมาตรฐานเชิงคุณภาพ
- ทำนายผลกระทบจากการบวกหรือคูณค่าข้อมูลทุกค่า
- อ่านข้อมูลความถี่โดยไม่สับสนระหว่างค่าและจำนวนนับ
ความรู้พื้นฐาน: ข้อมูลที่เป็นลำดับ; ความถี่; ค่าเฉลี่ยและมัธยฐาน
อธิบายและเลือกวิธีการ
ค่าเฉลี่ยใช้ผลรวมของทุกการสังเกตหารด้วยจำนวนนับ; ค่ากลางคือค่าตรงกลางของการเรียงลำดับการสังเกต ความถี่หมายถึงค่าซ้ำกัน: ถ้า 2 เกิดขึ้นสามครั้งและ 8 ครั้งเดียว ค่าเฉลี่ยคือ (3·2+8)/4=3.5, ไม่ใช่ (2+8)/2. ตำแหน่งแนวนอนบนกราฟแสดงค่า และความถี่กำหนดจำนวนการสังเกตที่มันแทน
ช่วงคือค่าสูงสุดลบด้วยค่าต่ำสุด; การเบี่ยงเบนมาตรฐานอธิบายระยะทางทั่วไปจากค่าเฉลี่ย ไม่จำเป็นต้องจำสูตรเต็มเพื่อเปรียบเทียบการแจกแจงที่มีศูนย์กลางเท่ากันอย่างง่าย: ข้อมูลที่กระจุกตัวใกล้ค่าเฉลี่ยมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานน้อยกว่าข้อมูลที่กระจายออกไปไกลขึ้นแบบสมมาตร ตัวแปรผิดปกติสามารถทำให้ค่าเฉลี่ยและการกระจายเปลี่ยนไปอย่างมากในขณะที่ค่าคงที่ไม่เปลี่ยนแปลง
การบวก c เข้ากับทุกการสังเกตจะทำให้ค่าเฉลี่ยและค่ากลางเพิ่มขึ้น c แต่คงช่วงและการเบี่ยงเบนมาตรฐานไว้ unchanged เพราะระยะห่างระหว่างคู่ไม่เปลี่ยน การคูณทุกการสังเกตด้วย k บวก จะทำให้ค่าเฉลี่ย ค่ากลาง ช่วง และการเบี่ยงเบนมาตรฐานเพิ่มขึ้นตาม k โดยทั่วไป การกระจายจะขยายตาม |k| ในขณะที่ตัวคูณติดลบจะกลับทิศทางการจัดเรียง
เมื่อเปรียบเทียบแผนภูมิ ให้ตรวจสอบสเกลและจำนวนการสังเกตก่อนตัดสินความกว้างที่เห็นภาพ กราฟที่ยืดออกในแนวราบอาจดูมีการเปลี่ยนแปลงมากกว่าโดยไม่ได้แทนค่าที่แตกต่างกัน claim เรื่องความเท่ากันของการเบี่ยงเบนมาตรฐานต้องใช้การแจกแจงจริง ไม่ใช่แค่ช่วงเท่ากันหรือค่าเฉลี่ยเท่ากัน
ความถี่นับจำนวนการสังเกตซ้ำซ้อน ค่า 1, 3, 7 ด้วยความถี่ 2, 1, 1 แทนการสังเกตสี่ครั้ง: 1, 1, 3, 7. $\bar x=\sum fx/\sum f=(2(1)+1(3)+1(7))/4=3$. มัธยฐานคือ $(1+3)/2=2$; ซึ่งไม่จำเป็นต้องเท่ากับค่าเฉลี่ย
*มีค่าเฉลี่ยเท่ากัน แต่ค่าของ B อยู่ห่างจากศูนย์กลางมากกว่า, ดังนั้น B จึงมีความเบี่ยงเบนมาตรฐานมากกว่า
ตัวอย่างวิธีทำ. A={4,5,6} และ B={0,5,10} มีค่าเฉลี่ยและค่ากลางเท่ากันที่ 5, แต่ B มีการกระจายตัวมากกว่า. การเพิ่ม 7 เข้าไปใน A ได้ A+7={11,12,13}, ค่าเฉลี่ย 12 และความเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ A. การคูณ A ด้วย 2 จะได้ {8,10,12}; ค่าเฉลี่ยคือ 10 และช่วงและความเบี่ยงเบนมาตรฐานเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า. ช่วงที่เท่ากันเพียงอย่างเดียวไม่รับประกันความเบี่ยงเบนมาตรฐานที่เท่ากัน
วัสดุฝึกฝน
แต่ละคำถามฝึกฝนด้านล่างระบุข้อมูลทั้งหมดที่จำเป็น
ฝึกฝนด้วยเหตุผล
ฝึก 1
ค่า 2, 5, 8 มีความถี่ 3, 2, 1. จงหาค่าเฉลี่ย, ค่ากลาง และช่วง
เหตุผล. ข้อมูลคือ 2,2,2,5,5,8. $\bar x=(3(2)+2(5)+1(8))/6=4$. ค่ากลางคือผลเฉลี่ยของตำแหน่ง 3 และ 4, คือ $(2+5)/2=3.5$. ช่วง $R=8-2=6$.
ฝึก 2
ทุกการสังเกตข้างต้นถูกเปลี่ยนด้วย $z=3x-4$. หาค่าเฉลี่ยใหม่ ค่ากลาง และช่วง. ระบุว่าการเบี่ยงเบนมาตรฐานเปลี่ยนไปอย่างไรโดยไม่ต้องคำนวณ
เหตุผล. ค่าเฉลี่ย $\bar z=3\bar x-4=3(4)-4=8$. ค่ากลางคือ $3(3.5)-4=6.5$. ช่วงคือ $3(6)=18$. ความเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นสามเท่า; การลบ 4 ไม่เปลี่ยนระยะทางจากค่าเฉลี่ย
ฝึก 3
เปรียบเทียบ A = {0, 0, 10, 10} และ B = {0, 5, 5, 10}. ทั้งคู่มีช่วง 10. ต้องมีการเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากันหรือไม่? อธิบายเหตุผล
เหตุผล. ค่าเฉลี่ยทั้งสองคือ 5. ทุกการสังเกตของ A ห่างจากค่าเฉลี่ย 5; ระยะทางของ B คือ 5,0,0,5. ดังนั้น B จึงมีผลรวมความเบี่ยงเบนกำลังสองน้อยกว่าและความเบี่ยงเบนมาตรฐานน้อยกว่า. ช่วงที่เท่ากันเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอ
ข้อจำกัดและการใช้งานต่อไป
อย่าหาค่าเฉลี่ยของฉลากหมวดหมู่ที่ต่างกันเมื่อความถี่ไม่เท่ากัน หรือสับสนระหว่างการเลื่อนตำแหน่งของการแจกแจงกับความกระจายตัวที่มากขึ้น
นี่คือโจทย์ฝึกฝนต้นฉบับที่เขียนขึ้นสำหรับรายวิชานี้ ไม่ใช่ข้อสอบอย่างเป็นทางการ