QM · Quantum mechanics and atomic physics

อนุภาคในกล่องไม่สามารถมีพลังงานจลน์สถานะพื้นฐานเป็นศูนย์ได้ การถูกกักขังเปลี่ยนสภาพที่อนุญาตให้เกิดขึ้นได้

เงื่อนไขเบื้องต้น: 24, 37, 38, 39.

• ใช้ฟังก์ชันคลื่น ตัวดำเนินการ และความน่าจะเป็นของการวัด
• Solve standard bound-state models and tunnelling reasoning
• ใช้หลักการโมเมนตัมเชิงมุม สปิน และสเปกตรัมอะตอม

ฟังก์ชันคลื่นสถานะต้องสอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขตของโมเดลและมีผลรวมความน่าจะเป็นเท่ากับหนึ่ง: integra |ψ(x)|² ในโดเมนที่อนุญาต สำหรับสถานะ orthonormal φ_j, superposition ψ=Σc_jφ_j มี norm squared เป็น Σ|c_j|² เนื่องจากพจน์ข้าม integrate ได้เป็นศูนย์ ดังนั้น superposition เท่ากันของ N สถานะ orthonormal จะมีขนาดสัมประสิทธิ์ 1/sqrt(N) ความน่าจะเป็นที่จะพบพลังงานส่วนประกอบหนึ่งคือ |c_j|² ไม่ใช่ c_j Phase แบบสัมพัทธ์อาจส่งผลต่อความน่าจะเป็นของตำแหน่งแม้ว่าความน่าจะเป็นของพลังงานจะคงที่ก็ตาม

observable ถูกแทนด้วย Hermitian operator ค่า eigen ของมันเป็นจำนวนจริง และสถานะที่เป็นมาตรฐานให้ค่าคาดหวัง ⟨A⟩=∫ψ* Aψ dx ค่าคาดหวังคือการเฉลี่ยจากการเตรียมซ้ำหลายครั้ง ไม่ใช่ผลลัพธ์จากการวัดครั้งเดียว หาก A สอดคล้องกับเอกลักษณ์พหุนาม ให้นำไปใช้กับ eigenstate: สำหรับ A⁴=I ค่า eigen จริงต้องเป็น +1 หรือ −1 รากที่สี่ของจำนวนเชิงซ้อนถูกตัดออกโดยความเป็น Hermitian แม้ว่าจะแก้สมการพหุนามได้ก็ตาม

For an infinite well 0<x<L, ψ(0)=ψ(L)=0 allows sine modes sin(nπx/L), with n=1,2,… . Their energies are E_n=n²π²$\hbar$²/(2mL²), so the ground state is not zero and doubling L divides every energy by four. The equivalent h expression is n²h²/(8mL²); never substitute h for $\hbar$ without its 2π factor. A finite barrier instead permits exponential tails, and a travelling wave in a classically allowed region has oscillatory rather than exponentially decaying spatial dependence.

Operators commute when [A,B]=AB−BA=0; compatible observables can have a common eigenbasis. Since kinetic energy p²/(2m) is a function of p, it commutes with p. A position-dependent potential generally makes H=p²/(2m)+V(x) fail to commute with p. Angular momentum obeys [J_x,J_y]=i$\hbar$J_z and cyclic permutations, while J² commutes with each component. Atomic transitions exchange positive photon energy equal to a level difference; angular momentum and mechanism-specific selection rules restrict which transitions occur.

infinite well ยื่นจาก 0 ถึง L ฟังก์ชันคลื่นเป็นศูนย์ที่ปลายทั้งสองข้างให้

เตรียม $\psi=(\psi_1+i\psi_2)/\sqrt2$ Orthogonality ทำให้ norm ของมันเท่ากับหนึ่ง การวัดพลังงานจะได้ E1 หรือ 4E1 ด้วยความน่าเท่ากัน: This average is not an allowed single energy result. The relative phase changes in time, ดังนั้นการซ้อนทับของพลังงานที่ต่างกันจึงไม่ได้อยู่ในสถานะนิ่ง

สถานะนิ่งอาจมีพลังงานไม่เป็นศูนย์ได้แม้ว่าความหนาแน่นของความน่าจะเป็นจะขึ้นอยู่กับเวลาไม่ได้

normalisation: การทำให้ความน่าจะเป็นรวมเท่ากับหนึ่ง

operator: การกระทำทางคณิตศาสตร์ที่แสดงถึงปริมาณที่สังเกตได้