Applications of Integration · ⁨การใช้งานของอินทิเกรชัน⁩

AP Calculus BC · Topic 8 · ⁨หัวข้อ 8⁩

View Slides · ⁨ดูสไลด์⁩ Train · ⁨ฝึกฝน⁩

Video lesson for this topic · ⁨บทเรียนวิดีโอสำหรับหัวข้อนี้⁩ Open the video page · ⁨เปิดหน้าวิดีโอ⁩

8.1

Finding the Average Value of a Function on an Interval · ⁨การหาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันในช่วง⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.B: Determine the average value of a function using definite integrals.

CHA-4.B.1 The average value of a continuous function $f$ over an interval $[a, b]$ is $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

ไทย

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-4): อินทิกรัลจำกัดเขตช่วยให้เราสามารถแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในช่วงหนึ่งได้

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ CHA-4.B: หาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันโดยใช้อินทิกรัลจำกัด

CHA-4.B.1 ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน $f$ ที่ต่อเนื่องบนช่วง $[a, b]$ คือ $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

The average value 平均值 of $f$ over $[a,b]$ is the integral divided by the width:

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

It is the constant height a rectangle would need to have the same area as the region under $f$. Do not confuse this with the average rate of change (which uses the derivative).

Worked example. The average value of $f(x)=x^2$ on $[0,3]$ is $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac13(9)=3$.

ไทย

ค่าเฉลี่ย ของ $f$ บน $[a,b]$ คืออินทิกรัลหารด้วยความกว้าง:

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

มันคือส่วนสูงคงที่ที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าต้องมีเพื่อให้มีพื้นที่เท่ากันกับพื้นที่ใต้ $f$. อย่าสับสนกับอัตราเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย (rate of change) ซึ่งใช้ดิฟเฟอเรนเชียล

ตัวอย่างที่หาคำตอบแล้ว. ค่าเฉลี่ยของ $f(x)=x^2$ บน $[0,3]$ คือ $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac13(9)=3$.

Explore · ⁨สำรวจ⁩

The average value of a function · ⁨ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

The average value of $f$ on $[a,b]$ is its integral divided by the width — the constant height whose rectangle has the same area as under the curve. · ⁨ค่าเฉลี่ยของ $f$ บน $[a,b]$ คืออินทิกรัลหารด้วยความกว้าง — ส่วนสูงคงที่ซึ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีพื้นที่เท่ากันใต้เส้นโค้ง⁩

8.2

Connecting Position, Velocity, and Acceleration Using Integrals · ⁨เชื่อมโยงตำแหน่ง ความเร็ว และความเร่งโดยใช้อินทิกรัล⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.C: Determine values for positions and rates of change using definite integrals in problems involving rectilinear motion.

CHA-4.C.1 For a particle in rectilinear motion over an interval of time, the definite integral of velocity represents the particle's displacement over the interval of time, and the definite integral of speed represents the particle's total distance traveled over the interval of time.

ไทย

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-4): อินทิกรัลจำกัดเขตช่วยให้เราสามารถแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในช่วงหนึ่งได้

จุดประสงค์การเรียนรู้ CHA-4.C: หาค่าตำแหน่งและอัตราการเปลี่ยนแปลงโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขตในปัญหาเกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบเส้นตรง

CHA-4.C.1 สำหรับอนุภาคที่เคลื่อนที่แบบเส้นตรงในช่วงเวลาหนึ่ง อินทิกรัลจำกัดเขตของความเร็วแสดงถึงการกระจัดของอนุภาคในช่วงเวลานั้น และอินทิกรัลจำกัดเขตของความเร็วแสดงถึงระยะทางรวมที่อนุภาคเดินทางได้ในช่วงเวลานั้น

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

For straight-line motion, integration reverses differentiation:

$$v(t)=\int a(t)\,dt,\qquad s(t)=\int v(t)\,dt.$$

Two key distinctions: displacement 位移 is $\int_a^b v\,dt$ (net change in position), while total distance 总路程 is $\int_a^b |v|\,dt$ (splitting where $v$ changes sign). Speed is $|v|$.

ไทย

สำหรับการเคลื่อนที่แบบเส้นตรง อินทิกรัลเป็นการย้อนกลับของการดิฟ:

$$v(t)=\int a(t)\,dt,\qquad s(t)=\int v(t)\,dt.$$

ข้อแตกต่างสำคัญสองประการ: การกระจัด คือ $\int_a^b v\,dt$ (การเปลี่ยนแปลงสุทธิของตำแหน่ง), ในขณะที่ ระยะทางทั้งหมด คือ $\int_a^b |v|\,dt$ (แบ่งส่วนเมื่อ $v$ เปลี่ยนเครื่องหมาย) ความเร็วคือ $|v|$.

8.3

Using Accumulation Functions and Definite Integrals in Applied Contexts · ⁨การใช้ฟังก์ชันสะสมและอินทิกรัลจำกัดเขตในบริบทการใช้งานจริง⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.D: Interpret the meaning of a definite integral in accumulation problems.

CHA-4.D.1 A function defined as an integral represents an accumulation of a rate of change.
CHA-4.D.2 The definite integral of the rate of change of a quantity over an interval gives the net change of that quantity over that interval.

Learning Objective CHA-4.E: Determine net change using definite integrals in applied contexts.

CHA-4.E.1 The definite integral can be used to express information about accumulation and net change in many applied contexts.

ไทย

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-4): อินทิกรัลจำกัดเขตช่วยให้เราสามารถแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในช่วงหนึ่งได้

จุดประสงค์การเรียนรู้ CHA-4.D: ตีความความหมายของอินทิกรัลจำกัดเขตในปัญหาการสะสม

CHA-4.D.1 ฟังก์ชันที่กำหนดโดยอินทิกรัลแสดงถึงการสะสมของอัตราการเปลี่ยนแปลง
CHA-4.D.2 อินทิกรัลจำกัดเขตของอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณใดปริมาณหนึ่งในช่วงเวลาหนึ่ง จะให้ผลคือความเปลี่ยนแปลงสุทธิของปริมาณนั้นในช่วงเวลาดังกล่าว

จุดประสงค์การเรียนรู้ CHA-4.E: หาความเปลี่ยนแปลงสุทธิโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขตในบริบทเชิงประยุกต์

CHA-4.E.1 อินทิกรัลจำกัดเขตสามารถใช้ในการแสดงความสัมพันธ์เกี่ยวกับการสะสมและความเปลี่ยนแปลงสุทธิในหลายบริบทเชิงประยุกต์

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

When a rate is given (flow rate, sales per day), the definite integral gives the accumulated total, and $\int_a^b R(t)\,dt$ carries the units of $R$ times time. A common setup: initial amount $+\int(\text{rate in}-\text{rate out})\,dt$ gives the amount at a later time. Always interpret the answer in context, with units.

ไทย

เมื่อให้ค่าอัตราการไหล (อัตราการไหล, ยอดขายต่อวัน) อินทิกรัลจำกัดเขตจะให้ ผลรวมสะสม, และ $\int_a^b R(t)\,dt$ จะพกพา หน่วย ของ $R$ คูณเวลา การตั้งค่าทั่วไป: ปริมาณเริ่มต้น $+\int(\text{rate in}-\text{rate out})\,dt$ ให้ปริมาณ ณ เวลาต่อมาเสมอ ตีความคำตอบ ตามบริบท พร้อมหน่วย

8.4

Finding the Area Between Curves Expressed as Functions of x · ⁨การหาพื้นที่ระหว่างโค้งที่แสดงเป็นฟังก์ชันของ x⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.1 Areas of regions in the plane can be calculated with definite integrals.

ไทย

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-5): อินทิกรัลจำกัดช่วยให้เราแก้ปัญหาเกี่ยวกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่หรือปริมาตรในช่วงหนึ่งได้

จุดประสงค์การเรียนรู้ CHA-5.A: คำนวณพื้นที่บนระนาบโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต

CHA-5.A.1 พื้นที่ของภูมิภาคบนระนาบสามารถคำนวณได้ด้วยอินทิกรัลจำกัดเขต

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

The area between $y=f(x)$ (top) and $y=g(x)$ (bottom) from $a$ to $b$ is

$$\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.$$

Find the intersection points for the limits, and always subtract top minus bottom.

Worked example. Between $y=x$ and $y=x^2$ (crossing at $x=0,1$, with $y=x$ on top), the area is $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac16$.

ไทย

ช่างปั้นเครื่องเคลือบกำลังขึ้นรูปภาชนะ: ปริมาตรจากการหมุนหมุนพื้นที่ระนาบรอบแกน — การปั้นเครื่องเคลือบ: ปริมาตรจากการหมุน (Volumes of revolution) หมุนพื้นที่ระนาบรอบแกน

พื้นที่ระหว่าง $y=f(x)$ (ด้านบน) และ $y=g(x)$ (ด้านล่าง) จาก $a$ ถึง $b$ คือ

$$\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.$$

หาจุดตัดเพื่อใช้เป็นขอบเขต แล้วนำ บน ลบ ล่าง เสมอ

พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งคืออินทิกรัลของด้านบนลบด้านล่าง — พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคืออินทิกรัลของ บน ลบ ล่าง

ตัวอย่างวิธีทำ. ระหว่าง $y=x$ ถึง $y=x^2$ (ตัดกันที่ $x=0,1$, โดยมี $y=x$ อยู่ด้านบน), พื้นที่คือ $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac16$.

8.5

Finding the Area Between Curves Expressed as Functions of y · ⁨การหาพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งที่แสดงเป็นฟังก์ชันของ y⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.2 Areas of regions in the plane can be calculated using functions of either $x$ or $y$.

ไทย

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-5): อินทิกรัลจำกัดช่วยให้เราแก้ปัญหาเกี่ยวกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่หรือปริมาตรในช่วงหนึ่งได้

จุดประสงค์การเรียนรู้ CHA-5.A: คำนวณพื้นที่บนระนาบโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต

CHA-5.A.2 พื้นที่ของภูมิภาคในระนาบสามารถคำนวณได้โดยใช้ฟังก์ชันของตัวแปร EITHER $x$ หรือ $y$

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

When curves are easier to describe as $x=f(y)$, integrate with respect to $y$ instead, using right minus left:

$$\int_c^d\big(f_{\text{right}}(y)-g_{\text{left}}(y)\big)\,dy.$$

Choosing to integrate in $y$ can avoid splitting the region into several pieces.

ไทย

เมื่อเส้นโค้งอธิบายได้ง่ายกว่าในรูป $x=f(y)$ ให้ใช้การอินทิเกรตเทียบกับ $y$ แทน โดยใช้ ขวา ลบ ซ้าย:

$$\int_c^d\big(f_{\text{right}}(y)-g_{\text{left}}(y)\big)\,dy.$$

การเลือกอินทิเกรตใน $y$ อาจช่วยหลีกเลี่ยงการแบ่งพื้นที่ออกเป็นหลายส่วนได้

8.6

Finding the Area Between Curves That Intersect More Than Twice · ⁨การหาพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งที่ตัดกันมากกว่าสองครั้ง⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.3 Areas of certain regions in the plane may be calculated using a sum of two or more definite integrals or by evaluating a definite integral of the absolute value of the difference of two functions.

ไทย

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-5): อินทิกรัลจำกัดช่วยให้เราแก้ปัญหาเกี่ยวกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่หรือปริมาตรในช่วงหนึ่งได้

จุดประสงค์การเรียนรู้ CHA-5.A: คำนวณพื้นที่บนระนาบโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต

CHA-5.A.3 พื้นที่ของบางภูมิภาคบนระนาบอาจคำนวณได้จากการบวกอินทิกรัลจำกัดเขตสองหรือมากกว่า หรือโดยการหาค่าของอินทิกรัลจำกัดเขตของค่าสัมบูรณ์ของผลต่างระหว่างฟังก์ชันสองฟังก์ชัน

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

If two curves cross several times, the top and bottom switch. Split the region at each intersection and integrate each piece with the correct top-minus-bottom (or use $\int|f-g|$), then add the pieces.

ไทย

หากเส้นโค้งสองเส้นตัดกันหลายครั้ง ตำแหน่ง บนและล่างจะสลับ ให้แบ่งพื้นที่ตามจุดตัดทุกจุด แล้วอินทิเกรตแต่ละส่วนโดยใช้นิยามบน-ลบ-ล่างที่ถูกต้อง (หรือใช้ $\int|f-g|$) จากนั้นรวมผลลัพธ์ของแต่ละส่วนเข้าด้วยกัน

8.7

Volumes with Cross Sections: Squares and Rectangles · ⁨ปริมาตรด้วยหน้าตัด: สี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมผืนผ้า⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.1 Volumes of solids with square and rectangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.

ไทย

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-5): อินทิกรัลจำกัดช่วยให้เราแก้ปัญหาเกี่ยวกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่หรือปริมาตรในช่วงหนึ่งได้

จุดประสงค์การเรียนรู้ CHA-5.B: คำนวณปริมาตรของวัตถุแข็งทอนที่มีหน้าตัดที่ทราบแล้วโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต

CHA-5.B.1 ปริมาตรของวัตถุแข็งทอนที่มีหน้าตัดเป็นสี่เหลี่ยมและสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามารถหาได้โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขตและสูตรพื้นที่ของรูปเหล่านี้

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

If a solid's cross sections 横截面 perpendicular to the $x$-axis are squares or rectangles, integrate their area. With side length equal to the distance between two curves, a square cross section gives

$$V=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)^2\,dx.$$

The method is always "integrate the cross-sectional area."

ไทย

หากหน้าตัดของวัตถุแข็ง (cross sections) ที่ตั้งฉากกับแกน $x$ เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสี่เหลี่ยมผืนผ้า ให้หาผลบวกของพื้นที่หน้าตัดเหล่านั้น หากมีความยาวด้านเท่ากับความห่างระหว่างเส้นโค้งสองเส้น หน้าตัดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะได้

$$V=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)^2\,dx.$$

วิธีการนี้คือ "อินทิเกรตพื้นที่หน้าตัด" เสมอ

Vocabulary · ⁨คำศัพท์⁩ Train · ⁨ฝึกฝน⁩

English	ไทย
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	ค่าเฉลี่ย
displacement/dɪˈspleɪsmənt/	การกระจัด
total distance/ˈtəʊtl ˈdɪstəns/	ระยะทางทั้งหมด
cross sections/krɒs ˈsekʃnz/	หน้าตัด

8.8

Volumes with Cross Sections: Triangles and Semicircles · ⁨ปริมาตรด้วยส่วนตัด: สามเหลี่ยมและครึ่งวงกลม⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.2 Volumes of solids with triangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
CHA-5.B.3 Volumes of solids with semicircular and other geometrically defined cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
- Illustrative examples for CHA-5.B.3:
  - The volume of a funnel whose cross sections are circles can be found using the area formula for a circle and definite integrals (see 2016 AB Exam FRQ #5(b)).
  - The volume of a solid whose cross sectional area is defined using a function can be found using the known area function and a definite integral (see 2009 AB Exam FRQ #4(c)).

ไทย

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-5): อินทิกรัลจำกัดช่วยให้เราแก้ปัญหาเกี่ยวกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่หรือปริมาตรในช่วงหนึ่งได้

จุดประสงค์การเรียนรู้ CHA-5.B: คำนวณปริมาตรของวัตถุแข็งทอนที่มีหน้าตัดที่ทราบแล้วโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต

CHA-5.B.2 ปริมาตรของวัตถุแข็งทอนที่มีหน้าตัดเป็นสามเหลี่ยมสามารถหาได้โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขตและสูตรพื้นที่ของรูปเหล่านี้
CHA-5.B.3 ปริมาตรของวัตถุแข็งทอนที่มีหน้าตัดเป็นครึ่งวงกลมหรือรูปทรงเรขาคณิตอื่นๆ สามารถหาได้โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขตและสูตรพื้นที่ของรูปเหล่านี้
- ตัวอย่างประกอบสำหรับ CHA-5.B3:
  - ปริมาตรของกรวยwhose cross sections are circles can be found using the area formula for a circle and definite integrals (see 2016 AB Exam FRQ #5(b)).
  - ปริมาตรของวัตถุแข็งทอน whose cross sectional area is defined using a function can be found using the known area function and a definite integral (see 2009 AB Exam FRQ #4(c)).

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

Same idea, different area formula: for equilateral-triangle cross sections use $A=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$, and for semicircular ones $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$ (with $s$ the distance between the curves). Substitute the area formula and integrate.

ไทย

แนวคิดเดียวกันแต่ใช้สูตรพื้นที่ต่างออกไป: สำหรับหน้าตัดรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าใช้ $A=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$, และสำหรับหน้าตัดรูปครึ่งวงกลมใช้ $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$ (โดยที่ $s$ คือระยะห่างระหว่างเส้นโค้ง) แทนค่าสูตรพื้นที่แล้วทำการอินทิเกรต

8.9

Volume with Disc Method: Revolving Around the x- or y-Axis · ⁨ปริมาตรด้วยวิธีดิสก์: การหมุนรอบแกน x หรือแกน y⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.1 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis may be found by using definite integrals with the disc method.

ไทย

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-5): อินทิกรัลจำกัดช่วยให้เราแก้ปัญหาเกี่ยวกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่หรือปริมาตรในช่วงหนึ่งได้

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ CHA-5.C: คำนวณปริมาตรของวัตถุหมุน باستخدامอินทิกรัลจำกัด

CHA-5.C.1 ปริมาตรของวัตถุแข็งทอนที่เกิดจากการหมุนรอบแกน $x$ หรือแกน $y$ สามารถหาได้โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขตด้วยวิธีดิสก์

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

Solids of revolution: the disc method

Revolving a region around an axis makes a solid whose cross sections are discs. The disc method 圆盘法 integrates $\pi(\text{radius})^2$:

$$V=\pi\int_a^b \big(R(x)\big)^2\,dx,$$

where the radius $R$ is the distance from the curve to the axis. Use $dy$ when revolving around the $y$-axis.

Worked example. Revolving the region under $y=\sqrt{x}$ from $0$ to $4$ about the $x$-axis gives discs of radius $\sqrt{x}$: $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$.

ไทย

รูปทรงหมุนรอบแกน: วิธีดิสก์

การหมุนพื้นที่รอบแกนจะทำให้เกิดวัตถุแข็งที่มีหน้าตัดเป็น ดิสก์ วิธี ดิสก์ (disc method) จะอินทิเกรต $\pi(\text{radius})^2$:

$$V=\pi\int_a^b \big(R(x)\big)^2\,dx,$$

โดยที่รัศมี $R$ คือระยะห่างจากเส้นโค้งไปยังแกน ใช้ $dy$ เมื่อหมุนรอบแกน $y$

روشดิสก์: หมุน y=f(x) รอบแกนจะสร้างดิสก์ที่มีรัศมี f(x) — วิธีดิสก์: การหมุน y=f(x) รอบแกนจะสร้างดิสก์ที่มีรัศมี f(x)

ตัวอย่างวิธีทำ. การหมุนพื้นที่ใต้ $y=\sqrt{x}$ จาก $0$ ถึง $4$ รอบแกน $x$ จะได้ดิสก์ที่มีรัศมี $\sqrt{x}$: $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$

หมุนพื้นที่รอบแกนจะสร้างstyled volume of revolution — การหมุนพื้นที่รอบแกนจะสร้างรูปทรงหมุนรอบแกน

Vocabulary · ⁨คำศัพท์⁩ Train · ⁨ฝึกฝน⁩

English	ไทย
disc method/dɪsk ˈmeθəd/	วิธีดิสก์

8.10

Volume with Disc Method: Revolving Around Other Axes · ⁨ปริมาตรด้วยวิธีดิสก์: การหมุนรอบแกนอื่น ๆ⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.2 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line in the plane may be found by using definite integrals with the disc method.

ไทย

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-5): อินทิกรัลจำกัดช่วยให้เราแก้ปัญหาเกี่ยวกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่หรือปริมาตรในช่วงหนึ่งได้

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ CHA-5.C: คำนวณปริมาตรของวัตถุหมุน باستخدامอินทิกรัลจำกัด

CHA-5.C.2 ปริมาตรของวัตถุหมุนรอบเส้นแนวนอนหรือแนวตั้งใดๆ ในระนาบสามารถหาได้โดยใช้อินทิกรัลจำกัดด้วยวิธีดิสก์

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

When the axis of revolution is a horizontal or vertical line like $y=k$ (not an axis), the radius adjusts: $R=|f(x)-k|$. Set up the radius as the distance from the curve to that line, then integrate $\pi R^2$ as before.

ไทย

เมื่อแกนหมุนเป็นเส้นแนวนอนหรือแนวตั้งเช่น $y=k$ (ไม่ใช่แกนพิกัดมาตรฐาน) รัศมีจะปรับค่า: $R=|f(x)-k|$. ตั้งค่ารัศมีให้เป็นระยะห่างจากเส้นโค้งไปยังเส้นตรงนั้น แล้วอินทิเกรต $\pi R^2$ เหมือนเดิม

8.11

Volume with Washer Method: Revolving Around the x- or y-Axis · ⁨ปริมาตรด้วยวิธีวอชเชอร์: การหมุนรอบแกน x หรือแกน y⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.3 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

ไทย

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-5): อินทิกรัลจำกัดช่วยให้เราแก้ปัญหาเกี่ยวกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่หรือปริมาตรในช่วงหนึ่งได้

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ CHA-5.C: คำนวณปริมาตรของวัตถุหมุน باستخدامอินทิกรัลจำกัด

CHA-5.C.3 ปริมาตรของวัตถุหมุนรอบแกน $x$ หรือ $y$ ที่มีหน้าตัดเป็นวงแหวนสามารถหาได้โดยใช้อินทิกรัลจำกัดด้วยวิธีวอชเชอร์

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

Volume by the washer method

If the region does not touch the axis, revolving leaves a hole, so cross sections are washers (rings). The washer method 垫圈法 subtracts the inner disc:

$$V=\pi\int_a^b\Big(R_{\text{outer}}^2-R_{\text{inner}}^2\Big)\,dx.$$

Identify the outer and inner radii as distances from each curve to the axis.

ไทย

ปริมาตรด้วยวิธีวอชเชอร์

หากพื้นที่ไม่สัมผัสแกน การหมุนจะเกิดช่องว่าง ดังนั้นหน้าตัดจะเป็น แผ่นวงแหวน (rings) วิธี แผ่นวงแหวน จะลบดิสก์ด้านในออก:

$$V=\pi\int_a^b\Big(R_{\text{outer}}^2-R_{\text{inner}}^2\Big)\,dx.$$

ระบุรัศมีภายนอกและรัศมีภายในเป็นระยะห่างจากแต่ละเส้นโค้งไปยังแกน

Vocabulary · ⁨คำศัพท์⁩ Train · ⁨ฝึกฝน⁩

English	ไทย
washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/	วิธีแหวน
arc length/ɑːk leŋθ/	ความยาวส่วนโค้ง

8.12

Volume with Washer Method: Revolving Around Other Axes · ⁨ปริมาตรด้วยวิธีแผ่นวงแหวน: หมุนรอบแกนอื่น ๆ⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.4 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

ไทย

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-5): อินทิกรัลจำกัดช่วยให้เราแก้ปัญหาเกี่ยวกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่หรือปริมาตรในช่วงหนึ่งได้

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ CHA-5.C: คำนวณปริมาตรของวัตถุหมุน باستخدامอินทิกรัลจำกัด

CHA-5.C.4 ปริมาตรของวัตถุหมุนรอบเส้นแนวนอนหรือแนวตั้งใดๆ ที่มีหน้าตัดเป็นวงแหวนสามารถหาได้โดยใช้อินทิกรัลจำกัดด้วยวิธีวอชเชอร์

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

As with discs, revolving around a line $y=k$ or $x=k$ shifts both radii – each becomes the distance from its curve to that line. Sketch the region and the axis, label $R_{\text{outer}}$ and $R_{\text{inner}}$, then integrate the difference of squares.

ไทย

เช่นเดียวกับดิสก์ การหมุนรอบเส้นตรง $y=k$ หรือ $x=k$ จะเปลี่ยนรัศมีทั้งสอง – แต่ละตัวจะกลายเป็นระยะห่างจากเส้นโค้งไปยังเส้นตรงนั้น วาดแผนภาพพื้นที่และแกน, ทำเครื่องหมาย $R_{\text{outer}}$ และ $R_{\text{inner}}$, แล้วอินทิเกรตผลต่างของกำลังสอง

8.13

The Arc Length of a Smooth Curve and Distance Traveled · ⁨ความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้งเรียบและการเคลื่อนที่⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Enduring Understanding (CHA-6): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in length over an interval.

Learning Objective CHA-6.A: Determine the length of a curve in the plane defined by a function, using a definite integral. BC ONLY

CHA-6.A.1 The length of a planar curve defined by a function can be calculated using a definite integral. BC ONLY

ไทย

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-6): อินทิกรัลจำกัดจำนวนช่วยให้เราแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงของความยาวในช่วงหนึ่งได้

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ CHA-6.A: หาความยาวของเส้นโค้งในระนาบที่กำหนดโดยฟังก์ชัน โดยใช้อินทิกรัลจำกัดจำนวน BC ONLY

CHA-6.A.1 ความยาวของเส้นโค้งในระนาบที่กำหนดโดยฟังก์ชันสามารถคำนวณได้ด้วยอินทิกรัลจำกัดจำนวน BC ONLY

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

The arc length 弧长 of $y=f(x)$ from $a$ to $b$ is

$$L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx.$$

This BC-only formula comes from summing tiny hypotenuses $\sqrt{dx^2+dy^2}$. The same idea gives the distance a particle travels along a curved path.

Worked example. Find the arc length of $y=\tfrac{2}{3}x^{3/2}$ from $x=0$ to $x=3$. Here $f'(x)=x^{1/2}$, so $1+(f')^2=1+x$ and

$$L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\left[\tfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3=\tfrac{2}{3}(8-1)=\tfrac{14}{3}.$$

ไทย

ความยาวส่วนโค้ง ของ $y=f(x)$ จาก $a$ ถึง $b$ คือ

$$L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx.$$

สูตรเฉพาะ BC นี้ได้มาจากการรวมเส้นทแยงมุมเล็ก ๆ $\sqrt{dx^2+dy^2}$ หลักการเดียวกันนี้ให้ระยะทางที่อนุภาคเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางโค้ง

ตัวอย่างแสดงวิธีทำ. หาความยาวส่วนโค้งของ $y=\tfrac{2}{3}x^{3/2}$ จาก $x=0$ ถึง $x=3$. ที่นี่ $f'(x)=x^{1/2}$, ดังนั้น $1+(f')^2=1+x$ และ

$$L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\left[\tfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3=\tfrac{2}{3}(8-1)=\tfrac{14}{3}.$$

สะพานโกลเด้นเกตและสายเคเบิลหลักที่โค้งงอ *สายเคเบิลหลักของสะพานแขวนเป็นเส้นโค้งเรียบ; อินทิกรัลให้ความยาวที่แม่นยำ

8.13

Exam tips · ⁨ข้อแนะนำสำหรับการสอบ⁩

English

Area between curves is $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — find the intersection points for the limits and keep top minus bottom.
For a volume of revolution, add up disc/washer cross-sections of area $\pi r^2$ (or $\pi(R^2-r^2)$).
The average value of $f$ on $[a,b]$ is $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
Accumulated change is $\int$ of a rate: total = initial value $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
Integration means "adding up infinitely many tiny pieces" — set up the integrand as one thin slice.

ไทย

พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งคือ $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — หาจุดตัดเพื่อใช้เป็นขีดจำกัด และเก็บไว้แบบบนลบล่าง.
สำหรับ ปริมาตรหมุนรอบแกน, รวมผลส่วนตัดดิสก์/วอชเชอร์ที่มีพื้นที่ $\pi r^2$ (หรือ $\pi(R^2-r^2)$).
ค่าเฉลี่ย ของ $f$ บน $[a,b]$ คือ $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
การเปลี่ยนแปลงสะสมคือ $\int$ ของอัตรา: รวม = ค่าเริ่มต้น $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
อินทิกรัลหมายถึง "การรวมชิ้นส่วนเล็กๆ จำนวนมหาศาล" — จัดตั้งตัวถูกอินทิเกรตให้เป็นชิ้นส่วนบางๆ หนึ่งชิ้น

Interactive lessons on this topic · ⁨บทเรียนเชิงโต้ตอบสำหรับหัวข้อนี้⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที⁩

Past Papers · ⁨ข้อสอบย้อนหลัง⁩

More topics in AP Calculus BC · ⁨หัวข้อเพิ่มเติมใน AP Calculus BC⁩