Applications of Integration · ⁨การใช้งานของอินทิเกรชัน⁩

AP Calculus AB · Topic 8 · ⁨หัวข้อ 8⁩

View Slides · ⁨ดูสไลด์⁩ Train · ⁨ฝึกฝน⁩

Video lesson for this topic · ⁨บทเรียนวิดีโอสำหรับหัวข้อนี้⁩ Open the video page · ⁨เปิดหน้าวิดีโอ⁩

8.1

Average Value of a Function · ⁨ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.B: Determine the average value of a function using definite integrals.

CHA-4.B.1 The average value of a continuous function $f$ over an interval $[a, b]$ is $\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx$.

ไทย

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-4): อินทิกรัลจำกัดเขตช่วยให้เราสามารถแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในช่วงหนึ่งได้

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ CHA-4.B: หาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันโดยใช้อินทิกรัลจำกัด

CHA-4.B.1 ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน $f$ ที่ต่อเนื่องบนช่วง $[a, b]$ คือ $\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx$

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

The average value 平均值 of a continuous function $f$ over $[a,b]$ is the integral divided by the interval length:

$$f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

It is the constant height of a rectangle on $[a,b]$ with the same area as under $f$. Do not confuse it with the average rate of change (which divides change in $f$ by the interval), or with a Riemann-sum average of a few values – the exam distinguishes these carefully. Report units in context (e.g. the average rate "in vehicles per hour").

Worked example. The average value of $f(x)=x^2$ on $[0,3]$ is

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,dx=\frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac{1}{3}(9)=3.$$

ไทย

ค่าเฉลี่ย ของฟังก์ชันต่อเนื่อง $f$ บน $[a,b]$ คืออินทิกรัลหารด้วยความยาวของช่วง:

$$f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

มันคือความสูงคงที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าบน $[a,b]$ ที่มีพื้นที่เท่ากับใต้ $f$ อย่าสับสนกับ อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย (ซึ่งนำ การเปลี่ยนแปลงของ $f$ หารด้วยช่วง) หรือค่าเฉลี่ยจากผลบวกของรีมันน์ของข้อมูลบางค่า – การสอบจะแยกแยะสิ่งเหล่านี้อย่างละเอียด ให้ระบุหน่วยตามบริบท (เช่น อัตราเฉลี่ย "ในหน่วยยานยนต์ต่อชั่วโมง")

ตัวอย่างที่แสดงวิธีทำ. ค่าเฉลี่ยของ $f(x)=x^2$ บน $[0,3]$ คือ

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,dx=\frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac{1}{3}(9)=3.$$

Explore · ⁨สำรวจ⁩

The average value of a function · ⁨ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

The average value of $f$ on $[a,b]$ is its integral divided by the width — the constant height whose rectangle has the same area as under the curve. · ⁨ค่าเฉลี่ยของ $f$ บน $[a,b]$ คืออินทิกรัลหารด้วยความกว้าง — ส่วนสูงคงที่ซึ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีพื้นที่เท่ากันใต้เส้นโค้ง⁩

8.2

Position, Velocity, and Acceleration Using Integrals · ⁨ตำแหน่ง ความเร็ว และความเร่ง bằngการใช้อินทิกรัล⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.C: Determine values for positions and rates of change using definite integrals in problems involving rectilinear motion.

CHA-4.C.1 For a particle in rectilinear motion over an interval of time, the definite integral of velocity represents the particle's displacement over the interval of time, and the definite integral of speed represents the particle's total distance traveled over the interval of time.

ไทย

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-4): อินทิกรัลจำกัดเขตช่วยให้เราสามารถแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในช่วงหนึ่งได้

จุดประสงค์การเรียนรู้ CHA-4.C: หาค่าตำแหน่งและอัตราการเปลี่ยนแปลงโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขตในปัญหาเกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบเส้นตรง

CHA-4.C.1 สำหรับอนุภาคที่เคลื่อนที่แบบเส้นตรงในช่วงเวลาหนึ่ง อินทิกรัลจำกัดเขตของความเร็วแสดงถึงการกระจัดของอนุภาคในช่วงเวลานั้น และอินทิกรัลจำกัดเขตของความเร็วแสดงถึงระยะทางรวมที่อนุภาคเดินทางได้ในช่วงเวลานั้น

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

Integration reverses the motion links of Unit 4. For a particle in straight-line motion over $[t_1,t_2]$:

Displacement 位移 (net change in position) $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.
Total distance travelled 总路程 $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$ – integrate speed, so direction changes add up instead of cancelling.
Position at a later time $= x(t_1) + \displaystyle\int_{t_1}^{t} v(s)\,ds$; velocity from acceleration $= v(t_1)+\int a$.

The displacement-versus-distance distinction (with the absolute value) is a classic graded point.

ไทย

การอินทิเกรตเป็นการย้อนกลับเชื่อมโยงการเคลื่อนที่ของยูนิตที่ 4 สำหรับอนุภาคที่เคลื่อนที่ในแนวตรงบน $[t_1,t_2]$:

การกระจัด (การเปลี่ยนแปลงตำแหน่งสุทธิ) $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$
ระยะทางทั้งหมดที่เดินทาง $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$ – อินทิเกรต ความเร็ว ดังนั้นการเปลี่ยนทิศทางจะบวกเข้าด้วยกันแทนที่จะหักล้างกัน
ตำแหน่ง ในช่วงเวลาหลัง $= x(t_1) + \displaystyle\int_{t_1}^{t} v(s)\,ds$; ความเร็ว จากความเร่ง $= v(t_1)+\int a$

ความแตกต่างระหว่างการกระจัดกับระยะทาง (พร้อมเครื่องหมายสัมบูรณ์) เป็นประเด็นสำคัญที่ผู้ตรวจประเมินมักให้คะแนน

8.3

Accumulation Functions and Definite Integrals in Applied Contexts · ⁨ฟังก์ชันการสะสมและอินทิกรัล_examples ในบริบทการใช้งานจริง⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.D: Interpret the meaning of a definite integral in accumulation problems.

CHA-4.D.1 A function defined as an integral represents an accumulation of a rate of change.
CHA-4.D.2 The definite integral of the rate of change of a quantity over an interval gives the net change of that quantity over that interval.

Learning Objective CHA-4.E: Determine net change using definite integrals in applied contexts.

CHA-4.E.1 The definite integral can be used to express information about accumulation and net change in many applied contexts.

ไทย

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-4): อินทิกรัลจำกัดเขตช่วยให้เราสามารถแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในช่วงหนึ่งได้

จุดประสงค์การเรียนรู้ CHA-4.D: ตีความความหมายของอินทิกรัลจำกัดเขตในปัญหาการสะสม

CHA-4.D.1 ฟังก์ชันที่กำหนดโดยอินทิกรัลแสดงถึงการสะสมของอัตราการเปลี่ยนแปลง
CHA-4.D.2 อินทิกรัลจำกัดเขตของอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณใดปริมาณหนึ่งในช่วงเวลาหนึ่ง จะให้ผลคือความเปลี่ยนแปลงสุทธิของปริมาณนั้นในช่วงเวลาดังกล่าว

จุดประสงค์การเรียนรู้ CHA-4.E: หาความเปลี่ยนแปลงสุทธิโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขตในบริบทเชิงประยุกต์

CHA-4.E.1 อินทิกรัลจำกัดเขตสามารถใช้ในการแสดงความสัมพันธ์เกี่ยวกับการสะสมและความเปลี่ยนแปลงสุทธิในหลายบริบทเชิงประยุกต์

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

A function defined as an integral accumulates a rate of change. The net change 净变化 theorem is the everyday tool: the definite integral of a rate over an interval gives the net change of the quantity:

$$\text{(final)} = \text{(initial)} + \int_a^b (\text{rate})\,dt.$$

So "how much water is in the tank at $t=5$" = starting amount + $\int_0^5(\text{inflow}-\text{outflow})\,dt$. Watch signs (in minus out) and units. Many multi-part FRQs are built entirely on this idea – often paired with "write, but do not evaluate, an integral expression that gives the total...".

ไทย

ฟังก์ชันที่นิยามด้วยอินทิกรัลจะสะสมอัตราการเปลี่ยนแปลง ทฤษฎีบท การเปลี่ยนแปลงสุทธิ เป็นเครื่องมือในชีวิตประจำวัน: อินทิกรัล_examples ของอัตราในช่วงหนึ่ง ให้การเปลี่ยนแปลงสุทธิของปริมาณนั้น:

$$\text{(final)} = \text{(initial)} + \int_a^b (\text{rate})\,dt.$$

ดังนั้น "มีน้ำในถังมากแค่ไหนที่ $t=5$" = ปริมาณเริ่มต้น + $\int_0^5(\text{inflow}-\text{outflow})\,dt$ ระวังเครื่องหมาย (เข้าลบออก) และหน่วย การสอบ FRQ แบบหลายส่วนส่วนใหญ่สร้างบนแนวคิดนี้ – มักมาคู่กับ "เขียน แต่อย่าคำนวณอินทิกรัล-expression ที่ให้...รวม"

8.4

Finding the Area Between Curves (Functions of x) · ⁨การหาพื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง (ฟังก์ชันของ x)⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.1 Areas of regions in the plane can be calculated with definite integrals.

ไทย

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-5): อินทิกรัลจำกัดช่วยให้เราแก้ปัญหาเกี่ยวกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่หรือปริมาตรในช่วงหนึ่งได้

จุดประสงค์การเรียนรู้ CHA-5.A: คำนวณพื้นที่บนระนาบโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต

CHA-5.A.1 พื้นที่ของภูมิภาคบนระนาบสามารถคำนวณได้ด้วยอินทิกรัลจำกัดเขต

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

The area between two curves $y=f(x)$ (top) and $y=g(x)$ (bottom) on $[a,b]$ is:

$$A = \int_a^b \big[f(x)-g(x)\big]\,dx = \int_a^b (\text{top} - \text{bottom})\,dx.$$

Find the intersection points first to set the limits, and always subtract bottom from top.

Worked example. Find the area between $y=x$ and $y=x^2$. They cross at $x=0$ and $x=1$, and on $(0,1)$ the line $y=x$ is on top, so

$$A=\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16.$$

ไทย

พื้นที่ระหว่างสองเส้นโค้ง $y=f(x)$ (ด้านบน) และ $y=g(x)$ (ด้านล่าง) บน $[a,b]$ คือ:

$$A = \int_a^b \big[f(x)-g(x)\big]\,dx = \int_a^b (\text{top} - \text{bottom})\,dx.$$

หาจุดตัดก่อนเพื่อกำหนดขอบเขต และต้องนำด้านล่างลบออกจากด้านบนเสมอ

ตัวอย่างที่แสดงวิธีทำ. หาพื้นที่ระหว่าง $y=x$ และ $y=x^2$它们在 $x=0$ และ $x=1$ ตัดกัน และบน $(0,1)$ เส้นตรง $y=x$ อยู่ด้านบน ดังนั้น

$$A=\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16.$$

พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งคืออินทิกรัลของด้านบนลบด้านล่าง — พื้นที่ที่แรเงาวิ่งจากจุดตัดหนึ่ง $a$ ไปยังจุดถัดไป $b$; พื้นที่ของมันคือ $\int_a^b(\text{top}-\text{bottom})\,dx$.

8.5

Finding the Area Between Curves (Functions of y) · ⁨การหาพื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง (ฟังก์ชันของ y)⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.2 Areas of regions in the plane can be calculated using functions of either $x$ or $y$.

ไทย

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-5): อินทิกรัลจำกัดช่วยให้เราแก้ปัญหาเกี่ยวกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่หรือปริมาตรในช่วงหนึ่งได้

จุดประสงค์การเรียนรู้ CHA-5.A: คำนวณพื้นที่บนระนาบโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต

CHA-5.A.2 พื้นที่ของภูมิภาคในระนาบสามารถคำนวณได้โดยใช้ฟังก์ชันของตัวแปร EITHER $x$ หรือ $y$

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

Some regions are easier described with horizontal slices – integrate with respect to $y$:

$$A = \int_c^d \big[x_{\text{right}}(y) - x_{\text{left}}(y)\big]\,dy = \int_c^d (\text{right}-\text{left})\,dy.$$

Choose $x$- or $y$-slices to keep a single top/bottom (or right/left) pair over the whole region.

ไทย

บางพื้นที่อธิบายได้ง่ายด้วย แผ่นตัดแนวนอน – อินทิเกรตเทียบกับ $y$:

$$A = \int_c^d \big[x_{\text{right}}(y) - x_{\text{left}}(y)\big]\,dy = \int_c^d (\text{right}-\text{left})\,dy.$$

เลือกแผ่นตัด $x$- หรือ $y$- เพื่อรักษาคู่ด้านบน/ด้านล่าง (หรือขวา/ซ้าย) เพียงคู่เดียวตลอดทั้งพื้นที่

8.6

Area Between Curves With More Than Two Intersections · ⁨พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งที่มีจุดตัดมากกว่าสองจุด⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.3 Areas of certain regions in the plane may be calculated using a sum of two or more definite integrals or by evaluating a definite integral of the absolute value of the difference of two functions.

ไทย

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-5): อินทิกรัลจำกัดช่วยให้เราแก้ปัญหาเกี่ยวกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่หรือปริมาตรในช่วงหนึ่งได้

จุดประสงค์การเรียนรู้ CHA-5.A: คำนวณพื้นที่บนระนาบโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต

CHA-5.A.3 พื้นที่ของบางภูมิภาคบนระนาบอาจคำนวณได้จากการบวกอินทิกรัลจำกัดเขตสองหรือมากกว่า หรือโดยการหาค่าของอินทิกรัลจำกัดเขตของค่าสัมบูรณ์ของผลต่างระหว่างฟังก์ชันสองฟังก์ชัน

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

If the curves cross more than twice, one function is on top for part of the region and the other on top elsewhere. Split into a sum of integrals at each crossing, or integrate the absolute value of the difference:

$$A = \int_a^b \big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$$

Determine which curve is higher on each subinterval before writing the integrals.

ไทย

หากเส้นโค้งตัดกันมากกว่าสองครั้ง ฟังก์ชันหนึ่งจะอยู่ด้านบนในช่วงหนึ่งของพื้นที่ และอีกฟังก์ชันจะอยู่ด้านบนในส่วนอื่น แยกเป็น ผลบวกของอินทิกรัล ที่แต่ละจุดตัด หรืออินทิเกรต ค่าสัมบูรณ์ของความต่าง :

$$A = \int_a^b \big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$$

กำหนดว่าเส้นโค้งใดสูงกว่าในแต่ละช่วงย่อยก่อนเขียนอินทิกรัล

8.7

Volumes with Cross Sections: Squares and Rectangles · ⁨ปริมาตรด้วยหน้าตัด: สี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมผืนผ้า⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.1 Volumes of solids with square and rectangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.

ไทย

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-5): อินทิกรัลจำกัดช่วยให้เราแก้ปัญหาเกี่ยวกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่หรือปริมาตรในช่วงหนึ่งได้

จุดประสงค์การเรียนรู้ CHA-5.B: คำนวณปริมาตรของวัตถุแข็งทอนที่มีหน้าตัดที่ทราบแล้วโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต

CHA-5.B.1 ปริมาตรของวัตถุแข็งทอนที่มีหน้าตัดเป็นสี่เหลี่ยมและสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามารถหาได้โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขตและสูตรพื้นที่ของรูปเหล่านี้

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

If a solid has a known cross section 横截面 perpendicular to an axis, its volume is the integral of the cross-sectional area:

$$V = \int_a^b A(x)\,dx.$$

For square cross sections with side equal to the region's height $s(x)=f(x)-g(x)$, use $A(x)=[s(x)]^2$; for a rectangle of height $k\cdot s(x)$, use $A(x)=k\,[s(x)]^2$. The exam phrase "the base of a solid... cross sections are squares/rectangles" signals exactly this.

ไทย

ช่างปั้นเครื่องเคลือบกำลังขึ้นรูปภาชนะ: ร่างทรงหมุนคือปริมาตรที่เกิดจากการหมุนพื้นที่ระนาบ

ถ้าร่างทรงมี หน้าตัด ที่ทราบค่าตั้งฉากกับแกนหนึ่ง ปริมาตรของมันคืออินทิกรัลของ พื้นที่หน้าตัด :

$$V = \int_a^b A(x)\,dx.$$

สำหรับ ส่วนตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่มีด้านยาวเท่ากับความสูงของพื้นที่ $s(x)=f(x)-g(x)$, ให้ใช้ $A(x)=[s(x)]^2$; สำหรับ สี่เหลี่ยมผืนผ้า ที่มีความสูง $k\cdot s(x)$, ให้ใช้ $A(x)=k\,[s(x)]^2$. คำศัพท์ในข้อสอบ "ฐานของรูปทรงแข็ง... ส่วนตัดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส/สี่เหลี่ยมผืนผ้า" บ่งบอกถึงสิ่งนี้โดยตรง

8.8

Volumes with Cross Sections: Triangles and Semicircles · ⁨ปริมาตรด้วยส่วนตัด: สามเหลี่ยมและครึ่งวงกลม⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.2 Volumes of solids with triangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
CHA-5.B.3 Volumes of solids with semicircular and other geometrically defined cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
- Illustrative examples for CHA-5.B.3:
  - The volume of a funnel whose cross sections are circles can be found using the area formula for a circle and definite integrals (see 2016 AB Exam FRQ #5(b)).
  - The volume of a solid whose cross sectional area is defined using a function can be found using the known area function and a definite integral (see 2009 AB Exam FRQ #4(c)).

ไทย

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-5): อินทิกรัลจำกัดช่วยให้เราแก้ปัญหาเกี่ยวกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่หรือปริมาตรในช่วงหนึ่งได้

จุดประสงค์การเรียนรู้ CHA-5.B: คำนวณปริมาตรของวัตถุแข็งทอนที่มีหน้าตัดที่ทราบแล้วโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต

CHA-5.B.2 ปริมาตรของวัตถุแข็งทอนที่มีหน้าตัดเป็นสามเหลี่ยมสามารถหาได้โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขตและสูตรพื้นที่ของรูปเหล่านี้
CHA-5.B.3 ปริมาตรของวัตถุแข็งทอนที่มีหน้าตัดเป็นครึ่งวงกลมหรือรูปทรงเรขาคณิตอื่นๆ สามารถหาได้โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขตและสูตรพื้นที่ของรูปเหล่านี้
- ตัวอย่างประกอบสำหรับ CHA-5.B3:
  - ปริมาตรของกรวยwhose cross sections are circles can be found using the area formula for a circle and definite integrals (see 2016 AB Exam FRQ #5(b)).
  - ปริมาตรของวัตถุแข็งทอน whose cross sectional area is defined using a function can be found using the known area function and a definite integral (see 2009 AB Exam FRQ #4(c)).

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

Same method, different area formula: for an equilateral triangle 三角形 of side $s$, $A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$; for a semicircle 半圆 of diameter $s$, $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$. Set the shape's key length equal to the region's slice length $s(x)$, then integrate $A(x)$.

ไทย

ใช้วิธีเดิม แต่เปลี่ยนสูตรพื้นที่: สำหรับ สามเหลี่ยมด้านเท่า ที่มีด้านยาว $s$, ได้ $A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$; สำหรับ ครึ่งวงกลม ที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง $s$, ได้ $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$. ตั้งให้ความยาวสำคัญของรูปร่างเท่ากับความยาวชิ้นส่วนตัดของพื้นที่ $s(x)$, แล้วอินทิเกรต $A(x)$.

8.9

Volume with the Disc Method (About the x- or y-Axis) · ⁨ปริมาตรด้วยวิธีดิสก์ (รอบแกน x หรือ y)⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.1 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis may be found by using definite integrals with the disc method.

ไทย

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-5): อินทิกรัลจำกัดช่วยให้เราแก้ปัญหาเกี่ยวกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่หรือปริมาตรในช่วงหนึ่งได้

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ CHA-5.C: คำนวณปริมาตรของวัตถุหมุน باستخدامอินทิกรัลจำกัด

CHA-5.C.1 ปริมาตรของวัตถุแข็งทอนที่เกิดจากการหมุนรอบแกน $x$ หรือแกน $y$ สามารถหาได้โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขตด้วยวิธีดิสก์

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

Solids of revolution: the disc method

Revolving a region around an axis makes a solid of revolution 旋转体. If the region touches the axis, each slice is a disc 圆盘 of radius $r$ = the function value:

$$V = \pi\int_a^b [r(x)]^2\,dx.$$

Around the $x$-axis, $r=f(x)$ and integrate in $x$; around the $y$-axis, express $x$ as a function of $y$ and integrate in $y$.

Worked example. Revolve the region under $y=\sqrt{x}$ from $x=0$ to $x=4$ about the $x$-axis. Each disc has radius $r=\sqrt{x}$, so

$$V=\pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=8\pi.$$

ไทย

รูปทรงหมุนรอบแกน: วิธีดิสก์

การหมุนพื้นที่รอบแกนจะเกิด รูปทรงหมุนรอบแกน. หากพื้นที่สัมผัสกับแกน ทุกชิ้นส่วนตัดจะเป็น ดิสก์ ที่มีรัศมี $r$ = ค่าฟังก์ชัน:

$$V = \pi\int_a^b [r(x)]^2\,dx.$$

รอบแกน $x$, ใช้ $r=f(x)$ และอินทิเกรตตาม $x$; รอบแกน $y$, แสดง $x$ ในรูปของ $y$ และอินทิเกรตตาม $y$.

روشดิสก์: หมุน y=f(x) รอบแกนจะสร้างดิสก์ที่มีรัศมี f(x) — วิธีดิสก์: การหมุน y=f(x) รอบแกนจะสร้างดิสก์ที่มีรัศมี f(x)

ตัวอย่างฝึกปฏิบัติ. หมุนพื้นที่ใต้ $y=\sqrt{x}$ จาก $x=0$ ถึง $x=4$ รอบแกน $x$. ดิสก์แต่ละอันมีรัศมี $r=\sqrt{x}$, ดังนั้น

$$V=\pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=8\pi.$$

หมุนพื้นที่รอบแกนจะสร้างstyled volume of revolution — การหมุนพื้นที่รอบแกนจะสร้างรูปทรงหมุนรอบแกน

Vocabulary · ⁨คำศัพท์⁩ Train · ⁨ฝึกฝน⁩

English	ไทย
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	ค่าเฉลี่ย
Displacement/dɪˈspleɪsmənt/	การแทนที่
Total distance travelled/ˈtəʊtl ˈdɪstəns ˈtrævld/	ระยะทางทั้งหมดที่เดินทาง
net change/net tʃeɪndʒ/	การเปลี่ยนแปลงสุทธิ
cross section/krɒs ˈsekʃn/	หน้าตัด
triangle/ˈtraɪæŋɡl/	สามเหลี่ยม
semicircle/ˈsemɪsɜːkl/	ครึ่งวงกลม
solid of revolution/ˈsɒlɪd ɒv ˌrevəˈluːʃn/	ของแข็งหมุน
disc/dɪsk/	ดิสก์

8.10

Volume with the Disc Method (About Other Axes) · ⁨ปริมาตรด้วยวิธีดิสก์ (รอบแกนอื่น)⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.2 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line in the plane may be found by using definite integrals with the disc method.

ไทย

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-5): อินทิกรัลจำกัดช่วยให้เราแก้ปัญหาเกี่ยวกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่หรือปริมาตรในช่วงหนึ่งได้

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ CHA-5.C: คำนวณปริมาตรของวัตถุหมุน باستخدامอินทิกรัลจำกัด

CHA-5.C.2 ปริมาตรของวัตถุหมุนรอบเส้นแนวนอนหรือแนวตั้งใดๆ ในระนาบสามารถหาได้โดยใช้อินทิกรัลจำกัดด้วยวิธีดิสก์

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

Around any horizontal or vertical line $y=k$ or $x=k$, the radius is the distance from the curve to that line, e.g. $r(x)=|f(x)-k|$. Set up the radius carefully, then use $V=\pi\int r^2$.

ไทย

รอบเส้นแนวนอนหรือแนวตั้งใดๆ คือ $y=k$ หรือ $x=k$, รัศมีคือ ระยะห่าง จากเส้นโค้งไปยังเส้นนั้น เช่น $r(x)=|f(x)-k|$. จัดตั้งค่ารัศมีอย่างระมัดระวัง, แล้วใช้ $V=\pi\int r^2$.

8.11 8.12

Volume with the Washer Method · ⁨ปริมาตรด้วยวิธีวอชเชอร์ (Washer Method)⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.3 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

ไทย

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-5): อินทิกรัลจำกัดช่วยให้เราแก้ปัญหาเกี่ยวกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่หรือปริมาตรในช่วงหนึ่งได้

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ CHA-5.C: คำนวณปริมาตรของวัตถุหมุน باستخدامอินทิกรัลจำกัด

CHA-5.C.3 ปริมาตรของวัตถุหมุนรอบแกน $x$ หรือ $y$ ที่มีหน้าตัดเป็นวงแหวนสามารถหาได้โดยใช้อินทิกรัลจำกัดด้วยวิธีวอชเชอร์

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.4 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

ไทย

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-5): อินทิกรัลจำกัดช่วยให้เราแก้ปัญหาเกี่ยวกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่หรือปริมาตรในช่วงหนึ่งได้

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ CHA-5.C: คำนวณปริมาตรของวัตถุหมุน باستخدامอินทิกรัลจำกัด

CHA-5.C.4 ปริมาตรของวัตถุหมุนรอบเส้นแนวนอนหรือแนวตั้งใดๆ ที่มีหน้าตัดเป็นวงแหวนสามารถหาได้โดยใช้อินทิกรัลจำกัดด้วยวิธีวอชเชอร์

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

Volume by the washer method

When the region does not touch the axis, each slice is a washer 垫圈 (a ring) with an outer radius $R$ and inner radius $r$:

$$V = \pi\int_a^b \Big([R]^2 - [r]^2\Big)\,dx.$$

$R$ is the distance from the axis to the farther boundary and $r$ to the nearer one. Around a line other than an axis, both radii are measured as distances to that line – a very common exam variation (e.g. revolving about $y=-2$).

ไทย

ปริมาตรด้วยวิธีวอชเชอร์

เมื่อพื้นที่ ไม่ สัมผัสกับแกน ทุกชิ้นส่วนตัดจะเป็น วอชเชอร์ (วงแหวน) ที่มีรัศมีภายนอก $R$ และรัศมีภายใน $r$:

$$V = \pi\int_a^b \Big([R]^2 - [r]^2\Big)\,dx.$$

$R$ คือระยะห่างจากแกนไปยังขอบเขตที่ ไกลกว่า และ $r$ ไปยังขอบเขตที่ ใกล้กว่า. รอบเส้นที่ไม่ใช่แกน รัศมีทั้งสองวัดเป็นระยะห่างไปยังเส้นนั้น – ซึ่งเป็นรูปแบบข้อสอบที่พบบ่อย (เช่น หมุนรอบ $y=-2$).

Vocabulary · ⁨คำศัพท์⁩ Train · ⁨ฝึกฝน⁩

English	ไทย
washer/ˈwɒʃə/	แหวน

8.11 8.12

Exam tips · ⁨ข้อแนะนำสำหรับการสอบ⁩

English

Area between curves is $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — find the intersection points for the limits and keep top minus bottom.
For a volume of revolution, add up disc/washer cross-sections of area $\pi r^2$ (or $\pi(R^2-r^2)$).
The average value of $f$ on $[a,b]$ is $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
Accumulated change is $\int$ of a rate: total = initial value $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
Integration means "adding up infinitely many tiny pieces" — set up the integrand as one thin slice.

ไทย

พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งคือ $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — หาจุดตัดเพื่อใช้เป็นขีดจำกัด และเก็บไว้แบบบนลบล่าง.
สำหรับ ปริมาตรหมุนรอบแกน, รวมผลส่วนตัดดิสก์/วอชเชอร์ที่มีพื้นที่ $\pi r^2$ (หรือ $\pi(R^2-r^2)$).
ค่าเฉลี่ย ของ $f$ บน $[a,b]$ คือ $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
การเปลี่ยนแปลงสะสมคือ $\int$ ของอัตรา: รวม = ค่าเริ่มต้น $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
อินทิกรัลหมายถึง "การรวมชิ้นส่วนเล็กๆ จำนวนมหาศาล" — จัดตั้งตัวถูกอินทิเกรตให้เป็นชิ้นส่วนบางๆ หนึ่งชิ้น

Interactive lessons on this topic · ⁨บทเรียนเชิงโต้ตอบสำหรับหัวข้อนี้⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที⁩

Past Papers · ⁨ข้อสอบย้อนหลัง⁩

More topics in AP Calculus AB · ⁨หัวข้อเพิ่มเติมใน AP Calculus AB⁩