T.6 · Функции, обратные ветви и композиция

Подготовка к GRE для бакалавров. Локальные цели в рамках пересмотренного диапазона ETS; это оригинальное обучение, а не официальный тест или предиктор баллов.

Предварительные знания: области определения функций, квадратные уравнения и композиция.

• Различайте инъективность и сюръективность, используя указанные область определения и множество значений
• Выберите и проверьте обратную ветвь, выполняя композицию в обоих направлениях
• Отображайте последовательные композиции функции, сохраняя область определения

биекция: Функция, которая одновременно является инъективной и сюръективной между своими указанными множествами.

инволюция: Функция, композиция которой самой с собой является тождественным отображением на её области определения.

Функция ставит в соответствие каждому допустимому входному значению ровно один выход. Инъективность означает, что равенство выходов влечёт равенство входов; сюръективность означает, что каждый элемент указанного множества значений достигается. Отображение x↦x² из R в [0, ∞) является сюръективным, но не инъективным. Из [0, ∞) в [0, ∞) оно является биекцией. Из [0, ∞) в R оно остаётся инъективным, но перестает быть сюръективным. При проверке каждого утверждения разделяйте область определения, образ и множество значений.

Обратная функция обращает биекцию. Выразите x из уравнения y=f(x), затем с помощью исходной области определения выберите нужную ветвь. Для f(x)=(x−2)²−5 при x≥2 обратная функция имеет вид 2+√(y+5) при y≥−5. Ветвь со знаком минус вернет значения вне выбранной области определения. Проверьте равенство f⁻¹(f(x))=x для допустимых x и f(f⁻¹(y))=y для допустимых y; одна непроверенная композиция может скрыть ошибку в области определения.

График обратной функции симметричен графику исходной функции относительно прямой y=x; он не является множеством обратных величин выходных значений. Функция, являющаяся собственной обратной (инволюция), удовлетворяет условию f(f(x))=x на всей области определения композиции. Как инволюции рассматриваются функции −x на R и 1/x на R без нуля. Строго возрастающая инволюция на интервале должна быть тождественным отображением: если f(x)>x, то из возрастания следует f(f(x))>f(x)>x, а аналогичный аргумент исключает случай f(x)<x.

Итерация fⁿ означает многократное применение композиции, а не возведение в степень (f(x))ⁿ. Вычислите первые несколько композиций и проверьте их области определения, прежде чем искать период. Для f(x)=1/(1−x) на R без точек 0 и 1 выполняется f²(x)=(x−1)/x и f³(x)=x. Образ остается в той же допустимой области определения. Поэтому количество итераций следует сводить по модулю трех. Формула, равная x после сокращения, не восстанавливает запрещенные значения входных переменных.

Для f(x)=(x−2)²−5 при x≥2 имеем f(5)=4 и f⁻¹(4)=2+√9=5. Неограниченная квадратичная функция имела бы два входа, −1 и 5, дающих выход 4. Для g(x)=1/(1−x) орбита ⟨3→−1/2→2/3→3⟩ имеет период три, поэтому g⁸(3)=2/3; здесь речь идет о количестве композиций, а не о восьмой степени.

Изменение кодомена влияет на сюръективность. Отражение относительно y=x дает график обратной функции; взятие обратных значений y — это другая операция. Не исключайте запрещенные входы.

Ограничьте $f(x)=(x-1)^2+2$ до множества $x\ge1$. Укажите образ и обратную функцию, включая области определения. Проверьте обе обратные композиции.

Разобранное решение

Образом является множество $[2,\infty)$. Решение уравнения $y=(x-1)^2+2$ относительно $x\ge1$ дает выбор ветви $x=1+\sqrt{y-2}$. Таким образом, $f^{-1}:[2,\infty)\to[1,\infty)$ имеет указанную формулу. Для допустимых x выполняется $1+\sqrt{(x-1)^2}=x$, так как $x-1\ge0$. Для допустимых y выполняется $(\sqrt{y-2})^2+2=y$. Ветвь с отрицательным квадратным корнем относится к другому ограничению, а не ко второй обратной функции на данной области определения.

Пусть $h(x)=1/(1-x)$. Определите область определения $h\circ h\circ h$ и ее формулу. Можно ли расширить упрощенное выражение на исключенные точки без изменения исходной композиции?

Проверка после выполнения

Первый этап требует $x\ne1$. Второй требует $h(x)\ne1$, что исключает x=0. Для $x\ne0,1$ — $h^2(x)=(x-1)/x$. Это никогда не равно единице, поэтому третий этап не добавляет исключений. Затем $h^3(x)=x$ на $\mathbb R\setminus\{0,1\}$. Тождественная формула определена шире, но добавление 0 или 1 определяет расширение, а не исходную композицию. Каждый промежуточный вход должен быть разрешён до сокращения.