Образец уменьшается вдвое каждые 3.5 часов, но лаборатории нужен уровень через 5 часа — таблица этого не содержит. Как одна формула заменяет отсутствующую таблицу?
Перед чтением укажите, какие входные данные нужны модели y = Ae^(kt), и как логарифмический график мог бы восстановить k из данных.
Метод
В y = Ae^(kt) A — начальное количество, k — пропорциональная скорость: положительная для роста, отрицательная для распада. Период полураспада равен ln 2/|k|; время удвоения равно ln 2/k.
Логарифм является обратной функцией к показательной: y = a^x означает x = log_a y, определен только для положительных y. Свойства логарифмов следуют из свойств степеней: log(uv) = log u + log v, log(u/v) = log u − log v, log(uᵏ) = k log u. Решение уравнения a^x = b дает x = ln b / ln a. Построение графика зависимости ln y от t превращает функцию y = Ae^(kt) в прямую линию ln y = ln A + kt.
Период полураспада: время, за которое убывающая величина уменьшается вдвое; Логарифм: степень, в которую необходимо возвести данное основание, чтобы получить заданное положительное число.
Показательная функция и логарифм являются взаимно обратными; график ln y от t представляет собой прямую линию, а время полуразложения равно ln 2 / 0.2 ≈ 3.47 часов
Проверка своей работы
Подогнанная экспонента — это модель: перед прогнозированием проверьте указанные единицы времени и диапазон, а также сравните прогноз со свежим измерением (остаток), прежде чем доверять ему. Отрицательное значение k означает распад; отрицательное начальное значение обычно противоречит контексту задачи.
При решении логарифмических уравнений сначала запишите исходную область определения: каждый аргумент каждого логарифма должен быть положительным, поэтому кандидаты, полученные после объединения логарифмов, необходимо проверить на соответствие этой области.
Разобранный случай
Дано: y = 80e^(−0.2t), где y выражено в граммах, t — в часах. Половина количества означает 40 = 80e^(−0.2t), следовательно e^(−0.2t) = 1/2. Извлечение натурального логарифма: −0.2t = −ln 2, откуда t = ln 2/0.2 ≈ 3.466 часов. То же самое значение k определяет период полураспада для любого начального количества.
Пример:
Решите 3^x = 20, используя ту же последовательность: возьмите логарифмы → примените свойство степени → разделите → интерпретируйте результат. (Ответ: x ln 3 = ln 20, значит x = ln 20/ln 3 ≈ 2.727. Проверка: 3^2.727 ≈ 20.)
Пределы и ловушки
Свойства логарифмов применимы только к положительным аргументам; ln(x + y) не имеет свойства суммы (ln 2 + ln 3 = ln 6 ≠ ln 5). Показательная модель требует соответствия единиц измерения времени значению k; эффективная годовая ставка в размере 10% означает k = ln 1.1, а не k = 0.1.
Предупреждение:
Для положительных x и y утверждается, что ln(x + y) = ln x + ln y. Это ложное утверждение: свойство произведения гласит ln(xy) = ln x + ln y; для суммы внутри логарифма нет такого правила, что демонстрирует пример x = y = 1 (ln 2 ≈ 0.69, но ln 1 + ln 1 = 0).
Ключевые моменты:
Показательные функции и логарифмы: y = Ae^(kt) с периодом полураспада ln 2/|k|; логарифмы инвертируют показательные функции, подчиняются свойствам произведения/частного/степени и преобразуют экспоненциальную аппроксимацию в прямую линию. Перед решением проверяйте области определения и единицы измерения.
Интерактивные уроки по этой теме
Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.
